2021-2022学年北京市首师大附中昌平学校高一（下）第一次月考数学试卷（4月份）（含答案解析）

这是一份2021-2022学年北京市首师大附中昌平学校高一（下）第一次月考数学试卷（4月份）（含答案解析），共12页。试卷主要包含了 sin的值是， sincs=等内容，欢迎下载使用。
A. 12B. −12C. 32D. −32
2. 已知角α的终边经过点P(3,−4)，那么sinα=( )
A. 35B. −45C. 34D. −34
3. 函数f(x)=sin(x2+π3)的最小正周期为( )
A. πB. 2πC. 4πD. 6π
4. 已知向量a=(1,2)，b=(2,1−m)，且a⊥b，那么实数m的值为( )
A. −2B. 1C. 2D. 4
5. 如果向量a=(0,1)，b=(−2,1)，那么|a+2b|=( )
A. 6B. 5C. 4D. 3
6. sin(π2−α)cs(−α)=( )
A. tanαB. −tanαC. 1D. −1
7. 已知函数y=sinx和y=csx在区间Ⅰ上都是减函数，那么区间Ⅰ可以是( )
A. (0,π2)B. (π2,π)C. (π,3π2)D. (3π2,2π)
8. 已知a，b为单位向量，且a⋅b=−22，那么向量a，b的夹角是( )
A. π4B. π2C. 2π3D. 3π4
9. 设α∈[0,2π),则使sinα>12成立的α的取值范围是( )
A. (π3,2π3)B. (π6,5π6)C. (π3,4π3)D. (7π6,11π6)
10. 已知函数f(x)=A1sin(ω1x+φ1)，g(x)=A2sin(ω2x+φ2)，其图象如图所示．为得到函数g(x)的图象，只需先将函数f(x)图象上各点的横坐标缩短到原来的12倍(纵坐标不变)，再( )
A. 向右平移π6个单位B. 向右平移π3个单位C. 向左平移π6个单位D. 向左平移π3个单位
11. 函数y=tan(2x+π3)的最小正周期是______，定义域是______.
12. 若sinα+csαsinα−csα=2，则sinαcsα的值是______.
13. 在半径为5的扇形中，圆心角为2rad，则扇形的面积是______ .
14. 已知平面向量a，b的夹角为60∘，a=(1,3)，|b|=1，则a⋅b= (1) ；|a−2b|= (2) .
15. 在菱形ABCD中，若BD=3，则CB⋅DB的值为______.
16. 关于下列命题：
①函数y=tanx在第一象限是增函数；
②函数y=cs2(π4−x)是偶函数；
③函数y=sin(2x−π3)的一个对称中心是(π6,0)；
④函数y=sin(x+π4)在闭区间[−π2,π2]上是增函数；
写出所有正确的命题的题号：______ .
17. 已知函数f(x)=2sin(2x+π3).
(Ⅰ)求f(x)的最小正周期T；
(Ⅱ)求f(x)的单调递增区间；
(Ⅲ)在给定的坐标系中作出函数f(x)(x∈[−π6,−π6+T])的简图，并直接写出函数f(x)在区间[π6,23π]上的最大值和最小值，并写出取得最值时对应x的值．
18. 已知|sinα|=23，|csβ|=34，在下面四个条件中选择一个：
(1)α，β都是第一象限角；
(2)α，β都是锐角；
(3)α，β都是第二象限角；
(4)α，β都是钝角．
求sin(α+β)和cs(α−β)的值．
19. 已知点A(2,0)，B(0,2)，C(csα,sinα)(其中00)，使得对于任意x∈R，f(x+T)=Af(x)成立，则称函数f(x)具有性质P.
(Ⅰ)判断函数y=x和y=csx具有性质P？(结论不要求证明)
(Ⅱ)若函数f(x)具有性质P，且其对应的T=π，A=2.已知当x∈(0,π]时，f(x)=sinx，求函数f(x)在区间[−π,0]上的最大值；
(Ⅲ)若函数g(x)具有性质P，且直线x=m为其图像的一条对称轴，证明：g(x)为周期函数．
答案和解析
1.【答案】D
【解析】解：sin(−π3)=−sinπ3=−32，
故选：D.
