泰州市医药高新区（高港区）部分学校2021-2022学年八年级3月月考数学试题（含解析）

泰州市医药高新区（高港区）部分学校2021-2022学年八年级3月

月考数学试题

（满分：150分  考试时间：120分钟）

一、选择题：（本大题共6小题，每小题3分，计18分）

1. 下列调查适合用普查的是（    ）

A. 长江中现有鱼的种类 B. 一批电视机的使用寿命

C. 泰州市居民的年人均收入 D. 航天飞机的零件

2. 如图所示的两个统计图，女生人数多的学校是（   ）

A. 甲校 B. 乙校

C. 甲、乙两校女生人数一样多 D. 无法确定

3. 下列图案中，可以由一个”基本图案”连续旋转45°得到的是（    ）

A  B.  C.  D.

4. 投掷一枚普通的正方体骰子，四个同学各自发表了以下见解：①出现“点数为奇数"的概率等于出现“点数为偶数”的概率；②只要连掷6次，一定会“出现3点"；③投掷前默念几次“出现4点”，投掷结果“出现4点”的可能性就会增大；④连续投掷5次，出现点数之和不可能为31，其中正确的个数是（    ）

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个

5. 如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，则不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（    ）

A. ∠ABD=∠BDC，OA=OC B. ∠ABC=∠ADC，AD∥BC

C. ∠ABC=∠ADC，AB=CD D. ∠ABD=∠BDC，∠BAD=∠DCB

6. 如图，在平行四边形ABCD中，CD＝2AD，BE⊥AD于点E，F为DC的中点，连结EF、BF，下列结论①∠ABC＝2∠ABF；②EF＝BF；③；④∠BFE＝3∠DEF．其中正确的个数共有（    ）

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个

二、填空题：（本大题共10小题，每小题3分，计30分）

7. 为了解高新（高港）区八年级学生的视力情况，在全区八年级学生中随机抽取了80名学生进行视力检查，在这个问题中样本是______．

8. “种瓜得瓜，种豆得豆”这一事件是__________（填“必然事件”“不可能事件”“随机事件”）．

9. 扇形统计图中，A,B,C,D 4个扇形所表示的数据个数的比是，则扇形C的圆心角的度数为_____

10. 小强调查“每人每天的用水量”这一问题时，收集到120个数据，最大数据是70升，最小数据是40升，若取组距为3，则应分为______组绘制频数分布表．

11. 已知平行四边形ABCD中，∠B=5∠A，则∠D=__________．

12. 如图，转盘中6个扇形的面积都相等，任意转动转盘一次．当转盘停止转动时（当指针停在分隔线上时再重转一次），指针指向奇数区域的概率是______．

13. 任意掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数大于4的可能性 _____点数不大于2的可能性．（选填“大于”“等于”或“小于”）

14. 已知平行四边形 ABCD周长是48cm，AC和BD相交于O，且△AOB的周长比△BOC的周长小4cm，则CD的长是___cm．

15. 如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD点A的坐标（3，2），点C的坐标（7，4），直线y＝－x以每秒1个单位长度的速度向右平移，经过______秒该直线可将平行四边形ABCD的面积平分．

16. 如图，已知∠XOY＝60°，点A在边OX上，OA＝4，过点A作AC⊥OY于点C，以AC为一边在∠XOY内作等边三角形ABC，点P是△ABC内（不包括各边）的一点，过点P作PD∥OY交OX于点D，作PE∥OX交OY于点E．设OD＝m，OE＝n，则m＋2n的取值范围是___．

三、解答题（本大题共10小题，共102分）

17. 一个不透明的袋子中装有若干个除颜色外均相同的小球，小明每次从袋子中摸出一个球，记录下颜色，然后放回，重复这样的试验1000次，记录结果如下：

（1）表格中a＝　　；b＝　　；（精确到0.01）

（2）估计从袋子中摸出一个球恰好是红球的概率约为 　　；（精确到0.1）

（3）如果袋子中有14个红球，1个白球，若干黄球，估计袋子中黄球的个数和摸到黄球的概率？

18. 从标有数字1、2、3各2张的6张卡片中，随机抽出2张，把2张卡片上的数字加起来．

（1）结果可能是整数有哪些？

（2）结果中，数字______出现的可能性最大？

（3）结果中，数字2出现的可能性和数字______出现的可能性一样大？

19. 在信息快速发展的社会，“信息消费”已成为人们生活的重要部分．泰州市的一个社区随机抽取了部分家庭，调查每月用于信息消费的金额，数据整理成如图所示的不完整统计图．已知A、B两组户数直方图的高度比为1：5，请结合图中相关数据回答下列问题．

