初中数学北师大版九年级下册2 二次函数的图像与性质习题

 二次函数的图象与性质（解答题专项练习卷） 北师大新版数学九年级下册

1．如图，在平面直角坐标系xOy中，点A（6，0），B（2，4），抛物线y＝x2+bx+c与直线AB相交于C，D两点，且BC＝BD．

（1）确定直线AB的函数解析式；

（2）求b的值；

（3）连接OB，当抛物线y＝x2+bx+c与线段OB，AB同时有交点时，请结合函数图象说明c的取值范围．

2．在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线y＝ax2+4ax+3（a≠0）．

（1）抛物线的对称轴为x＝　   　；

（2）当a＞0时，若在抛物线上有两点（﹣4，y1），（m，y2），且y2＞y1，则m的取值范围是 　   　；

（3）抛物线的对称轴与x轴交于点M，点M与点A关于y轴对称，将点M向左平移2个单位得到点B，若抛物线与线段AB恰有一个公共点，结合图象，求a的取值范围．

3．已知抛物线C1：y＝（x+2）2﹣1，抛物线C1，的顶点为A，与y轴的交点为B．

（1）点A的坐标是 　   　，点B的坐标是 　   　；

（2）在平面直角坐标系中画出C1的图象（不必列表）；

（3）将抛物线C1向下平移3个单位，向右平移2个单位后得到抛物线C2，画出平移后的抛物线C2并写出抛物线C2的解析式．

4．在平面直角坐标系中，二次函数y＝ax2+bx+3的图象经过点M（1﹣m，n），点N（，n），交y轴于点A．

（1）求a，b满足的关系式；

（2）若抛物线上始终存在不重合的P，Q两点（P在Q的左边）关于原点对称，求a的取值范围．

5．我们不妨约定：在平面直角坐标系中，横、纵坐标互为相反数的点为“GY点”，顶点是“GY点”的二次函数为“GY函数”

（1）若点（r2+1，﹣2r）是“GY点”，则r＝　   　；

（2）已知某“GY函数“的顶点在直线y＝x﹣2上，且与y轴的交点到原点的距离为2，求该“GY函数”的解析式；

（3）对于“GY函数”y＝x2﹣4x+c，存在正实数m，n（m＜n），当m≤x≤n时，恰好﹣n≤y≤﹣m，求m，n的值．

6．阅读材料：二次函数的应用

小明在学习过程中遇到一个问题：下列两个两位数相乘的运算中（两个乘数的十位上的数都是8，个位上的数的和等于10），猜想其中哪个积最大，并说明理由．

81×89，82×88，83×87，…，87×83，88×82，89×81．

小明结合已学知识做了如下尝试：

设两个乘数的积为y，其中一个乘数的个位上的数为x，则另一个乘数个位上的数为（10﹣x），

根据题意，得：

y＝（80+x）[80+（10﹣x）]＝（80+x）（90﹣x）＝﹣（x+80）（x﹣90）．

…

（1）问题解决：请帮助小明判断以上问题中哪个积最大，并求出这个最大的积；

（2）问题拓展：下列两个三位数相乘的运算中（两个乘数的百位上的数都是7，十位上的数与个位上的数组成的数的和等于100），用以上方法猜想其中哪个积最大，并说明理由．

701×799，702×798，703×797，…，797×703，798×702，799×701．

7．在初中阶段的函数学习中，我们经历了列表、描点、连线画函数图象，并结合图象研究函数性质的过程．小明根据已学的函数知识对函数y1＝的图象与性质进行了探究，其探究过程中的列表如下．

