泰州市靖江市靖城中学2021-2022学年八年级3月月考数学试题（含解析）

泰州市靖江市靖城中学2021-2022学年八年级3月月考数学试题

（卷面分值：150分    时间：120分钟）

一、选择题（本大题共6小题，每题3分，共18分）

1. ﹣的相反数为（    ）．

A.  B. ﹣ C. ﹣ D.

2. 下列二次根式中，属于最简二次根式是（    ）

A.  B.  C.  D.

3. 下列计算中，正确的是（　　）

A.

B.

C

D

4. 除了通过分式基本性质进行分式变形外，有时，就是只把分式中的a，b同时扩大为原来的2倍后，分式的值也不会变，则此时h的值可以是下列中的（    ）

A. 2 B.  C. ab D. a2

5. 某工程队在改造一条长1600米的人行步道，为尽量减少施工对交通的影响，施工时_____，若实际施工每天改造x米，可列方程，则横线上的信息可以是（    ）

A. 每天比原计划多铺设18米，结果提前15天完成

B. 每天比原计划多铺设18米，结果延期15天完成

C. 每天比原计划少铺设18米，结果延期15天完成

D. 每天比原计划少铺设18米，结果提前15天完成

6. 如图，点P、Q在直线AB外，在点O沿着直线AB从左往右运动的过程中，形成无数个三角形：△O1PQ、△O2PQ、…、△OnPQ、△On+1PQ…，在这样的运动变化过程中，这些三角形的周长变化为（    ）

A. 不断变大 B. 不断变小

C. 先变小再变大 D. 先变大再变小

二、填空题（本大题共10小题，每题3分，共30分）
 

7. 如果分式有意义，那么x的取值范围是_____．

8. 要对，，进行通分，则它们的最简公分母是________．

9. 若、满足，则____．

10. 已知与最简二次根式是同类二次根式，则a的值是_____．

11. 若，则________．

12. 已知a、b是相邻的两个正整数，且a＜2﹣1＜b，则a+b的值是_____．

13. 若关于x的方程会产生增根，则m的值为________．

14. 如图所示的网格由边长为1的小正方形组成，点A、B、C在小正方形的顶点上，D为BC的中点，则AD为________．

15. 如图1，将正方形纸片ABCD对折，使AB与CD重合，折痕为EF．如图2，展开后再折叠一次，使点C与点E重合，折痕为GH，点B的对应点为点M，EM交AB于N．若AD＝8，则折痕GH的长度为________．

16. 如图，点A、B在x轴上，点C在y轴的正半轴上，且AC＝BC＝，OC＝1，P为线段AB上一点，则PC 2+PA⋅PB的值为 _____．

三、简答题（本大题共10小题，共102分）

17. 计算：

（1）；

（2）；

（3）．

18. 解方程：

（1）；

（2）．

19. 先化简，再求值：，其中 a＝．

20. 如图，△ABC中，∠ACB=Rt∠，AB=，BC=，求斜边AB上高CD．

21. 如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D、E分别在边AB、AC上，给出下列信息：

①BE平分∠ABC；②CD⊥AB；③∠CFE＝∠CEF．

（1）请在上述3条信息中选择其中两条作为条件，其余的一条信息作为结论组成一个命题．在保证命题正确的情况下，你选择的条件是________，结论是________．（只要填写序号）．

（2）请证明（1）中你组成的命题的正确性．

22. （1）发现规律：

特例1：＝＝＝；

特例2：＝＝＝；

特例3：＝4；

特例4：________．（填写一个符合上述运算特征的例子）；

（2）归纳猜想：

如果n为正整数，用含n的式子表示上述的运算规律为：________；

（3）请证明你的猜想．

23. 如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，射线BE交AC于点E，AB＝AE．

（1）作图：只用圆规在射线BE上作出点D，使∠ACD＝90°（保留作图痕迹并简要写出作法）；

（2）在（1）的条件下连接CD，若CE＝1，DE＝2，求AB长．

24. 阅读；在一杯水中，加入了食盐，搅拌均匀，就称作盐水．早在古代，人们就已经发现了这种水的存在．盐水可以消毒，是我们生活中常用物品，而且我们生病时所用的也是盐水（生理盐水），如果一容器内有a克盐水，其中含盐b克，则盐水的浓度=×100%．