月消费额分组统计表

（1）A组的频数是 　   　，本次调查样本的容量是 　   　；

（2）补全直方图（需标明各组频数）；

（3）若该社区有3000户住户，请估计月信息消费额不少于200元的户数是多少？

20. 如图，在6×6的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1.请在所给网格中按下列要求画出图形．

（1）从点A出发的一条线段AB，使它的另一个端点落在格点（即小正方形的顶点）上，且长度为；

（2）以（1）中的AB为边的一个直角三角形ABC，使点C在格点上并且在B点上方（另两边的长都是无理数且AB边最短）；

（3）画出△ABC关于点B的中心对称图形△A1B1C1；

（4）四边形AC1A1C的面积为____．

21. 如图所示，在平行四边形ABCD中，AE、CF分别是∠DAB、∠BCD的平分线，求证：四边形AFCE是平行四边形．

22. 如图所示，已知点E，F在对角线BD上，且BE＝DF．

（1）求证：△ABE≌△CDF；

（2）连接AF，CE，求证：四边形AECF是平行四边形．

23. 如图所示，≌，点在上．

（1）求证：四边形是平行四边形；

（2）若，，求的度数．

24. 如图，四边形ABCD中，BD垂直平分AC，垂足为点F，E为四边形ABCD外一点，且∠ADE=∠BAD，AE⊥AC．

（1）求证：四边形ABDE是平行四边形

（2）如果DA平分∠BDE，AB=5，AD=6，求AC长

25. 问题：如图，在平行四边形ABCD中，AB＝7，AD＝4，∠DAB，∠ABC平分线AE，BF分别与直线CD交于点E，F，求EF的长．

（1）答案：EF＝_________．

（2）探究：把“问题”中的条件“AB＝7”去掉，其余条件不变．

①当点E与点F重合时，求AB的长；

②当点E与点C重合时，求EF的长．

（3）把“问题”中的条件“AB＝7，AD＝4”去掉，其余条件不变，当点C，D，E，F相邻两点间的距离相等时，求的值．

26. 如图，在直角坐标系中，B（0，20），D（25，0），一次函数的图象过C（40，n），与x轴交于A点．

（1）求点A和点C坐标；

（2）求证：四边形ABCD为平行四边形；

（3）将△AOB绕点O顺时针旋转，旋转得△A1OB1，问：能否使以O、A1、D、B1为顶点的四边形是平行四边形？若能，求点A1的坐标；若不能，请说明理由．

答案与解析

一、选择题：（本大题共6小题，每小题3分，计18分）

1. 下列调查适合用普查的是（    ）

A. 长江中现有鱼的种类 B. 一批电视机的使用寿命

C. 泰州市居民的年人均收入 D. 航天飞机的零件

【答案】D

【解析】

【分析】根据抽样调查和全面调查的定义逐一判断即可求解．

【详解】解：A. 长江中现有鱼的种类，适合抽样调查，故A不符合题意；

B. 一批电视机的使用寿命，适合抽样调查，故B不符合题意；

C. 泰州市居民的年人均收入，适合抽样调查，故C不符合题意；

D. 航天飞机的零件，适合用普查，故D符合题意，

故选：D．

【点睛】本题考查了全面调查，熟练掌握全面调查和抽样调查的定义是解题的关键．

2. 如图所示的两个统计图，女生人数多的学校是（   ）

A. 甲校 B. 乙校

C. 甲、乙两校女生人数一样多 D. 无法确定

【答案】D

【解析】

【详解】试题分析：根据题意，结合扇形图的性质，扇形统计图只能得到每部分所占的比例，具体人数不能直接体现，易得答案．

解：根据题意，因不知道甲乙两校学生总人数，只知道两校女生占的比例，

故无法比较两校女生的人数，

故选D．

3. 下列图案中，可以由一个”基本图案”连续旋转45°得到的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【详解】解：根据旋转的性质可知，可以由一个“基本图案”连续旋转45°，即经过8次旋转得到的是B．故选B．

