2021-2022学年北京师大二附中未来科技城学校高一（下）学情调研数学试卷（3月份）（含答案解析）

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2. 若角β的终边经过点P(1,−2)，则sinβ的值是( )
A. −255B. 55C. −55D. 255
3. 若sinα>0，且tanα<0，则角α的终边位于( )
A. 第一象限B. 第二象限C. 第三象限D. 第四象限
4. |a|=2，|b|=4，向量a与向量b的夹角为120∘，则a⋅b=( )
A. −12B. −8C. 8D. −4
5. 在半径为2的圆中，13弧度的圆心角所对的弧长为( )
A. 23B. 2π3C. 32D. 以上都不对
6. 已知向量a，b满足|a|=2，|b|=1，a⋅b=2，则向量a，b的夹角为( )
A. 3π4B. 2π3C. π4D. −π4
7. 在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称，若sinα=13，则sinβ=( )
A. −13B. 13C. −223D. 223
8. 在边长为2的等边△ABC中，BN=3NC，则AN⋅BC=( )
A. 0B. 12C. 1D. 2
9. 已知sin(π4+α)=32，则sin(3π4−α)值为( )
A. 12B. −12C. 32D. −32
10. 定义运算a*b为a*b=a,a≤bb,a>b，例如，1*2=1，则函数f(x)=sinx⋅csx的值域为( )
A. [−1,1]B. [−22,1]C. [−1,22]D. [−1,−22]
11. 求值：sin13π6=______ .
12. 函数f(x)=cs(2x+π3)的最小正周期是______.
13. 函数y=tan(x−π3)的定义域为______.
14. 已知csα−sinα=−15，则sinαcsα=______.
15. 写出一个具有性质：①定义域为R；②函数f(x)是奇函数；③f(x+π)=f(x)的函数的解析式______.
16. 已知函数y=f(x)，若对于任意x∈R，f(2x)=2f(x)恒成立，则称函数y=f(x)具有性质P，
(1)若函数f(x)具有性质P，且f(4)=8，则f(1)= (1) ；
(2)若函数f(x)具有性质P，且在(1,2]上的解析式为y=csx，那么y=f(x)在(1,8]上有且仅有 (2) 个零点．
17. 已知sinα=35，且α是第_______象限角．从“一、二、三、四”这四个选项中选择一个你认为恰当的选项填在上面的横线上，并根据你的选择，解答以下的问题：
(1)求csα，tanα的值；
(2)化简求值：sin(π−α)cs(32π+α)sin(−α)tan(π+α).
18. 已知函数f(x)=2sin(2x−π4).
(1)求f(0)的值和函数f(x)的最小正周期；
(2)求函数f(x)的单调递增区间．
19. 已知函数f(x)=2sin(ωx+π3)(ω>0)的最小正周期为π.
(1)求ω的值；
(2)求函数f(x)的对称轴；
(3)求f(x)在[−π4,π4]上的最值及对应的x的值．
20. 函数f(x)=Asin(ωx+φ)(A>0,ω>0,|φ|<π2)的部分图象如图所示．
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)求图中a，b的值；
(3)求不等式f(x)≥2的解集．
21. 已知函数f(x)=3sin(ωx−π6)+b(ω>0)，且函数图象的对称中心到对称轴的最小距离为π4，当x∈[0,π4]时，f(x)的最大值为2.
(1)求函数f(x)的解析式．
(2)将函数f(x)的图象向右平移π12个单位长度得到函数g(x)的图象，若任意x∈[0,π3]，都有g(x)−2≤m≤g(x)+2恒成立，求实数m的取值范围．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：因为330∘的终边与−30∘的终边相同，
所以B满足题意．
故选B.
直接利用终边相同的角判断即可．
本题考查终边相同的角的表示方法，考查基本知识的熟练程度．
2.【答案】A
【解析】解：∵角β的终边经过点P(1,−2)，
∴x=1，y=−2，|OP|=5，
因此，sinβ=−25=−255.
故选：A.
