高中数学北师大版 (2019)必修 第二册6.2 平面向量在几何、物理中的应用举例当堂达标检测题

【优编】6.2 平面向量在几何、物理中的应用举例-2同步练习

一．填空题

1．
设为所在平面内一点，，若，则          .

2．
若向量，，满足条件与垂直，则        .

3．
一纤夫用牵绳拉船沿直线方向前进60 m，若牵绳与行进方向夹角为30°，纤夫的拉力为50 N．则纤夫对船所做的功为________．

4．在中，，若为锐角，则实数的取值范围是____．

5．
在矩形中，已知，点是的中点，点在上，若=，则的值是__________．

6．
如图，一个力作用于小车G，使小车G发生了40米的位移，的大小为50牛，且与小车的位移方向的夹角为60°，则在小车位移方向上的正射影的数量为 牛，力做的功为     牛米．

7．
已知向量_________.

8．如图，在三角形中，．分别是边．的中点，点在直线上，且 ，则代数式的最小值为__________．

9．
已知A(1，2)，B(4，1)，C(0，-1)，则△ABC的形状为____.

10．
已知向量， ，且，则       .

11．
(2014·聊城高一检测)若=3a， =-5a，且||=||，则四边形ABCD的形状是______.

12．在钝角△ABC中，∠A为钝角，令，若．现给出下面结论：

①当时，点D是△ABC的重心；

②记△ABD，△ACD的面积分别为，，当时，；

③若点D在△ABC内部（不含边界），则的取值范围是；

④若点D在线段BC上（不在端点），则

⑤若，其中点E在直线BC上，则当时，．

其中正确的有（写出所有正确结论的序号）．

13．
已知向量， 满足， ，且（），则         ．

14．
已知， ，若，则         ．

15．已知正方形的边长为，为的中点，则__________．

参考答案与试题解析

1．【答案】-4

【解析】

试题分析：∵，∴，即，∴，.

考点：平面向量基本定理

2．【答案】1

【解析】

试题分析：

考点：向量垂直

【方法点睛】平面向量数量积的类型及求法

(1)求平面向量数量积有三种方法：一是夹角公式a·b＝|a||b|cos θ；二是坐标公式a·b＝x1x2＋y1y2；三是利用数量积的几何意义.

(2)求较复杂的平面向量数量积的运算时，可先利用平面向量数量积的运算律或相关公式进行化简.

3．【答案】1500

【解析】所做的功W＝60×50×cos 30°＝1 500 J.

答案为1 500 J

4．【答案】

【解析】分析：由题意利用向量数量积的性质整理计算即可求得最终结果.

详解：ABC三点组成三角形，则，即：，据此可得：，

且：，，则满足题意时有：，

即，解得：.

综上可得，实数的取值范围是或.

点睛：本题主要考查平面向量的应用，三点共线问题的处理方法等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.

5．【答案】

【解析】分别以，所在直线为轴，轴，建立平面直角坐标系，如图：

则设

则=（1，？），=（0，？），=（2，m）．

∵==，∴，∴．

∴=2？（）=？1．

考点：向量在几何中的应用.

6．【答案】25，1000

【解析】∵||=50，且与小车的位移方向的夹角为60°，

∴在小车位移方向上的正射影的数量为||cos60°=50×=25（牛）．

∵力作用于小车G，使小车G发生了40米的位移，

∴力做的功w=25×40=1000（牛米）．

考点：向量在功．动量的计算中的应用.

7．【答案】

【解析】

试题分析：，解得，，那么，故填：.

考点：向量数量积的坐标表示

8．【答案】

【解析】因为点共线，所以由，有

又因为．分别是边．的中点，

所以

原题转化为：当 时，求的最小值问题，

结合二次函数的性质可知，当 时，取得最小值为

故答案为.

【点睛】本题主要考查了平面向量的应用，解题的关键是向量共线定理的应用及结论“点共线，由，有”的应用

9．【答案】等腰直角三角形

【解析】，则，且，所以是等腰直角三角形。

点睛：本题考查平面向量的几何应用。通过向量求解，我们可以得到，且，所以就得到△ABC的形状为等腰直角三角形。

10．【答案】

【解析】试题分析：由得，所以.

考点：共线向量定理与向量的坐标运算.

【名师点睛】本题考查共线向量定理与向量的坐标运算，属容易题；平面向量共线的坐标表示是高考的常考内容，多以选择题或填空题的形式出现，高考对平面向量共线的坐标表示主要有以下几个命题角度：

11．【答案】等腰梯形

【解析】根据题意，若=3a， =-5a，那么结合向量共线的概念可知，那么四边形ABCD一组对边平行且不相等，||=||，另一组对边相等，则四边形ABCD的形状是等腰梯形.

12．【答案】①②③④

【解析】【分析】

①由共面向量基本定理，结合向量加法的平行四边形法则，判定即可。

②根据向量加法运算并结合等底等高三角形的面积，求得即可判断。

③根据点D在三角形内部，可求得x．y的取值范围，根据斜率的意义并结合线性规划的内容，综合求得斜率的取值范围。

④根据点D在BC上，求得x与y的关系，结合基本不等式即可求得最值。

⑤根据平面向量基本定理，求得 的值。

【详解】

① ，时， ，所以D为靠近A的三等分点，即为△ABC的重心。所以①正确

②设

则，即

所以 ，所以②正确

③因为D在△ABC内部，所以

即为（x，y）与（-2，-1）连线斜率的取值范围，由求线性规划的线性目标函数的取值方法可知， 所以，所以③正确。

④若D在BC上，则 所以

当且仅当 时取得等号，所以④正确

⑤当 时，

因为 ，所以

因为E在BC上，所以

所以 ，所以⑤错误

综上，正确答案为①②③④

【点睛】

本题考了平面向量的综合应用，及其相应的结合知识点，考查内容综合性强，对综合能力要求较高，属于难题。

13．【答案】

【解析】试题分析：设，则，又因为，即，所以，解得，即，解得．

考点：向量的坐标运算．

14．【答案】2

【解析】试题分析：

考点：向量平行坐标表示

15．【答案】2

【解析】·=(+)·(-)

=-·+·-·=22-×22=2.