（1）表中a＝　   　，b＝　   　；

（2）根据表中的数据，在如图所示的平面直角坐标系描点画出函数图象；并根据函数图象写出该函数的一条性质 　   　；

（3）已知直线y2＝x+1的图象如图所示，结合你所画的函数图象，当y1＞y2时，直接写出x的取值范围．

8．已知抛物线y＝（x﹣n）（x+n）+c经过坐标原点O．

（1）请用含n的代数式表示c；

（2）若直线y＝kx+2与抛物线交于B、C两点，连接OB，OC．设直线OB为y＝k1x，直线OC为y＝k2x．

①当B，C两点关于抛物线的对称轴对称时，求k1•k2的值；

②求证：无论k为何值时，k1•k2的值不变．

9．探究函数性质时，我们经历了列表、描点、连线画出函数图象，观察分析图象特征，概括函数性质的过程．结合已有的学习经验，请画出函数的图象并探究该函数的性质．

（1）根据列表，写出表中a，b的值：a＝　   　，b＝　   　；描点、连线，在所给的平面直角坐标系中画出该函数的图象．

（2）观察函数图象，判断下列关于函数性质的结论是否正确（正确的用“√”作答，错误的用“×”作答）：

①函数的图象关于y轴对称； 　   　；

②当x＝0时，函数有最小值，最小值为﹣6； 　   　；

③在自变量的取值范围内函数y的值随自变量x的增大而减小． 　   　；

（3）已知函数的图象如图所示，结合你所画的函数图象，直接写出不等式的解集．

10．已知抛物线y＝（x﹣2）（x﹣b），其中b＞2，该抛物线与y轴交于点A．

（1）若点（b，0）在该抛物线上，求b的值；

（2）过点A作平行于x轴的直线l，记抛物线在直线l与x轴之间的部分（含端点）为图象L．点M，N在直线l上，点P，Q在图象L上，且P在抛物线对称轴的左侧．设点P的横坐标为m，是否存在以M，P，Q，N为顶点的四边形是边长为m+1的正方形？若存在，求出点P，Q的坐标；若不存在，请说明理由．

11．在平面直角坐标系中，点O为坐标原点，设抛物线y＝x2﹣2bx﹣4的顶点为A．直线y＝kx（k＞0）与抛物线y＝x2﹣2bx﹣4交于A，B两点OA＝OB．

（1）求k，b的值；

（2）若点P在线段OB上任意一点，过P作x轴的垂线，垂足为C，PC的延长线交抛物线y＝x2﹣2bx﹣4于点D，求线段PD+OC的最大值．

12．已知抛物线y＝ax2﹣2x+1（a≠0）的对称轴为直线x＝1．

（1）a＝　   　；

（2）若抛物线的顶点为P，直线y＝9与抛物线交于两点G、H，求△PGH的面积；

（3）设直线y＝m（m＞0）与抛物线y＝ax2﹣2x+1交于点A、B，与抛物线y＝4（x﹣1）2交于点C，D，则线段AB与线段CD的长度之比为 　   　．

13．已知抛物线y＝a（x﹣1）2+h经过点（0，﹣3）和（3，0）．

（1）求a、h的值；

（2）将该抛物线向上平移2个单位长度，再向右平移1个单位长度，得到新的抛物线，直接写出新的抛物线相应的函数表达式．

14．在平面直角坐标系xOy中，点（1，m）和点（3，n）在抛物线y＝ax2+bx（a＞0）上．

（1）若m＝3，n＝15，求该抛物线的对称轴；

（2）已知点（﹣1，y1），（2，y2），（4，y3）在该抛物线上．若mn＜0，比较y1，y2，y3的大小，并说明理由．

15．已知y关于x的函数y＝x2﹣2mx+2m+4，点P为抛物线顶点．

（1）当P点最高时，求m的值；

（2）在（1）的条件下，当a﹣3≤x≤a时，函数有最小值为9，求a的值．

16．已知二次函数y＝ax2+2ax+a﹣1和一次函数y＝ax+a﹣1．

（1）求证：二次函数图象的顶点必在一次函数y＝ax+a﹣1的图象上；

（2）求二次函数的图象与一次函数的图象的交点坐标（用含a的代数式表示）；

（3）已知0＜a≤2，直线x＝m交二次函数的图象于点M，交一次函数的图象于点N，当﹣1≤m≤0时，求证：0≤MN≤．

17．二次函数y＝（m+1）x2﹣2（m+1）x﹣2m+4．

（1）求该二次函数图象的对称轴；

（2）若图象过点A（﹣2，n），且﹣4＜m＜3，求mn的取值范围；

（3）若点P（x1，y1），Q（2，y2）在该二次函数图象上，且y1≤y2，求x1的取值范围．

18．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣4ax+2（a＞0）与y轴交于点A．

（1）求点A的坐标及抛物线的对称轴；

（2）当0≤x≤5时，y的最小值是﹣2，求当0≤x≤5时，y的最大值；

（3）抛物线上的两点P（x1，y1），Q（x2，y2），若对于t＜x1＜t+1，t+2＜x2＜t+3，都有y1≠y2，直接写出t的取值范围．

19．在平面直角坐标系xOy中，抛物线y＝ax2﹣2ax﹣3a（a≠0）．

（1）求抛物线的对称轴及抛物线与y轴交点坐标．

（2）已知点B（3，4），将点B向左平移3个单位长度，得到点C．若抛物线与线段BC恰有一个公共点，结合函数的图象，求a的取值范围．

20．在平面直角坐标系xOy中，已知关于x的二次函数y＝x2﹣2tx+1．

（1）求该二次函数图象的对称轴；

（2）若点M（t﹣2，m），N（t+3，n）在抛物线y＝x2﹣2tx+1上，试比较m、n的大小；

（3）P（x1，y1），Q（x2，y2）是抛物线y＝x2﹣2tx+1上的任意两点，若对于﹣1≤x1＜3且x2＝3，都有y1≤y2，求t的取值范围．