由角β的终边经过点P(1,−2)，利用任意角的三角函数定义求出sinβ即可．
此题考查了任意角的三角函数定义，熟练掌握三角函数的定义是解本题的关键．
3.【答案】B
【解析】
【分析】
由sinα>0，则角α的终边位于一二象限，由tanα<0，则角α的终边位于二四象限，两者结合即可解决问题．
本题考查三角函数值的符号规律，属于基础题，合理地将条件化简，从而将问题转化为已知三角函数值的符号问题．
【解答】
解：∵sinα>0，则角α的终边位于一二象限，
∵tanα<0，∴角α的终边位于二四象限，
∴角α的终边位于第二象限．
故选B.

4.【答案】D
【解析】解：a⋅b=|a|⋅|b|cs120∘=2×4×(−12)=−4.
故选：D.
根据向量的数量及公式直接计算即可．
本题主要考查向量的数量积公式，属于基础题．
5.【答案】A
【解析】解：半径为2的圆中，13弧度的圆心角所对的弧长l=2×13=23.
故选：A.
利用弧长公式即可得出．
本题考查了弧长公式的应用，属于基础题．
6.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查了平面向量的数量积与夹角计算问题，是基础题．
根据平面向量的夹角公式计算即可．
【解答】
解：设向量a，b的夹角为θ，则θ∈[0,π]，
由|a|=2，|b|=1，a⋅b=2，
所以csθ=a⋅b|a||b|=22×1=22，
所以向量a，b的夹角为θ=π4.
故选：C.

7.【答案】B
【解析】解：在平面直角坐标系xOy中，角α与角β均以Ox为始边，它们的终边关于y轴对称，
∴α+β=π+2kπ，k∈Z，
∵sinα=13，
∴sinβ=sin(π+2kπ−α)=sinα=13.k∈Z.
故选：B.
推导出α+β=π+2kπ，k∈Z，从而sinβ=sin(π+2kπ−α)=sinα.
本题考查三角函数值的求法，考查诱导公式等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
8.【答案】C
【解析】解：由题意令a=AB,b=AC，则|a|=|b|=2,=60∘，
因为BN=3NC，所以AN=AB+34BC=AB+34(AC−AB)=14a+34b，
BC=AC−AB=b−a，
则AN⋅BC=(14a+34b)⋅(b−a)=34b2−14a2−12a⋅b
=34×22−14×22−12×22×12=1.
故选：C.
以a=AB,b=AC为基底向量，结合已知条件用a,b表示出AN,BC计算即可．
本题考查平面向量数量积的运算和性质，属于基础题．
9.【答案】C
【解析】解：sin(π4+α)=32，sin(3π4−α)=sin(π−π4−α)=sin(π4+α)=32
故选：C.
直接利用诱导公式化简sin(3π4−α)，求出sin(π4+α)的形式，求解即可．
本题是基础题，考查三角函数的诱导公式，整体思想，考查计算能力．
10.【答案】C
【解析】解：由题意可得f(x)=sinx⋅csx，
当x∈[π4+2kπ,54π+2kπ]，k∈Z，这时sinx≥csx，所以f(x)=csx，这时函数的值域为[−1,22];
当x∈[−34π+2kπ,π4+2kπ]，k∈Z，这时sinx≤csx，所以f(x)=sinx，这时函数的值域为[−1,22];
所以函数的值域为[−1,22];
故选：C.
由x的范围可得角x的正弦值与余弦值的大小，由题意可得函数f(x)的解析式，进而求出各个区间的值域，进而求出函数的值域。
本题考查三角函数的性质及由自变量的范围求解函数的值域的方法，属于中档题。
11.【答案】12
【解析】解：sin13π6=sin(2π+π6)=sinπ6=12.
故答案为：12.
利用诱导公式即可求解．
本题考查运用诱导公式化简求值，考查了转化思想，属于基础题．
12.【答案】π
【解析】解：函数f(x)=cs(2x+π3)的最小正周期是2πω=2π2=π.
故答案为：π.
