2022-2023学年北京市首师大附中高一（上）适应性数学试卷（12月份）（含答案解析）

2022-2023学年北京市首师大附中高一（上）适应性数学试卷（12月份）

1.  设，，，则(    )

A.  B.  C.  D.

2.  若函数的图象如图，其中a，b为常数．则函数的大致图象是(    )
 

A.  B.
C.  D.

3.  函数的零点所在的大致区间为(    )

A.  B.  C.  D.

4.  已知是上的减函数，那么a的取值范围是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  函数的定义域为______.

6.  已知幂函数的图象过点，且当时，恒有，则实数m的取值范围为______.

7.  计算：
______.
______.

8.  函数的单调递减区间是______.

9.  如果光线每通过一块玻璃其强度要减少，那么至少需要将______块这样的玻璃重叠起来，才能使通过它们的光线强度低于原来的倍．

10.  关于x的方程的两个实根，
若，求实数m的取值范围；
若，求实数m的取值范围．

11.  已知函数
若，求函数的值域；
若，判断并证明函数的奇偶性；
若函数在上单调递减，求实数a的取值范围．

12.  已知为R上的奇函数．
求实数m，n的值；
判断的单调性，并说明理由；
当时，恒成立，求实数k的取值范围．

答案和解析

1.【答案】B 

【解析】解：，，，
，
故选：
判断三个数与0，1的大小，即可得到结果．
本题考查数值大小的比较，注意中间量的应用，基本知识的考查．
 

2.【答案】D 

【解析】

【分析】
本题考查指对函数的图象问题，是基础题．
由函数的图象可求出a和b的范围，再进一步判断的图象即可．
【解答】
解：由函数的图象为减函数可知，
的图象由向左平移得到的可知，
故函数的大致图象是
故选  

3.【答案】D 

【解析】解：，
在R上单调递增，在R上单调递增，
在R上单调递增，
对于A：，，则，故A错误；
对于B：，，则，故B错误；
对于C：，，则，故C错误；
对于D：，，则，故D正确，
故选：
根据零点存在性定理，逐一分析选项，即可得出答案．
本题考查函数的零点存在性定理，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
 

4.【答案】C 

【解析】解：由题意得，函数是上的减函数，
，
解得
故a的取值范围是
故选：
由在上单调递减，确定a，以及的范围，再根据单调递减确定在分段点处两个值的大小，从而解决问题．
本题考查了函数的单调性问题，考查对数函数的性质，是一道基础题．
 

5.【答案】 

【解析】解：由题意可得，，解得，
故函数的定义域为
故答案为：
直接根据二次根式不小于零，分母不为零，列出不等式，即可求解．
本题主要考查函数的定义域及其求法，属于基础题．
 

6.【答案】 

【解析】解：因为幂函数的图象过点，
所以，解得，
所以，
所以在上恒成立，只需，
易知在上单调递减，所以，
所以所以实数m的取值范围为
故答案为：
根据幂函数的定义，代入已知点，建立方程，解得函数解析式，结合其单调性，解决不等式恒成立问题，可得答案．
本题考查幂函数的综合运用，考查运算求解能力，属于基础题．
 

7.【答案】5 3 

【解析】解：







故答案为：；
利用指数的定义、性质、运算法则直接求解．
利用对数的定义、性质、运算法则直接求解．
本题考查指数、对数的定义、性质、运算法则等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

8.【答案】 

【解析】解：由，得，
令，其对称轴方程为，在区间上单调递增，
又为减函数，
由复合函数的单调性得函数的单调递减区间是，
故答案为：
令，并求得时的增区间，再利用复合函数的单调性可求得答案．
本题考查复合函数的单调性，考查运算求解能力，属于中档题．
 

9.【答案】7 

【解析】解：设需要将n块这样的玻璃重叠起来，才能使通过它们的光线强度低于原来的倍，
则，即，
，即，解得，
故至少需要将7块这样的玻璃重叠起来，才能使通过它们的光线强度低于原来的倍，
故答案为：
设需要将n块这样的玻璃重叠起来，才能使通过它们的光线强度低于原来的倍，根据题意可得，求解即可得出答案．
本题考查根据实际问题选择函数类型，考查转化思想，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
 

10.【答案】解：关于x的方程的两个实根，，
，，
令，
，求得，
故实数m的取值范围为
若，则，即，
求得 

【解析】由题意，利用一元二次方程根的分布与系数的关系，二次函数的性质，求得m的范围．
由题意，利用一元二次方程根的分布与系数的关系，二次函数的性质，求得m的范围．
本题主要考查一元二次方程根的分布与系数的关系，二次函数的性质，属于基础题．
 

11.【答案】解：当时，，
令，解得，
则
故，
故函数的值域为
证明；当时，，
令，解得，
故函数定义域为，
，
为偶函数．
函数在上单调递减，故在上单调递减，且，
故，解得，
故实数a的取值范围为 

【解析】利用换元法，求出真数部分的二次函数的值域，即可求解原函数的值域；
利用偶函数的定义可判断并证明函数为偶函数；
根据复合函数的单调性可得真数部分对应的函数的性质，从而可求参数的取值范围．
本题主要考查函数的奇偶性的性质，考查转化能力，属于中档题．
 

12.【答案】解：因为函数是定义域为R的奇函数，
则即，所以，
又，即，所以，
当，时，，
此时，所以为奇函数，符合题意，
故，；
函数在R上单调递增，证明如下：
因为，
设，则，
因为，所以，故，
故，所以在R上单调递增；
因为为奇函数，
所以不等式可变形为，
又在R上单调递增，所以，
则由题意可知对任意，有恒成立，
令，则，所以令，
故，所以，
故实数k的取值范围为 

【解析】利用，，求出m和n的值，然后再利用奇函数的定义进行检验即可；
根据函数解析式判断单调性，利用单调性的定义证明即可；
利用函数的单调性和奇偶性将不等式转化为，即对任意，有恒成立，然后结合二次函数性质求解函数的最大值，即可得到答案．
本题考查了函数的恒成立问题和单调性的证明，属于中档题．