（1）公式应用：若容器中有80克盐水，其中含水60克，则盐水的浓度为__________；

（2）拓展延伸：若容器中有50克盐水，其中含盐5克，则需要蒸发多少克水，使该容器内的盐水浓度提高到原来的2倍；

（3）解决问题：若在装有盐水的容器中加入若干盐，食盐水的浓度怎么变化，为什么？(设该容器内原有a克盐水，其中含盐b克，再加入c克盐，用数学的方法书写过程)．

25. 如图1，与是共顶点的两个等腰三角形，其中，，，连接、．

（1）求证：；

（2）如图2，固定，将绕点旋转，若，，，当点旋转到线段上时，求的长；

（3）如图3，设为、的交点，、分别为、的中点，，，试探究与的数量关系，并说明理由．

26. 如图，在平面直角坐标系中，直线l：y＝x+b（b＜0）与x轴交于点C．点D为直线l上第一象限内一点，过D作DE⊥y轴于点E，CA⊥DE于点A．点B在线段DA上，DB＝AC．连接CB，P为线段CB上一动点，过点P作PR⊥x轴，分别交x轴、CD、DE于点R、Q、S．

（1）若点D坐标为(12，3)．

①求直线BC的函数关系式；

②若Q为RS中点，求点P坐标．

（2）在点P运动的过程中，的值是否变化？若不变，求出该值；若变化，请说明理由．

答案与解析

一、选择题（本大题共6小题，每题3分，共18分）

1. ﹣的相反数为（    ）．

A.  B. ﹣ C. ﹣ D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据只有符号不同的两个数叫做互为相反数解答．

【详解】解：的相反数为，

故选：D．

【点睛】本题考查了实数的性质，主要利用了相反数的定义，熟记概念是解题的关键．

2. 下列二次根式中，属于最简二次根式的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据最简二次根式的定义逐项判断即可得．

【详解】A、，则不是最简二次根式，此项不符题意；

B、是最简二次根式，此项符合题意；

C、，则不是最简二次根式，此项不符题意；

D、，则不是最简二次根式，此项不符题意；

故选：B．

【点睛】本题考查了最简二次根式，熟记定义是解题关键．

3. 下列计算中，正确的是（　　）

A.

B.

C.

D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据同类二次根式的定义，积的乘方的逆用，平方差公式，算术平方根计算求解判断即可.

【详解】解：A．与不是同类二次根式，不能合并，此选项错误；

B．

此选项正确；

C．此选项错误；

D．2与2不是同类二次根式，此选项错误；

故选B．

【点睛】本题主要考查了同类二次根式的定义，积的乘方的逆用，平方差公式，算术平方根，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.

4. 除了通过分式的基本性质进行分式变形外，有时，就是只把分式中的a，b同时扩大为原来的2倍后，分式的值也不会变，则此时h的值可以是下列中的（    ）

A. 2 B.  C. ab D. a2

【答案】B

【解析】

【分析】直接利用分式的基本性质分别代入判断得出答案．

【详解】解：如果把分式中的、同时扩大为原来的2倍，得到的分式的值不变，则中可以是：．

故选：B．

【点睛】本题考查了分式的基本性质，能熟记分式的基本性质是解此题的关键，注意：分式的基本性质是：分式的分子和分母都乘以或除以同一个不为0的整式，分式的值不变，②分式分子的符号，分式分母的符号，分式本身的符号，改变其中的两个符号，分式本身的值不变．

