高中数学北师大版 (2019)必修 第二册3.2 向量的数乘与向量共线的关系当堂检测题

【名师】3.2 向量的数乘与向量共线的关系-1课时练习

一．填空题

1．如图，是圆上的任意一点，．是圆直径的两个端点，点在直径上，，点在线段上，若，则点的轨迹方程为________

2．在等腰梯形ABCD中,已知,点E和点F分别在线段BC和CD上,且则的值为        ．

3．如图，在中，，点E为的中点.设，，则______（用，表示）.

4．若，与方向相反，且，则_______________．

5．在平面直角坐标系xOy中，设直线y＝－x＋2与圆x2＋y2＝r2(r＞0)交于A，B两点．若圆上存在一点C，满足，则r的值为________．

6．如图，已知，，任意点M关于点A的对称点为S，点关于点B的对称点为N，用， 表示向量 __________ .

7．化简：______.

8．如图，在△ABC中，=,P是BN上的一点，

若=m+，则实数的值为___________.

9．在中，，，，为边上的高，为的中点，，则的值为__.

10．化简：______.

11．D，E，F分别为△ABC的边BC，CA，AB上的中点，且，给出下列结论：

①；②；

③；④.

其中正确的结论的序号为________．

12．________________．

13．在中，已知是边上一点，若，，则_____．

14．下面给出四个命题：

①对于实数和向量．，恒有；

②对于实数．和向量，恒有；

③若，则；

④若，则.

其中正确的命题是______.

15．已知点P在△ABC所在的平面内，若2＋3＋4＝3，则△PAB与△PBC的面积的比值为__________．

参考答案与试题解析

1．【答案】

【解析】先求出为,由化为,再有在线段上可得,代入上式解得,进而得出,设,,用表示,代入圆方程即可得出

【详解】

由题,,,为

在线段上,

可令,

代入可得,

与轴不共线,

,即

设,

可得,,

代入可得,整理后得

故答案为：

【点睛】

本题考查相关点法求轨迹方程,考查用向量表示三点共线,考查运算能力

2．【答案】

【解析】在等腰梯形ABCD中,由,得,,,所以

.考点：平面向量的数量积.

3．【答案】.

【解析】利用向量加法的平行四边形法则得到，然后利用向量减法，可得结果.

详解：因为点E为的中点，

所以，又

且

所以

化简可得：

即

故答案为：

【点睛】

本题主要考查向量的线性表示，熟练使用向量的加法的三角形法则和平行四边形法则以及向量的减法，属基础题.

4．【答案】

【解析】分析：利用平面向量共线定理以及向量的数乘运算即可求解.

详解：因为与方向相反，

所以设，则，

所以，可得，

又，所以．

故答案为：．

5．【答案】

【解析】【详解】

即，整理化简得cos∠AOB＝－，过点O作AB的垂线交AB于D，则cos∠AOB＝2cos2∠AOD－1＝－，得cos2∠AOD＝.又圆心到直线的距离为OD＝，所以cos2∠AOD＝＝＝，所以r2＝10，r＝.

6．【答案】

【解析】由已知得是的中位线，从而，由此能求出结果．

【详解】

，，任意点M关于点A的对称点为S，点关于点B的对称点为N，

是的中位线，

．

故答案为：

【点睛】

本题考查向量的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意数形结合思想的合理运用．

7．【答案】

【解析】直接利用个向量的加减法的法则，运算求得结果．

详解：解：

.

故答案为：．

【点睛】

本题考查两个向量的加减法以及数乘的运算律，属于基础题．

8．【答案】

【解析】因为=，=m+=

又P是BN上的一点，所以的值为．

9．【答案】

【解析】先求出，利用向量的减法法则及运算律，可得，再根据向量加法的平行四边形法则得到，借助平面向量基本定理，即可得解.

详解：如图，

，，，

，

又因为，

所以，

，

，

为的中点，

，

，解得，，

.

故答案为：.

【点睛】

本题主要考查向量的数乘运算．向量加法的平行四边形法则．向量的减法法则及平面向量基本定理，考查了计算与推理能力，属于中档题.

10．【答案】

【解析】根据向量的线性运算，得到答案.

详解：

故答案为：

【点睛】

本题考查向量的线性运算，属于简单题.

11．【答案】①②③

【解析】根据向量的加法和减法运算，将向量用基底表示，逐项验证即可.

详解：如图，，①正确；

，②正确；

，③正确；

，④不正确.

故答案为:①②③.

【点睛】

本题考查向量的线性关系的几何意义，属于基础题.

12．【答案】

【解析】

故答案为

13．【答案】

【解析】根据题意，画出图形，结合图形，得出①，②；

由①．②得出，从而求出的值．

【详解】

中，是边上一点，，，如图所示，

①，

，

②；

①②得，，

；．

故答案为：．

【点睛】

本题考查平面向量的加法与减法的几何意义．平面向量基本定理，考查数形结合思想的运用．

14．【答案】①②④

【解析】①②满足实数与向量积的运算律；③若，不一定有；④正确．

详解：解：①②满足实数与向量积的运算律，故①②正确；

③若，不一定有，故③错误；

④，则，其中，则，故④正确．

故答案为：①②④．

【点睛】

本题考查了向量与实数的运算法则，属于基础题．

15．【答案】

【解析】由2＋3＋4＝3，得2＋4＝3＋3，∴2＋4＝3，即4＝5.

∴