利用2πω可求最小正周期．
本题考查余弦型函数的最小正周期的公式，属基础题．
13.【答案】{x|x≠5π6+kπ,k∈Z}
【解析】解：由x−π3≠π2+kπ，得x≠5π6+kπ，k∈Z.
∴函数y=tan(x−π3)的定义域为{x|x≠5π6+kπ,k∈Z}.
故答案为：{x|x≠5π6+kπ,k∈Z}.
由x−π3≠π2+kπ(k∈Z)求解x的范围得答案．
本题考查正切型函数的定义域及其求法，是基础题．
14.【答案】1225
【解析】解：因为csα−sinα=−15，
两边平方，可得(csα−sinα)2=sin2α+cs2α−2sinαcsα=1−2sinαcsα=125，
所以解得sinαcsα=1225.
故答案为：1225.
将已知等式两边平方，利用同角三角函数基本关系式即可求解．
本题考查了同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用，考查了方程思想，属于基础题．
15.【答案】f(x)=sin2x(答案不唯一)
【解析】解：根据题意，要求函数f(x)是奇函数，且f(x+π)=f(x)，即其周期为π，定义域为R，
可以为三角函数的变形形式，
故要求函数可以为f(x)=sin2x；
故答案为：f(x)=sin2x(答案不唯一).
根据题意，结合正弦函数的性质分析可得答案．
本题考查函数的奇偶性、周期性，注意三角函数的性质，属于基础题．
16.【答案】2
3

【解析】解：(1)因为函数y=f(x)，具有性质P，
所以对于任意x∈R，f(2x)=2f(x)恒成立，
所以f(4)=f(2×2)=2f(2)=2f(2×1)=4f(1)=8，
所以f(1)=2.
(2)若函数y=f(x)具有性质P，且在(1,2]上的解析式为y=csx，
由y=csx=0，则x=π2，
由f(2x)=2f(x)得f(x)=2f(x2)，
若2则函数f(x)在(2,4]上的解析式为y=2csx2，
由2csx2=0，得x=π，
若4在(4,8]上的解析式为y=4csx4，
由y=4csx4=0得x=2π，
所以y=f(x)在(1,8]上有且仅有3个零点，分别是π2，π，2π.
故y=f(x)在(1,8]上有且仅有3个零点，
故答案为：2，3
(1)根据性质P的条件，利用方程关系进行递推即可．
(2)根据性质P的条件，分别求出函数的解析式，利用函数零点的定义解方程即可．
本题主要考查抽象函数的应用，利用定义进行递推以及求出函数的解析式是解决本题的关键．考查学生的运算和推理能力．
17.【答案】解：因为sinα=35>0，所以α只可能是第一或二象限的角，
选择“一”：
(1)因为α是第一象限角，所以csα=1−sin2α=45，
所以tanα=sinαcsα=34.
(2)sin(π−α)cs(32π+α)sin(−α)tan(π+α)=sinα⋅sinα−sinα⋅tanα=−csα=−45.
选择“二”：
(1)因为α是第二象限角，所以csα=−1−sin2α=−45，
所以tanα=sinαcsα=−34.
(2)sin(π−α)cs(32π+α)sin(−α)tan(π+α)=sinα⋅sinα−sinα⋅tanα=−csα=45.
【解析】由题意知，α只可能是第一或二象限的角，
(1)先根据同角三角函数的平方关系求得csα的值，再由同角三角函数的商数关系，即可得解；
(2)先利用诱导公式化简所求式子，再代入数据，得解．
本题考查三角函数的化简求值，熟练掌握同角三角函数的关系式，诱导公式是解题的关键，考查运算求解能力，属于基础题．
18.【答案】解：(1)对于函数f(x)=2sin(2x−π4)，f(0)=2sin(−π4)=2×(−sinπ4)=−2，‘
f(x)的最小正周期为2π2=π.
(2)令2kπ−π2≤2x−π4≤2kπ+π2，k∈Z，
求得kπ−π8≤x≤kπ+3π8，k∈Z，
可得函数的增区间为[kπ−π8,kπ+3π8]，k∈Z.
