2022-2023 数学浙教版新中考精讲精练 考点23圆的有关性质

考点23圆的有关性质

考点总结

1.圆的有关概念

(1)圆：平面上到定点的距离等于定长的所有点组成的图形叫做圆，定点叫做圆心，定长叫做圆的半径．以点O为圆心的圆，记做⊙O．

(2)弧和弦：圆上任意两点间的部分叫做圆弧，简称弧．连结圆上任意两点的线段叫做弦．经过圆心的弦叫做直径，直径是圆中最长的弦．

(3)与圆有关的角：

①圆心角：顶点在圆心的角叫做圆心角，圆心角的度数等于它所对的弧的度数．

②圆周角：顶点在圆上，两边分别和圆相交的角叫做圆周角．圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角度数的一半．

(4)三角形的外心：三角形外接圆的圆心叫做三角形的外心．外心也是三角形三边中垂线的交点．

(5)圆的内接四边形：如果一个四边形的各个顶点在同一个圆上，那么这个四边形叫做圆的内接四边形，这个圆叫做四边形的外接圆．圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角都等于它的内对角．

2．圆的有关性质：

 (1)圆是轴对称图形，其对称轴是任意一条过圆心的直线．圆是中心对称图形，对称中心为圆心，圆绕着它的圆心旋转任意一个角度都能和原来的圆重合．

(2)垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的弧．

推论1：平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的弧．

推论2：平分弧的直径垂直平分弧所对的弦．

(3)在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦、两个弦心距中有一对量相等，那么它们所对应的其余各组量都相等．

(4)圆心角与圆周角的关系：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．

推论1：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等；相等的圆周角所对的弧也相等．

推论2：半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．

(5)确定圆的条件：①已知圆心、半径；②已知直径；③不在同一条直线上的三点．

真题演练

一、单选题

1．（2021·浙江衢州·中考真题）已知扇形的半径为6，圆心角为．则它的面积是（   ）

A． B． C． D．

2．（2021·浙江嘉兴·中考真题）如图，在中，，AB=AC=5，点在上，且，点E是AB上的动点，连结，点，G分别是BC，DE的中点，连接，，当AG=FG时，线段长为（      ）

A． B． C． D．4

3．（2021·浙江·中考真题）如图，已知点是的外心，∠，连结，，则的度数是（    ）．

A． B． C． D．

4．（2021·浙江·中考真题）如图，已知在矩形中，，点是边上的一个动点，连结，点关于直线的对称点为，当点运动时，点也随之运动．若点从点运动到点，则线段扫过的区域的面积是（    ）

A． B． C． D．

5．（2021·浙江丽水·中考真题）如图，是的直径，弦于点E，连结．若的半径为，则下列结论一定成立的是（    ）

A． B． C． D．

6．（2021·浙江金华·中考真题）如图，在中，，以该三角形的三条边为边向形外作正方形，正方形的顶点都在同一个圆上．记该圆面积为，面积为，则的值是（    ）

A． B． C． D．

7．（2021·浙江绍兴·中考真题）如图，正方形ABCD内接于，点P在上，则的度数为（   ）

A． B． C． D．

8．（2021·浙江嘉兴·中考真题）已知平面内有和点，，若半径为，线段，，则直线与的位置关系为（      ）

A．相离 B．相交 C．相切 D．相交或相切

9．（2021·浙江·杭州市丰潭中学二模）如图，已知平面直角坐标系中，点A，B坐标分别为A（4，0），B（﹣6，0）．点C是y轴正半轴上的一点，且满足∠ACB＝45°，圆圆得到了以下4个结论：①△ABC的外接圆的圆心在OC上；②∠ABC＝60°；③△ABC的外接圆的半径等于5；④OC＝12．其中正确的是（　　）

A．①② B．②③ C．③④ D．①④

10．（2021·浙江·杭州市丰潭中学二模）如图，点A的坐标为（﹣3，2），⊙A的半径为1，P为坐标轴上一动点，PQ切⊙A于点Q，在所有P点中，使得PQ长最小时，点P的坐标为（　　）

A．（0，2） B．（0，3） C．（﹣2，0） D．（﹣3，0）

二、填空题

11．（2021·浙江杭州·中考真题）如图，已知的半径为1，点是外一点，且．若是的切线，为切点，连接，则_____．

12．（2021·浙江台州·中考真题）如图，将线段AB绕点A顺时针旋转30°，得到线段AC．若AB＝12，则点B经过的路径长度为_____．（结果保留π）

13．（2021·浙江温州·中考真题）图1是邻边长为2和6的矩形，它由三个小正方形组成，将其剪拼成不重叠、无缝隙的大正方形（如图2），则图1中所标注的的值为______；记图1中小正方形的中心为点，，，图2中的对应点为点，，．以大正方形的中心为圆心作圆，则当点，，在圆内或圆上时，圆的最小面积为______．

14．（2021·浙江宁波·中考真题）抖空竹在我国有着悠久的历史，是国家级的非物质文化遗产之一．如示意图，分别与相切于点C，D，延长交于点P．若，的半径为，则图中的长为________．（结果保留）

15．（2021·浙江温州·中考真题）如图，与的边相切，切点为．将绕点按顺时针方向旋转得到，使点落在上，边交线段于点．若，则______度．

三、解答题

16．（2021·浙江衢州·中考真题）如图，在中，，BC与相切于点D，过点A作AC的垂线交CB的延长线于点E，交于点F，连结BF．

（1）求证：BF是的切线．

（2）若，，求EF的长．

17．（2021·浙江台州·中考真题）如图，BD是半径为3的⊙O的一条弦，BD＝4，点A是⊙O上的一个动点（不与点B，D重合），以A，B，D为顶点作平行四边形ABCD．

（1）如图2，若点A是劣弧的中点．

①求证：平行四边形ABCD是菱形；

②求平行四边形ABCD的面积．

（2）若点A运动到优弧上，且平行四边形ABCD有一边与⊙O相切．

①求AB的长；

②直接写出平行四边形ABCD对角线所夹锐角的正切值．

18．（2021·浙江金华·中考真题）在扇形中，半径，点P在OA上，连结PB，将沿PB折叠得到．

（1）如图1，若，且与所在的圆相切于点B．

①求的度数．

②求AP的长．

（2）如图2，与相交于点D，若点D为的中点，且，求的长．