2022-2023 数学浙教版新中考精讲精练 考点24与圆有关的位置关系

考点24与圆有关的位置关系

考点总结

1.点与圆的位置关系

点与圆有三种位置关系,主要根据点到圆心的距离d与圆的半径r的大小关系得出.具体关系如下:

①点P在圆内⇔d＜r．  ②点P在圆上⇔d＝r．  ③点P在圆外⇔d＞r．

2. 直线与圆的位置关系

（1）相离:如果直线和圆没有公共点,那么称直线与圆相离.

（2）相切:如果直线和圆有唯一的公共点,那么称直线和圆相切,这条直线叫做圆的切线,这个唯一的公共点叫做圆的切点.

（3）.相交:如果直线和圆有两个公共点,那么称直线和圆相交,这条直线叫做圆的割线,这两个公共点叫做交点.

（4）直线与圆有三种位置关系,具体的位置关系取决于圆心O到直线l的距离d和☉O的半径r之间的大小关系,几种位置关系的区别如下表:

3.切线的判定和性质

（1）切线的判定方法

①与圆有唯一公共点的直线是圆的切线(切线的定义); ②圆心到直线的距离等于半径的直线是圆的切线; ③经过半径外端点并且垂直于这条半径的直线是圆的切线(切线的判定定理).

（2）切线的性质

①切线与圆只有一个公共点; ②圆心到切线的距离等于半径; ③切线垂直于过切点的半径.

（3）切线长

①定义:经过圆外一点作圆的切线,这点和切点之间的线段的长,叫做这点到圆的切线长.

②性质定理:从圆外一点引圆的两条切线,它们的切线长相等.

4．三角形的内切圆：与三角形三边都相切的圆叫做三角形的内切圆，圆心叫做三角形的内

心，三角形叫做圆的外切三角形．三角形的内心是三角形的三条角平分线的交点，内切圆的

半径是内心到三边的距离．

真题演练

一、单选题

1．（2021·浙江·中考真题）如图，已知点是的外心，∠，连结，，则的度数是（    ）．

A． B． C． D．

2．（2021·浙江金华·中考真题）如图，在中，，以该三角形的三条边为边向形外作正方形，正方形的顶点都在同一个圆上．记该圆面积为，面积为，则的值是（    ）

A． B． C． D．

3．（2021·浙江嘉兴·中考真题）已知平面内有和点，，若半径为，线段，，则直线与的位置关系为（      ）

A．相离 B．相交 C．相切 D．相交或相切

4．（2021·浙江·杭州市丰潭中学二模）如图，点A的坐标为（﹣3，2），⊙A的半径为1，P为坐标轴上一动点，PQ切⊙A于点Q，在所有P点中，使得PQ长最小时，点P的坐标为（　　）

A．（0，2） B．（0，3） C．（﹣2，0） D．（﹣3，0）

5．（2021·浙江·杭州市采荷中学二模）如图，是等边的外接圆，点是弧上的点，且，则的度数为（    ）

A． B． C． D．

6．（2021·浙江·温州绣山中学三模）如图，点E为Rt△ABC的直角边AC上一点，以CE为直径的半圆与斜边AB相切于点D，连结DE．若∠B＝70°，则∠CED为（    ）

A．70° B．65° C．55° D．35°

7．（2021·浙江鹿城·二模）如图，直线与相切于点，交于点，连接，．若，则的度数为（    ）

A．20° B．25° C．30° D．35°

8．（2021·浙江余杭·二模）如图，⊙O是Rt△ABC的外接圆，∠ACB＝90°，过点C作⊙O的切线，交AB的延长线于点D．设∠A＝α，∠D＝β，则（　　）

A．α﹣β B．α+β＝90° C．2α+β＝90° D．α+2β＝90°

9．（2021·浙江余杭·三模）如图，以点为圆心作圆恰好与直线相切，则与半径相等的线段是（    ）

A． B． C． D．

10．（2021·浙江桐乡·一模）如图，是的直径，点在的延长线上，切于点．若，，则等于（    ）．

A．6 B．4 C． D．3

二、填空题

11．（2021·浙江·绍兴市柯桥区杨汛桥镇中学二模）如图，PB与⊙O相切于点B，OP与⊙O相交于点A，若⊙O的半径为2，∠P＝30°，则的长为______．

12．（2021·浙江拱墅·二模）如图，点O是△ABC的内心，AO的延长线交△ABC的外接圆于点D，交BC于点E，设＝a，则＝___．（用含a的代数式表示）

13．（2021·浙江永康·一模）如图，图1是某滑动模具示意图，转动飞轮时，圆上固定点B随之在连杆上的滑道滑动，并带动连杆绕端点O左右摆动．图2是某平台侧面示意图，平台高，上底宽，下底宽，，以图2所示方式建立平面直角坐标系，点H的坐标为，侧曲面恰好完全落在反比例函数的图象上．

（1）则k的值为__________．

（2）若飞轮半径为，转动飞轮从顶端F经侧曲面向地面x轴无滑动滚动，为保证模具在平台上顺利滑动，滑道的长度至少为__________．

14．（2021·浙江婺城·二模）现在很多家庭都使用折叠型西餐桌来节省空间，两边翻开后成圆形桌面（如图1）．餐桌两边AD和BC平行且相等（如图2），小华用皮带尺量出AC＝4米，AB＝2米，那么桌面翻成圆桌后，桌子面积会增加__平方米．（结果保留π）

15．（2021·浙江宁波·模拟预测）如图，等边三角形ABC的边长为4，E、F分别是边AB，BC上的动点，且AE＝BF，连接EF，以EF为直径作圆O．当圆O与AC边相切时，AE的长为_____．

三、解答题

16．（2021·浙江·杭州市采荷中学二模）在中，，以为直径的交于点．

（1）如图①，以点为圆心，为半径作圆弧交于点，连结，若，求；

（2）如图②，过点作的切线交于点，求证：；

（3）如图③，在（1）（2）的条件下，若，求的值．

17．（2021·浙江省杭州市上泗中学二模）如图，为的直径，为延长线上一点，是的切线，为切点，于点，交于点．

（1）求证：；

（2）若，，求的长．

18．（2021·浙江·翠苑中学二模）如果三角形的两个内角与满足，那么我们称这样的三角形为“准直角三角形”．

（1）如图1，中，，点在上，且．求证：是“准直角三角形”．

（2）如图2，中，，，为钝角，若为“准直角三角形”，求的长．

（3）如图3，四边形是的内接四边形，连结，，为的直径，为“准直角三角形”．若，，求的长．