【解析】(1)根据函数的解析式，求得f(0)，再根据正弦函数的周期性，求得f(x)的最小正周期．
(2)由题意，利用正弦函数的单调性求出f(x)的单调递增区间．
本题主要考查正弦函数的周期性、单调增区间，属于基础题．
19.【答案】解：(1)依题，函数f(x)=2sin(ωx+π3)(ω>0)的最小正周期为π，
则ω=2ππ=2；
综上所述，结论：ω=2，
(2)由(1)知，f(x)=2sin(2x+π3)，
则2x+π3=π2+kπ，k∈Z，
即x=π12+kπ，k∈Z，
(3)由(1)知，f(x)=2sin(2x+π3)，
∵x∈[−π4,π4]，
∴2x∈[−π2,π2]，
∴2x+π3∈[−π6,5π6]，
∴sin(2x+π3)∈[−12,1]，
∴2sin(2x+π3)∈[−1,2]，
当x=−π4时有最小值−1，当x=π12时有最大值2.
【解析】(1)利用周期，求得函数解析式，(2)利用函数的对称轴进行求解即可，(3)先求得2x+π3的取值范围，再求最值．
本题考查三角函数的图像与性质，考查学生的运算能力，属于中档题．
20.【答案】解：(1)由图象知A=2，3T4=5π12−(−π3)=3π4，则T=π，
即2πω=π，则ω=2，
即f(x)=2sin(2x+φ)，
∵f(−π3)=2sin[2×(−π3)+φ]=−2，即sin(−2π3+φ)=−1，
∵|φ|<π2，
∴−π2<φ<π2，
∴−7π6<φ−2π3<−π6，
则φ−2π3=−π2，即φ=π6，
∴f(x)=2sin(2x+π6).
(2)∵函数的周期T=5π12−a=π，
∴a=−7π12，
b=f(0)=2sinπ6=2×12=1.
(3)∵f(x)=2sin(2x+π6)≥2，可得sin(2x+π6)≥22，
∴2kπ+π4≤2x+π6≤2kπ+3π4，k∈Z，解得kπ+π24≤x≤kπ+7π24，k∈Z，
∴不等式f(x)≥2的解集为{x|kπ+π24≤x≤kπ+7π24,k∈Z}.
【解析】(1)根据三角函数的图象确定A，ω和φ的值即可得解函数f(x)的解析式．
(2)根据三角函数的图象进行求解即可．
(3)由题意解sin(2x+π6)≥22，由正弦函数的图象和性质可即可得解．
本题主要考查三角函数的图象和性质，考查了数形结合思想和函数思想的应用，根据条件求出A，ω和φ的值求出函数的解析式是解决本题的关键，属于中档题．
21.【答案】解：(1)由题意知，T4=π4，得T=π，
由T=2πω=π，可得ω=2，
所以f(x)=3sin(2x−π6)+b，
因为x∈[0,π4]，所以2x−π6∈[−π6,π3]，
当2x−π6=π3，即x=π4时，函数f(x)取得最大值，为f(π4)=3sinπ3+b=2，
解得b=12，
所以f(x)=3sin(2x−π6)+12.
(2)g(x)=3sin[2(x−π12)−π6]+12=3sin(2x−π3)+12，
因为x∈[0,π3]，所以2x−π3∈[−π3,π3]，所以g(x)=3sin(2x−π3)+12∈[−1,2]，
所以g(x)−2∈[−3,0]，g(x)+2∈[1,4]，
因为g(x)−2≤m≤g(x)+2在x∈[0,π3]上恒成立，
所以m∈[0,1].
【解析】(1)根据函数图象的对称性可得T=π，再由T=2πω求得ω的值，然后结合正弦函数的图象与性质，求得b的值，得解；
(2)由函数图象“左加右减”的原则写出g(x)的解析式，根据正弦函数的图象与性质求得g(x)的值域，即可得解．
本题考查三角函数的综合，熟练掌握正弦函数的图象与性质，函数图象的变换法则是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．