5. 某工程队在改造一条长1600米的人行步道，为尽量减少施工对交通的影响，施工时_____，若实际施工每天改造x米，可列方程，则横线上的信息可以是（    ）

A. 每天比原计划多铺设18米，结果提前15天完成

B. 每天比原计划多铺设18米，结果延期15天完成

C. 每天比原计划少铺设18米，结果延期15天完成

D. 每天比原计划少铺设18米，结果提前15天完成

【答案】A

【解析】

【分析】根据题意和题目中的方程可知，实际每天改造人行步道x米，则原计划每天改造人行步道（x-18）米，实际比原计划提前25天，从而可以选出符合题意的选项．

【详解】解：由题意可得，

题中用“_____”表示的缺失的条件应补为：每天比原计划多铺设18米，结果提前15天完成，

故选：A．

【点睛】本题考查由实际问题抽象出分式方程，解答本题关键是明确题意，写出表示方程的实际含义．

6. 如图，点P、Q在直线AB外，在点O沿着直线AB从左往右运动的过程中，形成无数个三角形：△O1PQ、△O2PQ、…、△OnPQ、△On+1PQ…，在这样的运动变化过程中，这些三角形的周长变化为（    ）

A. 不断变大 B. 不断变小

C. 先变小再变大 D. 先变大再变小

【答案】C

【解析】

【分析】作点P关于直线AB的对称点P′，连接P′Q交直线AB于点O，当点O运动到此点时三角形的周长最短，由此即可得出结论．

【详解】解：作点P关于直线AB的对称点P′，连接P′Q交直线AB于点O，

∵两点之间线段最短，且PQ为定值，

∴当点O运动到此点时三角形的周长最短，

∴这些三角形周长变化为先变小再变大．

故选：C．

【点睛】本题考查的是轴对称-最短路线问题，熟知两点之间线段最短是解答此题的关键．

二、填空题（本大题共10小题，每题3分，共30分）
 

7. 如果分式有意义，那么x的取值范围是_____．

【答案】x≠3

【解析】

【分析】分母为零，分式无意义；分母不为零，分式有意义．

【详解】当分母x﹣3≠0，即x≠3时，分式有意义．

故答案是：x≠3．

【点睛】本题考查了分式有意义的条件．从以下三个方面透彻理解分式的概念：

（1）分式无意义⇔分母为零；

（2）分式有意义⇔分母不为零；

（3）分式值为零⇔分子为零且分母不为零．

8. 要对，，进行通分，则它们的最简公分母是________．

【答案】12x3yz

【解析】

【分析】取各分母系数的最小公倍数与字母因式的最高次幂的积作公分母．

【详解】解：xy、4xy3、6xyz中，各单项式的系数1、4、6的最小公倍数为12，字母x的最高次幂为3，y、z的最高次幂均为1，所以它们的最简公分母为：12x3yz，