4. 投掷一枚普通的正方体骰子，四个同学各自发表了以下见解：①出现“点数为奇数"的概率等于出现“点数为偶数”的概率；②只要连掷6次，一定会“出现3点"；③投掷前默念几次“出现4点”，投掷结果“出现4点”的可能性就会增大；④连续投掷5次，出现点数之和不可能为31，其中正确的个数是（    ）

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个

【答案】B

【解析】

【分析】必然发生的事件就是一定会发生的事件；不可能发生的事件就是一定不会发生的事件；不确定事件就是随机事件，即可能发生也可能不发生的事件；根据概念即可解答．

【详解】解：①根据题意，投掷一枚普通的正方体骰子，出现“点数为奇数”的概率与出现“点数为偶数”的概率均为，故①正确；

②投掷一枚普通的正方体骰子，“出现3点”是随机事件，故②错误；

③投掷前默念几次"出现4点"，投掷结果“出现4点”的可能性是随机事件，故③错误，

④连续投掷5次，出现点数之和不可能为31，故④正确；

正确的有2个；

故选：B．

【点睛】本题主要考查概率的意义，概率是反映事件发生机会的大小的概念，只是表示发生的机会的大小，机会大也不一定发生，机会小也有可能发生；注意随机事件是可能发生也可能不发生的事件，熟练掌握概念是解题的关键．

5. 如图，四边形ABCD的对角线AC，BD交于点O，则不能判断四边形ABCD是平行四边形的是（    ）

A. ∠ABD=∠BDC，OA=OC B. ∠ABC=∠ADC，AD∥BC

C. ∠ABC=∠ADC，AB=CD D. ∠ABD=∠BDC，∠BAD=∠DCB

【答案】C

【解析】

【分析】利用所给条件结合平行四边形的判定方法进行分析即可．

【详解】解：∵∠ABD=∠BDC，OA=OC，

又∠AOB=∠COD，

∴△AOB≌△COD（AAS），

∴DO=BO，

∴四边形ABCD是平行四边形，故A选项不合题意；

∵AD∥BC，

∴∠ABC+∠BAD=180°，

∵∠ABC=∠ADC，

∴∠ADC+∠BAD=180°，

∴AB∥CD，

∴四边形ABCD是平行四边形，故B选项不合题意；

∵∠ABD=∠BDC，∠BAD=∠DCB，

∴∠ADB=∠CBD，

∴AD∥CB，

∵∠ABD=∠BDC，

∴AB∥CD，

∴四边形ABCD是平行四边形，故D选项不合题意；

C、∠ABC=∠ADC，AB=CD不能判断四边形ABCD是平行四边形，故此选项符合题意；

故选：C．

【点睛】此题主要考查了平行四边形的判定，关键是掌握（1）两组对边分别平行的四边形是平行四边形．（2）两组对边分别相等的四边形是平行四边形．（3）一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．（4）两组对角分别相等的四边形是平行四边形．（5）对角线互相平分的四边形是平行四边形．

6. 如图，在平行四边形ABCD中，CD＝2AD，BE⊥AD于点E，F为DC的中点，连结EF、BF，下列结论①∠ABC＝2∠ABF；②EF＝BF；③；④∠BFE＝3∠DEF．其中正确的个数共有（    ）

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个

【答案】C

【解析】

【分析】如图延长EF交BC的延长线于G，取AB的中点H连接FH，想办法证明EF=FG，BE⊥BG，求得四边形BCFH是菱形即可解决问题．

详解】解：如图，

延长EF交BC的延长线于G，取AB的中点H连接FH，

∵CD＝2AD，F为DC的中点，

∴，，

∴，

∴，

∴，

∴∠ABC＝2∠ABF，故①正确；

∵，

∴，

∵，，

∴(ASA)，

∴，

∵BE⊥AD，

∴，

∵AD∥BC，

∴，

∴，故②正确；

∵，

∴，故③正确；

∵,,，

∴CF=BH，

∵CF∥BH，

∴四边形BCFH是平行四边形，

∵CF=BC，

∴四边形BCFH是菱形，

∴，

∵，FH∥AD，BE⊥AD，

∴,

∴，

∴∠EFC＝3∠DEF，故④错误；

故选：C．

【点睛】本题考查平行四边形的性质和判定、菱形的判定和性质、直角三角形斜边上的中线的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，属于中考选择题的压轴题．

