数学6.2 探究φ对y=sin(x+φ)的图象的影响复习练习题

【优编】6.2 平面向量在几何、物理中的应用举例-2作业练习

一．填空题

1．
已知.若时，的最大值为2，则的最小值为            .

2．
如图，一个力作用于小车G，使小车G发生了40米的位移，的大小为50牛，且与小车的位移方向的夹角为60°，则在小车位移方向上的正射影的数量为 牛，力做的功为     牛米．

3．
已知向量与向量平行，其中， ，则         ．

4．
如图所示，两条成120°角的等长的绳子悬挂一个灯具，已知灯具的重量为10N，则每根绳子的拉力大小是___.

5．
(2014·聊城高一检测)若=3a， =-5a，且||=||，则四边形ABCD的形状是______.

6．如图，在三角形中，．分别是边．的中点，点在直线上，且 ，则代数式的最小值为__________．

7．如图，在正方形中，已知，为的中点，若为正方形内（含边界）任意一点，则的取值范围是　  

8．已知半径为1的球O内切于正四面体A﹣BCD，线段MN是球O的一条动直径（M，N是直径的两端点），点P是正四面体A﹣BCD的表面上的一个动点，则？+？的取值范围是　　．

9．
已知，，与的夹角为，则在上的投影为          ．

10．已知为锐角的边上一点，,，则的最小值为___________.

11．
已知为的外心，且.

①若，则_______；

②若，则的最大值为_______．

12．
若向量，，满足条件与垂直，则        .

13．如图，在ABC中，D是BC的中点，E，F是AD上的两个三等分点，，，则的值是__________.

14．
已知， ，若，则         ．

15．
已知向量_________.

参考答案与试题解析

1．【答案】

【解析】

试题分析：，所以，可行域为一个平行四边形及其内部，由直线斜率小于零知直线过点取最大值，即，因此，当且仅当时取等号

考点：线性规划，基本不等式求最值

【易错点睛】在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆．拼．凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)．“定”(不等式的另一边必须为定值)．“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.

2．【答案】25，1000

【解析】∵||=50，且与小车的位移方向的夹角为60°，

∴在小车位移方向上的正射影的数量为||cos60°=50×=25（牛）．

∵力作用于小车G，使小车G发生了40米的位移，

∴力做的功w=25×40=1000（牛米）．

考点：向量在功．动量的计算中的应用.

3．【答案】

【解析】试题分析：由向量与向量平行得，∴．

考点：向量的平行．

4．【答案】10N

【解析】由题意知以两根绳子AB，BC为邻边构成菱形ABCD.

其中||=10N，由∠ABC=120°，得∠ABD=60°.

所以△ABD为等边三角形，所以||=||=||=10N.

5．【答案】等腰梯形

【解析】根据题意，若=3a， =-5a，那么结合向量共线的概念可知，那么四边形ABCD一组对边平行且不相等，||=||，另一组对边相等，则四边形ABCD的形状是等腰梯形.

6．【答案】

【解析】因为点共线，所以由，有

又因为．分别是边．的中点，

所以

原题转化为：当 时，求的最小值问题，

结合二次函数的性质可知，当 时，取得最小值为

故答案为.

【点睛】本题主要考查了平面向量的应用，解题的关键是向量共线定理的应用及结论“点共线，由，有”的应用

7．【答案】

【解析】根据题意，由于正方形中，已知，为的中点，若为正方形内（含边界）任意一点，设点A为原点，AB,AD分别是X轴和Y轴，则可知向量表示的为，利用平移法可知过点（0,0）取得最小值，过点（2,2）点取得最大值，故答案为

【考点】向量的几何运用

点评：主要是考查了向量的几何意义，属于基础题。

8．【答案】[﹣12，﹣4]

【解析】先求得的值，再运用向量的加减运算和数量积的性质：向量的平方即为模的平方，讨论P位于切点E和顶点时分别取得最值，即可得到取值范围，从而求得？+？的取值范围．

解：如图：设正四面体的边长为a，O为球心，由下图可得在可知，，

因为内切球半径为1，即，解得，所以AE=4，AO=3．

而又=AB？BD？cos（π﹣∠ABD）=cos=﹣12．

由题意M，N是直径的两端点，可得，，

∵=（+）？（+）=+？（+）+=﹣1=PO2﹣1，

由此可知，要求出则？+？的取值范围，只需求出 的范围即可．

再根据当P位于E（切点）时，OP取得最小值1；当P位于A处时，OP取得最大值3．

综上可得，的最小值为1﹣1=0，最大值为9﹣1=8．

则的取值范围是[0，8]．

再由？+？=？﹣12，知？+？的取值范围是[﹣12，﹣4]，

故答案为：[﹣12，﹣4]．

本题考查向量在几何中的运用，考查向量的加减运算和数量积的性质，考查运算能力，属于中档题．

9．【答案】

【解析】

试题分析：因为，所以在上的投影为.所以答案应填：．

考点：向量的数量积的几何意义．

10．【答案】

【解析】由已知可得+3=+3（）=4+3，故有（4+3）2=16||2+9||2+24||||cos120°=16||2﹣48||+144，从而求得||=2时，（4+3）2最小为108.即可解得|+3|min=．

【详解】

+3=+3（）=4+3

（4+3）2=16||2+9||2+24||||cos120°

=16||2﹣48||+144

∴||=2时，（4+3）2最小为108.

故|+3|min=．

故答案为：．

【点睛】

本题主要考察了平面向量及应用，二次函数的性质，考察了解三角形的应用，属于中档题．

11．【答案】   

【解析】①若，则为边的中点, ,即,故填; ②设的三边长分别为a,b,c,因为为的外心，且,所以,即,化简得: ,解得: , 则,故填.

12．【答案】1

【解析】

试题分析：

考点：向量垂直

【方法点睛】平面向量数量积的类型及求法

(1)求平面向量数量积有三种方法：一是夹角公式a·b＝|a||b|cos θ；二是坐标公式a·b＝x1x2＋y1y2；三是利用数量积的几何意义.

(2)求较复杂的平面向量数量积的运算时，可先利用平面向量数量积的运算律或相关公式进行化简.

13．【答案】

【解析】因为，

，

因此，

【考点】向量数量积

【名师点睛】研究向量的数量积，一般有两个思路，一是建立平面直角坐标系，利用坐标研究向量的数量积；二是利用一组基底表示所有向量，两种思路实质相同，但坐标法更易理解和化简. 对于涉及中线的向量问题，一般利用向量加．减法的平行四边形法则进行求解．

14．【答案】2

【解析】试题分析：

考点：向量平行坐标表示

15．【答案】

【解析】

试题分析：，解得，，那么，故填：.

考点：向量数量积的坐标表示