故答案为：12x3yz．

【点睛】本题考查了最简公分母的确定，解题的关键是掌握最简公分母的定义．

9. 若、满足，则____．

【答案】5

【解析】

【分析】根据完全平方公式与二次根式、绝对值的非负性即可求出a，b，故可求解．

【详解】∵

∴

∴

∴2a+b=0，a-1=0

解得a=1，b=-2

∴5

故答案为：5．

【点睛】此题主要考查代数式求值，解题的关键是熟知二次根式的运算法则及非负性．

10. 已知与最简二次根式是同类二次根式，则a的值是_____．

【答案】2

【解析】

【分析】根据与最简二次根式是同类二次根式，可以得到关于a的方程，解之可得a的值．

【详解】解：＝2，

∵与最简二次根式是同类二次根式，

∴2a﹣1＝3，

解得：a＝2，

故答案为：2．

【点睛】本题考查同类二次根式的判断和应用，注意在判断同类二次根式时，每个根式必须是最简二次根式．

11. 若，则________．

【答案】

【解析】

【分析】根据比例的基本性质进行化简，代入求职即可．

【详解】由可得，，

代入．

故答案为．

【点睛】本题主要考查了比例的基本性质化简，准确观察分析是解题的关键．

12. 已知a、b是相邻两个正整数，且a＜2﹣1＜b，则a+b的值是_____．

【答案】11

【解析】

【分析】先估算出2-1的整数和小数部分，再求出a，b的值即可．

【详解】解：∵<<3.4

∴

∴

∵a、b是相邻的两个正整数，且a＜2﹣1＜b，

∴a=5，b=6，
∴a+b=5+6=11；
故答案为：11．

【点睛】此题考查了估算无理数的大小，解题关键是确定无理数的整数部分即可解决问题．

13. 若关于x的方程会产生增根，则m的值为________．

【答案】3

【解析】

【分析】增根是分式方程化为整式方程后产生的使分式方程的分母为0的根．有增根，那么最简公分母x-1=0，所以增根是x=1，把增根代入化为整式方程的方程即可求出m的值．

【详解】解：方程两边都乘（x-1），得

m+2（x-1）=3，

∵原方程有增根，

∴最简公分母x-1=0，即增根是x=1，

把x=1代入整式方程，得m=3，

故答案为：3．

【点睛】本题考查了分式方程的增根，增根问题可按如下步骤进行：①根据最简公分母确定增根的值；②化分式方程为整式方程；③把增根代入整式方程即可求得未知字母的值．

14. 如图所示的网格由边长为1的小正方形组成，点A、B、C在小正方形的顶点上，D为BC的中点，则AD为________．

【答案】

【解析】

【分析】先运用勾股定理求出BC，再运用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可得出答案．

【详解】解：在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=2，AC=3，

∴BC=，

∵∠BAC=90°，D为BC的中点，

∴AD=BC=，

故答案为：．

【点睛】本题考查了勾股定理、直角三角形的性质，熟练运用直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半这一性质是解题关键．

15. 如图1，将正方形纸片ABCD对折，使AB与CD重合，折痕为EF．如图2，展开后再折叠一次，使点C与点E重合，折痕为GH，点B的对应点为点M，EM交AB于N．若AD＝8，则折痕GH的长度为________．

【答案】

【解析】

【分析】连接CE，过点G作GJ⊥CD于J，根据正方形和折叠的性质得到条件，证明△EFC≌△GJH，得到EC=GH，再根据正方形的性质和勾股定理，结合AD=8即可求出结果．

【详解】解：连接CE，过点G作GJ⊥CD于J，设EC和GH交于点O，

∵四边形ABCD是正方形，

∴∠BCD=90°，∠B=∠BCD=90°，

∴四边形BCJG为矩形，

∴GJ=BC=EF，

由折叠可得：E，C关于GH对称，

∴EC⊥GH，AB=EF=CD，

∴∠OHC+∠OCH=90°，

又∠OCH+∠ECF=90°，

∴∠ECF=∠GHJ，

在△EFC和△GJH中，

，

∴△EFC≌△GJH（AAS），

∴EC=GH，

∵AD=8，

∴EF=8，CF=4，

∴GH=CE==，

故答案为：．

【点睛】本题考查了正方形的性质，翻折变换，勾股定理，全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考压轴题．

