高中北师大版 (2019)6.2 平面向量在几何、物理中的应用举例达标测试

【特供】6.2 平面向量在几何、物理中的应用举例-2同步练习

一．填空题

1．
如图，已知边长为的正方形， 是边上一动点（与．不重合），连结，作交的外角平分线于．设，记，则函数的值域是__________．

2．
已知向量，且，则_________.

3．如图所示，在的方格中，每个小正方形的边长为1，点，，，均为格点（格点是指每个小正方形的顶点），则__________．

4．
已知三个力F1=(3，4)，F2=(2，-5)，F3=(x，y)和合力F1+F2+F3=0，则F3的坐标为_____.

5．向量，且∥则x﹣y=　   　．

6．
平面向量，，（），且与的夹角等于与的夹角相等，则   ．

7．
在四边形ABCD中,=(1,1),,则四边形ABCD的面积为_____.

8．
如图，在平行四边形中，，若，，则实数的值为           ．

9．
点是锐角三角形的外心， ，则的值为________

10．
已知两个平面向量满足， ，且与的夹角为，则__________．

11．
已知向量，，且，则          ．

12．
已知在中， ，则角的最大值为__________．

13．
已知O为？ABCD的中心, =4e1, =6e2,则3e2-2e1=_____.

14．
已知向量， 满足， ，且（），则         ．

15．
若正方形ABCD的边长为1,点P在线段AC上运动,则的最大值是_____

.

参考答案与试题解析

1．【答案】

【解析】如图，作，交延长线于，则，易证得，∴，设，则，∴，

∴，由题知，所以，

故的值域是，故答案为.

2．【答案】

【解析】

试题分析: 因为,所以由题设,解之得,故应填答案.

考点：向量坐标形式的运算．

3．【答案】12

【解析】分析：设水平向右和竖直向上的单位向量分别为和，用和表示和，再根据公式计算，即可求出答案.

详解：设水平向右和竖直向上的单位向量和，则和

      由图可知，，

      .

故答案为12.

点睛：本题考查向量运算在几何中的应用，向量的数量积以及向量的正交分解，考查计算能力以及转化思想，属于中档题.

4．【答案】(-5，1)

【解析】因为F1=(3，4)，F2=(2，-5)，F3=(x，y)，

所以F1+F2+F3=(3，4)+(2，-5)+(x，y)=0，

所以(3+2+x，4-5+y)=0，

所以解得x=-5，y=1.

所以F3的坐标为(-5，1).

5．【答案】﹣8

【解析】 解：因为 ∥，所以 （﹣2，x，y ）=λ （1，2，﹣2），

∴﹣2=λ，x=2λ，y=﹣2λ，∴x=﹣4，y=4，∴x﹣y=﹣8，

故答案为：﹣8．

本题考查两个向量共线的性质，两个向量坐标形式的运算，得到（﹣2，x，y ）=λ （1，2，﹣2），是解题

的关键，属于基础题．

6．【答案】

【解析】试题分析：依题意有，根据夹角公式有，解得.

考点：向量运算.

【思路点晴】本题主要考查向量的坐标运算，考查向量的夹角公式，考查方程的思想. 利用向量夹角公式．模公式及向量垂直的充要条件，可将有关角度问题．线段长问题及垂直问题转化为向量的数量积来解决．对向量与三角函数的综合问题，可通过向量的数量积运算把向量问题转化为三角问题，从而可利用三角公式求解．

7．【答案】

【解析】

【分析】

先推理得到四边形ABCD为平行四边形,且||=||=,再根据已知得到四边形ABCD为菱形,再求出三角形BCD的面积，最后计算出四边形ABCD的面积.

【详解】

由=(1,1),可知四边形ABCD为平行四边形,且||=||=,因为,所以可知平行四边形ABCD的角平分线BD平分∠ABC,四边形ABCD为菱形,其边长为,且对角线BD长等于边长的倍,即BD=,则CE2=()2-,即CE=,所以三角形BCD的面积为,所以四边形ABCD的面积为2×.

故答案为：

【点睛】

(1)本题主要考查共线向量和向量的线性运算，考查三角形的面积的求法，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)表示与向量方向相同的单位向量.

8．【答案】

【解析】∵，∴，又∵=,=？，∴（）？（？）=？=．

考点：向量在几何中的应用.

9．【答案】20

【解析】 如图所示，过点分别作于于，则分别是的中点，

 可得在中， ，

 所以，同理可得，

 所以.

 点睛：本题考查了平面向量化简与平面向量的数量积的运算问题，其中解答中将放在它的外接圆中，过点分别作， ，得到分别是的中点，利用数量积的运算，分别求得的值是解答的关键，着重考查了平面向量的数量积的运算性质和三角形外接圆的性质，有一定的综合性，属于中档试题.

10．【答案】2

【解析】试题分析：

考点：向量数量积

【方法点睛】平面向量数量积的类型及求法

(1)求平面向量数量积有三种方法：一是夹角公式a·b＝|a||b|cos θ；二是坐标公式a·b＝x1x2＋y1y2；三是利用数量积的几何意义.

(2)求较复杂的平面向量数量积的运算时，可先利用平面向量数量积的运算律或相关公式进行化简.

11．【答案】

【解析】

试题分析：因为，所以，所以.

考点：向量运算.

12．【答案】

【解析】试题分析：如图所示，由题意可知,

作，令，则，设

则， ，所以

当且仅当时， 取得最大值.

13．【答案】 (答案不唯一)

【解析】3e2-2e1=

14．【答案】

【解析】试题分析：设，则，又因为，即，所以，解得，即，解得．

考点：向量的坐标运算．

15．【答案】

【解析】如图,以A为原点建立平面直角坐标系,

则A(0,0),B(1,0),D(0,1),可设P(x,x)(0≤x≤1).

则有=(x,x), =(1-x,-x), =(-x,1-x),从而·()=-4x2+2x=-4,

故当x=时, ·()取最大值.