由条件利用诱导公式进行化简求值，可得结论．
本题主要考查利用诱导公式进行化简求值，属于基础题．
2.【答案】B
【解析】解：由于角α的终边经过点P(3,−4)，∴x=3，y=−4，r=|OP|=5，∴sinα=yr=−45，
故选：B.
由条件利用任意角的三角函数的定义，求得sinα的值．
本题主要考查任意角的三角函数的定义，属于基础题．
3.【答案】C
【解析】解：函数f(x)=sin(x2+π3)的最小正周期为：T=2π12=4π.
故选：C.
直接利用三角函数的周期求解即可．
本题考查三角函数的简单性质的应用，周期的求法，考查计算能力．
4.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查向量垂直的充要条件，以及向量数量积的坐标运算．
根据a⊥b即可得出a⋅b=0，进行数量积的坐标运算即可求出m的值．
【解答】
解：∵a⊥b，
∴a⋅b=2+2(1−m)=0，
∴m=2.
故选：C.
5.【答案】B
【解析】解：由向量a=(0,1)，b=(−2,1)，
所以a+2b=(−4,3)，
由向量的模的运算有：|a+2b|=(−4)2+33=5，
故选：B.
本由向量加法的坐标运算有：a+2b=(−4,3)，由向量的模的运算有|a+2b|=(−4)2+33=5，得解．
本题考查了向量加法的坐标运算及向量的模的运算，属简单题．
6.【答案】C
【解析】解：sin(π2−α)cs(−α)=csαcsα=1.
故选：C.
利用诱导公式化简即可计算得解．
本题主要考查了诱导公式在三角函数化简求值中的应用，属于基础题．
7.【答案】B
【解析】解：A：y=sinx在(0,π2)上是增函数；
C：y=csx在(π,3π2)上是增函数；
D：y=csx在(3π2,2π)上是增函数．
故选：B.
依次分析四个选项可得结果．
本题考查了正、余弦函数的单调区间，熟练掌握函数图象是关键，属基础题．
8.【答案】D
【解析】解：∵a,b为单位向量，且a⋅b=−22；
∴a⋅b=|a||b|cs=cs=−22；
又0≤≤π；
∴=3π4.
故选：D.
根据条件即可求出cs=−22，根据向量夹角的范围即可求出向量a,b的夹角．
考查单位向量的概念，向量数量积的计算公式，以及向量夹角的范围．
9.【答案】B
【解析】
【分析】
本题考查满足正弦值的角的取值范围的求法，考查正弦函数的图象和性质等基础知识，是基础题．利用正弦函数的图象和性质直接求解.
【解答】
解：∵α∈[0,2π),sinα>12,
∴π6A，且它们都是第一象限角，但tanA=tanB.
②由于函数y=cs2(π4−x)=sin2x是奇函数，故②错误；
③令x=π6，求得y=0，可得函数y=sin(2x−π3)的一个对称中心是(π6,0)，故③正确；
④函数y=sin(x+π4)在闭区间[−π2,π2]上，x+π4∈[−π4,3π4]，
故函数y=sin(x+π4)在闭区间[−π2,π2]上不是增函数，故④错误，
故答案为：③．
17.【答案】解：(Ⅰ)T=2π2=π.
(Ⅱ)由−π2+2kπ≤2x+π3≤π2+2kπ，k∈Z，
可得：−5π12+kπ≤x≤π12+kπ，k∈Z.
所以函数f(x)的单调递增区间是：[−5π12+kπ,π12+kπ]，k∈Z.
(Ⅲ)列对应值表如下：
通过描出五个关键点，再用光滑曲线顺次连接作出函数f(x)(x∈[−π6,−π6+T])的简图如图所示：
可得当x=π6时，函数f(x)在区间[π6,23π]上的最大值为3；
当x=7π12时，函数f(x)在区间[π6,23π]上的最小值为−2.