16. 如图，点A、B在x轴上，点C在y轴的正半轴上，且AC＝BC＝，OC＝1，P为线段AB上一点，则PC 2+PA⋅PB的值为 _____．

【答案】5

【解析】

【分析】由勾股定理可求AO＝BO＝2，设点P（x，0），由勾股定理和两点之间距离公式可求解．

【详解】解：∵AC＝BC＝，OC＝1，

∴AO＝BO＝＝＝2，

设点P（x，0），则PA＝x+2，PB＝2﹣x，PC2= x2+1，

∴PC2+PA•PB＝x2+1+（x+2）（2﹣x）＝5，

故答案为：5．

【点睛】本题考查了勾股定理，坐标与图形性质，利用点的坐标表示线段的长是解题的关键．

三、简答题（本大题共10小题，共102分）

17. 计算：

（1）；

（2）；

（3）．

【答案】（1）   

（2）-2    （3）

【解析】

【分析】（1）（2）（3）先把各二次根式化为最简二次根式，再算乘除法，最后合并．

【小问1详解】

解：，

=，

=；

【小问2详解】

，

=，

=，

=-2；

【小问3详解】

，

=，

=，

=．

【点睛】本题考查了二次根式的混合运算：先把各二次根式化为最简二次根式，再进行二次根式的乘除运算，然后合并同类二次根式．

18. 解方程：

（1）；

（2）．

【答案】（1）x=-3   

（2）无解

【解析】

【分析】（1）把原方程化为3（x-1）=6（x+1），再解整式方程，然后进行检验确定原方程的解；

（2）把原方程化为（x+1）2-4=（x+1）（x-1），再解整式方程，然后进行检验确定原方程的解．

小问1详解】

解：，

去分母得3（x-1）=6（x+1），

解得x=-3，

经检验x=-3为原方程的解；

【小问2详解】

，

去分母得（x+1）2-4=（x+1）（x-1），

解得x=1，

检验：当x=1时，（x+1）（x-1）=0，则x=1为原方程的增根，

所以原方程无解．

【点睛】本题考查了解分式方程，利用了转化的思想，解分式方程注意要检验．

19. 先化简，再求值：，其中 a＝．

【答案】，

【解析】

【分析】根据分式的加减乘除法则进行化简，然后代入数值计算即可．

【详解】解：原式=

将代入得：

原式= ．

【点睛】本题考查了分式的加减乘除运算法则，先算乘除，再算加减，正确化简分式是解题的关键．

20. 如图，△ABC中，∠ACB=Rt∠，AB=，BC=，求斜边AB上的高CD．

【答案】CD=

【解析】

【分析】先根据勾股定理求出AC，再根据等面积法即可求得结果．

【详解】解：由题意得，

，

，

解得CD=．

【点睛】本题考查的是二次根式的应用，勾股定理的应用，解答本题的关键是掌握好利用等面积法求直角三角形的斜边上的高．

21. 如图，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，D、E分别在边AB、AC上，给出下列信息：

①BE平分∠ABC；②CD⊥AB；③∠CFE＝∠CEF．

（1）请在上述3条信息中选择其中两条作为条件，其余的一条信息作为结论组成一个命题．在保证命题正确的情况下，你选择的条件是________，结论是________．（只要填写序号）．

