2022-2023 数学浙教版中考考点经典导学 考点15角、相交线与平行线

考点15角、相交线与平行线

考点总结

考点1  角   

1、角的相关概念

有公共端点的两条射线组成的图形叫做角，这个公共端点叫做角的顶点，这两条射线叫做角的边。

当角的两边在一条直线上时，组成的角叫做平角。

平角的一半叫做直角；小于直角的角叫做锐角；大于直角且小于平角的角叫做钝角。

如果两个角的和是一个直角，那么这两个角叫做互为余角，其中一个角叫做另一个角的余角。

如果两个角的和是一个平角，那么这两个角叫做互为补角，其中一个角叫做另一个角的补角。

2、角的表示

角可以用大写英文字母、阿拉伯数字或小写的希腊字母表示，具体的有一下四种表示方法：

①用数字表示单独的角，如∠1，∠2，∠3等。

②用小写的希腊字母表示单独的一个角，如∠α，∠β，∠γ，∠θ等。

③用一个大写英文字母表示一个独立（在一个顶点处只有一个角）的角，如∠B，∠C等。

④用三个大写英文字母表示任一个角，如∠BAD，∠BAE，∠CAE等。

注意：用三个大写英文字母表示角时，一定要把顶点字母写在中间，边上的字母写在两侧。

3、角的度量

角的度量有如下规定：把一个平角180等分，每一份就是1度的角，单位是度，用“°”表示，1度记作“1°”，n度记作“n°”。

把1°的角60等分，每一份叫做1分的角，1分记作“1’”。

把1’ 的角60等分，每一份叫做1秒的角，1秒记作“1””。

1°=60’=60”

4、角的性质

（1）角的大小与边的长短无关，只与构成角的两条射线的幅度大小有关。

（2）角的大小可以度量，可以比较

（3）角可以参与运算。

5、角的平分线及其性质

一条射线把一个角分成两个相等的角，这条射线叫做这个角的平分线。

角的平分线有下面的性质定理：

（1）角平分线上的点到这个角的两边的距离相等。

（2）到一个角的两边距离相等的点在这个角的平分线上。

考点2  相交线   

1、相交线中的角

两条直线相交，可以得到四个角，我们把两条直线相交所构成的四个角中，有公共顶点但没有公共边的两个角叫做对顶角。我们把两条直线相交所构成的四个角中，有公共顶点且有一条公共边的两个角叫做临补角。

临补角互补，对顶角相等。

直线AB，CD与EF相交（或者说两条直线AB，CD被第三条直线EF所截），构成八个角。其中∠1与∠5这两个角分别在AB，CD的上方，并且在EF的同侧，像这样位置相同的一对角叫做同位角；∠3与∠5这两个角都在AB，CD之间，并且在EF的异侧，像这样位置的两个角叫做内错角；∠3与∠6在直线AB，CD之间，并侧在EF的同侧，像这样位置的两个角叫做同旁内角。