【解析】(Ⅰ)利用正弦函数的周期公式即可计算得解；
(Ⅱ)利用正弦函数的单调性即可求解；
(Ⅲ)利用五点作图法即可画出函数f(x)在一个周期内的图象，根据正弦函数的性质即可求解．
本题主要考查了正弦函数的图象和性质，考查了五点法作函数y=Asin(ωx+φ)的图象，考查了数形结合思想的应用，属于中档题．
18.【答案】解：选择条件(1)：
因为|sinα|=23，|csβ|=34，且α，β都是第一象限角，
所以sinα=23，csβ=34，所以csα=1−sin2α=53，sinβ=1−cs2β=74，
所以sin(α+β)=sinαcsβ+csαsinβ=23×34+53×74=6+3512，
cs(α−β)=csαcsβ+sinαsinβ=53×34+23×74=35+2712.
选择条件(2)：
因为|sinα|=23，|csβ|=34，且α，β都是锐角，
所以sinα=23，csβ=34，所以csα=1−sin2α=53，sinβ=1−cs2β=74，
所以sin(α+β)=sinαcsβ+csαsinβ=23×34+53×74=6+3512，
cs(α−β)=csαcsβ+sinαsinβ=53×34+23×74=35+2712.
选择条件(3)：
因为|sinα|=23，|csβ|=34，且α，β都是第二象限角，
所以sinα=23，csβ=−34，所以csα=−1−sin2α=−53，sinβ=1−cs2β=74，
所以sin(α+β)=sinαcsβ+csαsinβ=23×(−34)+(−53)×74=−6+3512，
cs(α−β)=csαcsβ+sinαsinβ=(−53)×(−34)+23×74=35+2712.
选择条件(4)：
因为|sinα|=23，|csβ|=34，且α，β都是钝角，
所以sinα=23，csβ=−34，所以csα=−1−sin2α=−53，sinβ=1−cs2β=74，
所以sin(α+β)=sinαcsβ+csαsinβ=23×(−34)+(−53)×74=−6+3512，
cs(α−β)=csαcsβ+sinαsinβ=(−53)×(−34)+23×74=35+2712.
【解析】根据α，β所在象限的三角函数符号，结合同角三角函数的平方关系，可得对应的三角函数值，再由两角和差公式，展开运算，得解．
本题考查三角函数的求值，熟练掌握同角三角函数的平方关系，两角和差公式是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于基础题．
19.【答案】解：由题意可得OA=(2,0)，OB=(0,2)，OC=(csα,sinα)，
则|OA|=2，|OB|=2，|OC|=1，
若|OA+OC|=7，则(OA+OC)2=7，即有OA2+OC2+2OA⋅OC=7，
即4+1+4csα=7，即有csα=12，
由00)，使得g(x+T0)=A0g(x0)成立，
所以g(2m−x0)=A0g(2m−x0−T0)，即g(2m−x0−T0)=1A0g(x0)，
由直线x=m是函数g(x)图像的一条对称轴，
得g(2m−x0−T0)=g(x0+T0)，
又因为g(x0+T0)=A0g(x0)，g(x0)≠0，
所以1A0g(x0)=A0g(x0)，即A0=1，
故对于任意x∈R，g(x+T0)=g(x)成立，其中T0>0.
综上，g(x)为周期函数．
【解析】本题为函数创新型题目，考查函数周期性的应用，需要对知识有一定的运用能力，为中等题目．
(Ⅰ)由函数y=x在R上单调递增，不具有性质P；函数y=csx的周期为2π，当A=1时，满足f(x+2π)=f(x)，具有性质P.
(Ⅱ)由性质P，得当x∈[−π,0]时，f(x)=−12sinx，求得最大值；
(Ⅲ)当g(x)=0，x∈R时，结论显然成立；g(x)不恒等于0的情况，即存在x0，使得g(x0)≠0，根据题中给出的性质p的定义，结合函数周期性进行判断．
2x+π3
0
π2
π
3π2
2π
x
−π6
π12
π3
7π12
5π6
f(x)
0
2
0
−2
0