（2）请证明（1）中你组成的命题的正确性．

【答案】（1）②③，①   

（2）见解析

【解析】

【分析】（1）根据命题的定义正确选择即可；

（2）以②③为条件，在三角形CEF和BDF中通过三角形内角和及等量代换推出∠DBF=∠CBE．

【小问1详解】

解：选择的条件是②③，结论是①；

【小问2详解】

证明：∵∠CFE=∠CEF，∠CFE=∠BFD，

∴∠CEB=∠BFD，

∵CD⊥AB，

∴∠BFD+∠DBF=90°，

∵∠CBE+∠CEB=90°，

∴∠DBF=∠CBE，

∴BE平分∠ABC．

【点睛】本题考查了命题的定义，三角形内角和，解题的关键是要读懂题意，选择正确的条件和结论．

22. （1）发现规律：

特例1：＝＝＝；

特例2：＝＝＝；

特例3：＝4；

特例4：________．（填写一个符合上述运算特征的例子）；

（2）归纳猜想：

如果n为正整数，用含n的式子表示上述的运算规律为：________；

（3）请证明你的猜想．

【答案】（1）；（2）；（3）见解析

【解析】

【分析】（1）根据题目中的例子可以写出例4；

（2）根据（1）中规律，可以写出相应的猜想；

（3）根据（2）中的猜想，对等号左边的式子化简，即可得到等号右边的式子，从而可以解答本题．

【详解】解：（1），

故答案为：；

（2），

故答案为：；

（3）证明：左边，

为正整数，

．

左边，

又右边，

左边右边．

即．

【点睛】本题考查规律型：数字的变化类，二次根式的混合运算，解答本题的关键是明确题意，根据已知等式总结一般规律并应用规律解题．

23. 如图，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，射线BE交AC于点E，AB＝AE．

（1）作图：只用圆规在射线BE上作出点D，使∠ACD＝90°（保留作图痕迹并简要写出作法）；

（2）在（1）的条件下连接CD，若CE＝1，DE＝2，求AB长．

【答案】（1）见解析    （2）1

【解析】

【分析】（1）以C点为圆心，CB为半径画弧交射线BE于D点；

（2）连接CD，如图，利用勾股定理计算出CD=，再证明∠CBD=∠D得到BC=CD=，设AB=x，则AE=x，利用勾股定理得到x2+（）2=（x+1）2，然后解方程即可．

【小问1详解】

解：以C点为圆心，CB为半径画弧交射线BE于D点，

如图，点D为所作；

理由：∵AB＝AE．

∴∠ABE=∠AEB，

∵∠AEB=∠CED，

∴∠CED=∠ABE，

∵∠ABC=90°，

∴∠ABE+∠CBE=90°，

∴∠CED+∠CBE=90°，

∵BC=CD，

∴∠CBE=∠D，

∴∠D+∠CED=90°，

∴∠ACD=90°；

【小问2详解】

∵∠ACD=90°，

∴∠D+∠DEC=90°，CD=，

∵AB=AE，

∴∠ABE=∠AEB，

而∠AEB=∠DEC，

∴∠ABE=∠DEC，

∵∠ABE+∠CBD=90°，

∴∠CBD=∠D，

∴BC=CD=，

设AB=x，则AE=x，

在Rt△ABC中，x2+（）2=（x+1）2，

解得x=1，

即AB的长为1．

【点睛】本题考查了作图-复杂作图：解决此类题目的关键是熟悉基本几何图形的性质，结合几何图形的基本性质把复杂作图拆解成基本作图，逐步操作．

24. 阅读；在一杯水中，加入了食盐，搅拌均匀，就称作盐水．早在古代，人们就已经发现了这种水的存在．盐水可以消毒，是我们生活中常用物品，而且我们生病时所用的也是盐水（生理盐水），如果一容器内有a克盐水，其中含盐b克，则盐水的浓度=×100%．

（1）公式应用：若容器中有80克盐水，其中含水60克，则盐水的浓度为__________；

（2）拓展延伸：若容器中有50克盐水，其中含盐5克，则需要蒸发多少克水，使该容器内的盐水浓度提高到原来的2倍；

（3）解决问题：若在装有盐水的容器中加入若干盐，食盐水的浓度怎么变化，为什么？(设该容器内原有a克盐水，其中含盐b克，再加入c克盐，用数学的方法书写过程)．

【答案】（1）25%    （2）25克   

（3）浓度变大，理由见解析

【解析】

【小问1详解】

解：公式应用：由题意，得

，

故答案为：25%；

【小问2详解】

解：设需要蒸发x克水，根据题意，得

，

解得：x=25，

经检验，x=25是分式方程的解，也符合题意，

所以需要蒸发25克水，使该容器内的盐水浓度提高到原来的2倍；

【小问3详解】

解：设该容器内原有a克盐水，其中含盐b克，再加入c克盐，

则该容器内原盐水浓度为，容器内加盐后，盐水浓度为

由题意，知，a>b>0，c>0，

∴ac>bc，

∴ab+ac>ab+bc，

∴a(b+c)>b(a+c)，

∴，

∴，

即若在装有盐水的容器中加入若干盐，食盐水的浓度变大．.