2、垂线

两条直线相交所成的四个角中，有一个角是直角时，就说这两条直线互相垂直。其中一条直线叫做另一条直线的垂线，它们的交点叫做垂足。

直线AB，CD互相垂直，记作“AB⊥CD”（或“CD⊥AB”)，读作“AB垂直于CD”（或“CD垂直于AB”）。

垂线的性质：

性质1：过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。

性质2：直线外一点与直线上各点连接的所有线段中，垂线段最短。简称：垂线段最短。

考点3  平行线   

    1、平行线的概念

在同一个平面内，不相交的两条直线叫做平行线。平行用符号“∥”表示，如“AB∥CD”，读作“AB平行于CD”。

同一平面内，两条直线的位置关系只有两种：相交或平行。

注意：

（1）平行线是无限延伸的，无论怎样延伸也不相交。

（2）当遇到线段、射线平行时，指的是线段、射线所在的直线平行。

2、平行线公理及其推论

平行公理：经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行。

推论：如果两条直线都和第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行。

3、平行线的判定

平行线的判定公理：两条直线被第三条直线所截，如果同位角相等，那么两直线平行。简称：同位角相等，两直线平行。

平行线的两条判定定理：

（1）两条直线被第三条直线所截，如果内错角相等，那么两直线平行。简称：内错角相等，两直线平行。

（2）两条直线被第三条直线所截，如果同旁内角互补，那么两直线平行。简称：同旁内角互补，两直线平行。

补充平行线的判定方法：

（1）平行于同一条直线的两直线平行。

（2）垂直于同一条直线的两直线平行。

（3）平行线的定义。

4、平行线的性质

（1）两直线平行，同位角相等。

（2）两直线平行，内错角相等。

（3）两直线平行，同旁内角互补。

真题演练

一、单选题

1．（2021·浙江丽水·中考真题）如图，在纸片中，，点分别在上，连结，将沿翻折，使点A的对应点F落在的延长线上，若平分，则的长为（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】

先根据勾股定理求出AB，再根据折叠性质得出∠DAE=∠DFE，AD=DF，然后根据角平分线的定义证得∠BFD=∠DFE=∠DAE，进而证得∠BDF=90°，证明Rt△ABC∽Rt△FBD，可求得AD的长．

【详解】

解：∵，

∴=5，

由折叠性质得：∠DAE=∠DFE，AD=DF，则BD=5﹣AD，

∵平分，

∴∠BFD=∠DFE=∠DAE，

∵∠DAE+∠B=90°，

∴∠BDF+∠B=90°，即∠BDF=90°，

∴Rt△ABC∽Rt△FBD，

∴即，

解得：AD=，

故选：D．

2．（2021·浙江台州·中考真题）一把直尺与一块直角三角板按如图方式摆放，若∠1＝47°，则∠2＝（   ）

A．40° B．43° C．45° D．47°

【答案】B

【分析】

过三角板的直角顶点作直尺两边的平行线，根据平行线的性质即可求解．

【详解】

解：如图，过三角板的直角顶点作直尺两边的平行线，

∵直尺的两边互相平行，

∴，

∴，

∴，

故选：B．

3．（2021·浙江杭州·中考真题）如图，设点是直线外一点，，垂足为点，点是直线上的一个动点，连接，则（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【分析】

根据垂线段距离最短可以判断得出答案．

【详解】

解：根据点是直线外一点，，垂足为点，

是垂线段，即连接直线外的点与直线上各点的所有线段中距离最短，

当点与点重合时有，

综上所述：，

故选：C．

4．（2021·浙江金华·中考真题）某同学的作业如下框，其中※处填的依据是（    ）

A．两直线平行，内错角相等 B．内错角相等，两直线平行

C．两直线平行，同位角相等 D．两直线平行，同旁内角互补

【答案】C

【分析】

首先准确分析题目，已知，结论是，所以应用的是平行线的性质定理，从图中得知∠3和∠4是同位角关系，即可选出答案．

【详解】

解：∵，

∴（两直线平行，同位角相等）．

故选C．

5．（2020·浙江衢州·中考真题）过直线l外一点P作直线l的平行线，下列尺规作图中错误的是（　　）

A． B．

C． D．

【答案】D

【分析】

根据平行线的判定方法一一判断即可．

【详解】

A、由作图可知，内错角相等两直线平行，本选项不符合题意．

B、由作图可知，同位角相等两直线平行，本选项不符合题意．

C、与作图可知，垂直于同一条直线的两条直线平行，本选项不符合题意，

D、无法判断两直线平行，

故选：D．

6．（2020·浙江金华·中考真题）如图，工人师傅用角尺画出工件边缘AB的垂线a和b，得到a∥b，理由是（  ）

A．连结直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短

B．在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线互相平行

C．在同一平面内，过一点有一条而且仅有一条直线垂直于已知直线

D．经过直线外一点，有且只有一条直线与这条直线平行

【答案】B

【分析】

根据在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行判断即可．

【详解】

解：

∵由题意a⊥AB，b⊥AB，

∴∠1=∠2

∴a∥b

所以本题利用的是：同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，
故选：B．

7．（2020·浙江绍兴·模拟预测）在中，于D，平分交于E，则下列结论一定成立的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】D

