数学必修 第二册6.2 平面向量在几何、物理中的应用举例课后测评

【精选】6.2 平面向量在几何、物理中的应用举例-2优质练习

一．填空题

1．
已知为△的外心，若+？=0，则=_____．

2．已知为锐角的边上一点，,，则的最小值为___________.

3．如图，在三角形中， ．分别是边．的中点，点在直线上，且 ，则代数式的最小值为__________．

4．
已知为的外心，且.

①若，则_______；

②若，则的最大值为_______．

5．
已知在中， ，则角的最大值为__________．

6．
已知的面积为16， ，则的取值范围是______．

7．
已知.若时，的最大值为2，则的最小值为            .

8．
已知，，则与方向相同的单位向量       ．

9．

已知是内一点，，记的面积为，的面积为，则__________．

10．
已知是单位向量，，若向量满足，则的最大值是__________.

11．
已知向量，，且，则          ．

12．已知点O是锐角的外心，. 若，则_________

13．
在△ABC中，若点E满足_________．

14．
在△ABC中,A(-1,2),B(3,1),C(2,-3),则AC边上的高所在的直线方程为_____.

15．
(2014·绵阳高一检测)两个大小相等的共点力F1，F2，当它们间的夹角为90°时合力大小为20 N，则当它们夹角为120°时，合力的大小为______N.

参考答案与试题解析

1．【答案】

【解析】∵+？=0，∴，

∴，

∵在圆上，∴，∴？=0.

所以.

考点:向量在几何中的应用.

2．【答案】

【解析】由已知可得+3=+3（）=4+3，故有（4+3）2=16||2+9||2+24||||cos120°=16||2﹣48||+144，从而求得||=2时，（4+3）2最小为108.即可解得|+3|min=．

【详解】

+3=+3（）=4+3

（4+3）2=16||2+9||2+24||||cos120°

=16||2﹣48||+144

∴||=2时，（4+3）2最小为108.

故|+3|min=．

故答案为：．

【点睛】

本题主要考察了平面向量及应用，二次函数的性质，考察了解三角形的应用，属于中档题．

3．【答案】

【解析】因为点共线，所以由，有

又因为．分别是边．的中点，

所以

原题转化为：当 时，求的最小值问题，

结合二次函数的性质可知，当 时，取得最小值为

故答案为.

【点睛】本题主要考查了平面向量的应用，解题的关键是向量共线定理的应用及结论“点共线，由，有”的应用

4．【答案】   

【解析】①若，则为边的中点, ,即,故填; ②设的三边长分别为a,b,c,因为为的外心，且,所以,即,化简得: ,解得: , 则,故填.

5．【答案】

【解析】试题分析：如图所示，由题意可知,

作，令，则，设

则， ，所以

当且仅当时， 取得最大值.

6．【答案】

【解析】由于为定值，故点到的距离为定值，由面积得. 点在平行于的直线上运动.当位于的垂直平分线上时，由于，此时三角形为等腰直角三角形，且. 点在其它位置时.故.

【点睛】本题主要考查三角形的面积公式，考查向量的数量积运算.由于在三角形中，一边为定值，而三角形的面积也为定值，故三角形的高也是定值，利用面积公式将定值求出为，由此画出图象，利用图象分析出，代入向量数量积运算可得取值范围.

7．【答案】

【解析】

试题分析：，所以，可行域为一个平行四边形及其内部，由直线斜率小于零知直线过点取最大值，即，因此，当且仅当时取等号

考点：线性规划，基本不等式求最值

【易错点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆．拼．凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)．“定”(不等式的另一边必须为定值)．“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.

8．【答案】

【解析】因为，，所以，所以.

考点：向量单位化.

9．【答案】

【解析】设BC中点为M,则,所以P到BC的距离为点A到BC距离的，故

10．【答案】

【解析】

分析：通过建立直角坐标系，利用向量的坐标运算和圆的方程及数形结合即可得出．

详解：∵||=||=1，且，

∴可设，，．

∴．

∵，

∴，即（x﹣1）2+（y﹣1）2=1．

∴的最大值==．

故答案为：．

点睛：本题利用坐标法明确了向量的终点的轨迹方程，问题转化为圆上点到原点的最大距离问题.

11．【答案】

【解析】

试题分析：因为，所以，所以.

考点：向量运算.

12．【答案】5

【解析】如图，设O点在AB,AC上的射影是点D,E，它们分别为AB,AC的中点，

由数量积的几何意义，可得:，.

且，

依题意有:，即4x+3y=2，①

，即2x+6y=3，②

①②相加可得：6x+9y=5.

故答案为5.

13．【答案】1

【解析】

试题分析：,所以，故填：1.

考点：平面向量基本定理

14．【答案】3x-5y-4=0

【解析】与AC边平行的向量为=(3,-5).设P(x,y)是所求直线上任意一点,则=(x-3,y-1),所以AC边上的高所在的直线方程为·(x-3,y-1)=0,即3x-5y-4=0.

15．【答案】10

【解析】当两个力之间的夹角为90°时合力大小为20 N，根据平行四边形法则，知|F1|=|F2|=10N.(如图1)

当两个力之间的夹角为120°时，如图2，根据平行四边形法则知，合力的大小为10N.