【点睛】本题考查分式方程的应用，不等式性质的应用，理解题意，设恰当未知数，列出方程是解题的关键．

25. 如图1，与是共顶点的两个等腰三角形，其中，，，连接、．

（1）求证：；

（2）如图2，固定，将绕点旋转，若，，，当点旋转到线段上时，求的长；

（3）如图3，设为、的交点，、分别为、的中点，，，试探究与的数量关系，并说明理由．

【答案】（1）见解析    （2）3或17   

（3）α+2β=180°，理由见解析

【解析】

【分析】（1）由等腰三角形的性质可知AB=AC，AD=AE，∠BAD=∠CAE，再利用SAS可证明△BAD≌△CAE，得CE=BD；

（2）过点A作AP⊥BC于P，连接CE，根据BC=20，S△ABC=240，得AP=24，可知点D在CP或BP上，利用勾股定理解决问题；

（3）连接AH，由（1）同理知，△BAD≌△CAE（SAS），得∠ADB=∠AEC，BD=CE，再利用SAS证明△ADG≌△AEH，得∠AHE=∠AGD=∠AGH+∠FGH，AG=AH，从而解决问题．

【小问1详解】

解：证明：∵∠BAC=∠DAE，∠BAC=∠BAD+∠CAD，∠DAE=∠CAE+∠CAD，

∴∠BAD=∠CAE，

∵AB=AC，AD=AE，∠BAD=∠CAE，

∴△BAD≌△CAE（SAS），

∴CE=BD；

【小问2详解】

如图，过点A作AP⊥BC于P，连接CE，

由（1）同理知，△BAD≌△CAE（SAS），

∴CE=BD，

∵BC=20，S△ABC=240，

∴AP=24，

当点D在CP上时，

在Rt△APD中，PD2=AD2-AP2=49，

∴PD=7，

∵AB=AC，AP⊥BC，

∴P为BC的中点，

∴BP=CP，

∵BC=20，

∴BP=10，

∴BD=17，

∴CE=BD=17，

当点D在BP上时，同理可知CE=BD=10-7=3，

综上所述：CE=3或17；

【小问3详解】

α+2β=180°，理由如下：

如图，连接AH，

由（1）同理知，△BAD≌△CAE（SAS），

∴∠ADB=∠AEC，BD=CE，

∵G，H分别为BD，CE的中点，

∴DG=EH，

∵∠ADB=∠AEC，DG=EH，AD=AE，

∴△ADG≌△AEH（SAS），

∴∠AHE=∠AGD=∠AGH+∠FGH，AG=AH，

∴∠AGH=∠AHG，

∵∠FHG+∠AHG+∠AHE=180°，

∴∠FHG+∠AGH+∠AGH+∠FGH=180°，

∵∠BFC=∠FGH+∠FHG，∠BFC=α，∠AGH=β，

∴α+2β=180°．

【点睛】本题主要考查了等腰三角形的性质，旋转的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等知识，熟悉基本模型证明△BAD≌△CAE是解题的关键．

26. 如图，在平面直角坐标系中，直线l：y＝x+b（b＜0）与x轴交于点C．点D为直线l上第一象限内一点，过D作DE⊥y轴于点E，CA⊥DE于点A．点B在线段DA上，DB＝AC．连接CB，P为线段CB上一动点，过点P作PR⊥x轴，分别交x轴、CD、DE于点R、Q、S．

（1）若点D坐标为(12，3)．

①求直线BC的函数关系式；

②若QRS中点，求点P坐标．

（2）在点P运动的过程中，的值是否变化？若不变，求出该值；若变化，请说明理由．

【答案】（1）①；②，   

（2）结论：，证明见解析

【解析】

【分析】（1）①求出，，两点坐标，利用待定系数法解决问题即可；

②设，则，，，根据，构建方程求出即可解决问题；

（2）结论：．如图，过点作轴于点．设，用，表示出直线的解析式，设，则，，用，表示出，的长，可得结论．

【小问1详解】

解：①点在直线上，

，

，

直线的解析式为，

，

轴，

，

，

，

，

，

设直线的解析式为，

则有，解得，，

直线的解析式为；

②设，则，，，

，

，

，

，；

【小问2详解】

结论：．

理由：如图，过点作轴于点．设，

，

，，，

，

，

，，

直线的解析式为，

设，则，，

，，

．

【点睛】本题属于一次函数综合题，考查了一次函数的性质，待定系数法等知识，解题的关键是学会利用参数，构建方程解决问题．