【分析】

根据同角的余角相等可得出∠BCD=∠A，根据角平分线的定义可得出∠ACE=∠DCE，再结合∠BEC=∠A+∠ACE、∠BCE=∠BCD+∠DCE即可得出∠BEC=∠BCE，利用等角对等边即可得出BC=BE，此题得解．

【详解】

解：∵∠ACB=90°，CD⊥AB，

∴∠ACD+∠BCD=90°，∠ACD+∠A=90°，

∴∠BCD=∠A．

∵CE平分∠ACD，

∴∠ACE=∠DCE．

又∵∠BEC=∠A+∠ACE，∠BCE=∠BCD+∠DCE，

∴∠BEC=∠BCE，

∴BC=BE．

故选：D．

8．（2020·浙江杭州·模拟预测）如图，在中，，，的平分线交于E，交的延长线于点F，则（　　　）

A．1 B．2 C．2.5 D．3

【答案】B

【分析】

根据平行四边形的性质得到∠ABE=∠CFE，结合角平分线的定义得到∠ABE=∠CBF，可推出CF=CB=5，从而求解．

【详解】

解：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB∥CD，AD=BC=5，AB=CD=3，
∴∠ABE=∠CFE，
∵∠ABC的平分线交AD于点E，
∴∠ABE=∠CBF，
∴∠CBF=∠CFB，
∴CF=CB=5，
∴DF=CF-CD=5-3=2，
故选：B．

9．（2021·浙江杭州·二模）如图，，点在上，平分，若，则的度数为（    ）

A．30° B．40° C．50° D．60°

【答案】C

【分析】

由题意易得，然后根据角平分线的定义可求解．

【详解】

解：∵，，

∴，

∵平分，

∴；

故选C．

10．（2021·浙江拱墅·二模）两条平行直线被第三条直线所截，内错角的平分线（    ）

A．互相重合 B．互相平行 C．相交 D．互相垂直

【答案】B

【详解】

解：如图，∵AD∥BC，

∴∠DEF=∠BFE，

∵EM平分∠DEF，FN平分∠BFE，

∴∠1=∠DEF，∠2=∠BFE，

∴∠1=∠2，

∴EM∥FN，即：当两条平行线直线被第三条直线所截，则内错角的平分线互相平行.

故选B.

二、填空题

11．（2021·浙江湖州·模拟预测）已知∠α的补角是130°，则∠α=__________度．

【答案】50

【分析】

根据互补两角之和为求解即可．

【详解】

解：，

的补角．

故答案为：50．

12．（2021·浙江余杭·一模）如图，在Rt△ABC中，∠C＝90°，∠B＝30°，AD平分∠BAC，BD＝6，则CD的长为_____．

【答案】

【分析】

根据直角三角形的两锐角互余、角平分线的定义、等角对等边、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半进行推导即可得解．

【详解】

解：∵在中，，

∴

∵平分

∴

∴

∵

∴

∴在中，．

故答案是：

13．（2021·浙江杭州·二模）如图，直线a，b，a//b，点C在直线b上，∠DCB＝90°，若∠1＝70°，则∠2的度数为______．

【答案】20°

【分析】

先根据对顶角的定义求出∠3的度数，再由平行线的性质即可得出结论．

【详解】

解：∵∠1＝70°，∠1与∠3是对顶角，

∴∠3＝∠1＝70°．

∵a//b，点C在直线b上，∠DCB＝90°，

∴∠2+∠DCB+∠3＝180°，

∴∠2＝180°﹣∠3﹣∠DCB＝180°﹣70°﹣90°＝20°．

故答案为：20°．

14．（2021·浙江·杭州市采荷中学二模）如图，，分别与，交于点，．若，，则______．

【答案】25°

【分析】

直接利用两直线平行，同旁内角互补的性质得出∠ABF=60°，进而利用三角形外角的性质得出答案．

【详解】

解：∵AB∥CD，

∴∠ABF+∠EFC=180°，

∵∠EFC=120°，

∴∠ABF=180°-∠EFC=60°，

∵∠A+∠E=∠ABF，∠E=35°，

∴∠A=25°．

故答案为：25°．

15．（2021·浙江余杭·二模）已知：如图，BC⊥AC于点C，CD⊥AB于点D，BE∥CD．若∠EBC＝50°，则∠A＝____．

【答案】50°．

【分析】

根据平行线的性质得到∠EBC＝∠BCD，根据垂直的定义得到∠BCD+∠DCA＝∠A+∠DCA，等量代换即可得到结论．

【详解】

∵BE∥CD，∠EBC＝50°，

∴∠BCD＝∠EBC＝50°，

∵BC⊥AC，

∴∠ACB＝90°，

∴∠ACD＝90°﹣50°＝40°，

∵CD⊥AB，

∴∠ACD＝90°，

∴∠A＝90°﹣∠ACD＝90°﹣40°＝50°，

故答案为50°．

三、解答题

16．（2021·浙江温州·中考真题）如图，是的角平分线，在上取点，使．

（1）求证：．

（2）若，，求的度数．

【答案】（1）见解析；（2）35°

【分析】

（1）直接利用角平分线的定义和等边对等角求出，即可完成求证；
（2）先求出∠ADE，再利用平行线的性质求出∠ ABC，最后利用角平分线的定义即可完成求解．
【详解】

解：（1）平分，

．

，

，

，

．

（2），，

．

．

．

平分，

，

即．

17．（2021·浙江绍兴·中考真题）问题：如图，在中，，，，的平分线AE，BF分别与直线CD交于点E，F，求EF的长．

答案：．

探究：（1）把“问题”中的条件“”去掉，其余条件不变．

①当点E与点F重合时，求AB的长；

②当点E与点C重合时，求EF的长．

（2）把“问题”中的条件“，”去掉，其余条件不变，当点C，D，E，F相邻两点间的距离相等时，求的值．

【答案】（1）①10；②5；（2），，

【分析】

（1）①利用平行四边形的性质和角平分线的定义先分别求出，，即可完成求解；
②证明出即可完成求解；
（2）本小题由于E、F点的位置不确定，故应先分情况讨论，再根据每种情况，利用 ，以及点 C，D，E，F相邻两点间的距离相等建立相等关系求解即可．

【详解】

（1）①如图1，四边形ABCD是平行四边形，

，

．

平分，

．

．

．

同理可得：．

点E与点F重合，

．

②如图2，点E与点C重合，

同理可证，

∴▱ABCD 是菱形，

，

点F与点D重合，

．

（2）情况1，如图3，

可得，

．

情况2，如图4，

同理可得，，

又，

．

情况3，如图5，

由上，同理可以得到，

又，

．

综上：的值可以是，，．

18．（2020·浙江·中考真题）如图，已知△ABC是⊙O的内接三角形，AD是⊙O的直径，连结BD，BC平分∠ABD．

（1）求证：∠CAD=∠ABC；

（2）若AD=6，求的长．

【答案】（1）证明见解析；（2）π．

【分析】

（1）利用角平分线的性质结合圆周角定理即可证明；

（2）可证得=，则的长为圆周长的．

【详解】

（1）证明：∵BC平分∠ABD，

∴∠DBC=∠ABC，

∵∠CAD=∠DBC，

∴∠CAD=∠ABC；

（2）解：∵∠CAD=∠ABC，

∴=，