二、填空题：（本大题共10小题，每小题3分，计30分）

7. 为了解高新（高港）区八年级学生的视力情况，在全区八年级学生中随机抽取了80名学生进行视力检查，在这个问题中样本是______．

【答案】抽取的80名学生的视力情况

【解析】

【分析】直接利用样本的定义，从总体中取出的一部分个体叫做这个总体的一个样本，进而分析得出答案．

【详解】解：为了解高新（高港）区八年级学生的视力情况，在全区八年级学生中随机抽取了80名学生进行视力检查，在这个问题中样本是抽取的80名学生的视力情况．
故答案为：抽取的80名学生的视力情况．

【点睛】本题考查总体、个体、样本、样本容量，理解样本的意义是正确解答的关键．

8. “种瓜得瓜，种豆得豆”这一事件是__________（填“必然事件”“不可能事件”“随机事件”）．

【答案】必然事件

【解析】

【详解】解：“种瓜得瓜，种豆得豆”这一事件是“必然事件”

故答案为：必然事件．

9. 扇形统计图中，A,B,C,D 4个扇形所表示的数据个数的比是，则扇形C的圆心角的度数为_____

【答案】135°

【解析】

【详解】由题意可得扇形C所对应的圆心角的度数为：.

故答案为：135°.

10. 小强调查“每人每天的用水量”这一问题时，收集到120个数据，最大数据是70升，最小数据是40升，若取组距为3，则应分为______组绘制频数分布表．

【答案】11

【解析】

【分析】根据分组数的确定方法：组距=（最大值-最小值）÷组数计算．

【详解】解：应分，

∵第一组的下限应低于最小变量值，最后一组的上限应高于最大变量值，

∴应分11组．

故本题答案为：11．

【点睛】本题考查组距，分组数的确定方法：组距=（最大值-最小值）÷组数．第一组的下限应低于最小变量值，最后一组的上限应高于最大变量值．

11. 已知平行四边形ABCD中，∠B=5∠A，则∠D=__________．

【答案】150°

【解析】

【详解】试题解析：如图所示：

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD∥BC，

∴∠A+∠B=180°，∠D=∠B，

∵∠B=5∠A，

∴6∠A=180°，解得∠A=30°，

∴∠D=∠B=30°×5=150°°．

考点：平行四边形的性质．

12. 如图，转盘中6个扇形的面积都相等，任意转动转盘一次．当转盘停止转动时（当指针停在分隔线上时再重转一次），指针指向奇数区域的概率是______．

【答案】

【解析】

【分析】让奇数的个数除以数的总数即可得出答案．

【详解】解：图中共有6个面积相等的区域，含奇数的有1，1，3，3，共4个，

则当转盘停止转动时（当指针停在分隔线上时再重转一次），指针指向偶数区域的概率是．

故答案为：．

【点睛】此题主要考查了概率公式，如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率．

13. 任意掷一枚质地均匀的骰子，掷出的点数大于4的可能性 _____点数不大于2的可能性．（选填“大于”“等于”或“小于”）

【答案】等于

【解析】

【分析】分别求得两个事件的可能性的大小，然后比较即可．

【详解】解：掷出的点数大于4的可能性为，

掷出的点数不大于2的可能性为，

∴掷出的点数大于4的可能性等于点数不大于2的可能性，

故答案为：等于．

【点睛】考查了可能性的大小，能够分别求得可能性的大小然后比较是解答本题的关键，难度不大．

14. 已知平行四边形 ABCD周长是48cm，AC和BD相交于O，且△AOB的周长比△BOC的周长小4cm，则CD的长是___cm．

【答案】10

【解析】

【分析】根据平行四边形的性质可知，平行四边形的对角线互相平分，由于△AOB的周长比△BOC的周长小4cm，则BC比AB大4cm，根据周长的值可以求出AB，进而求出CD的长．

【详解】解：∵平行四边形的周长为48cm，

∴AB+BC=24cm；

又△AOB的周长比△BOC的周长小4cm，

∴BC-AB=4cm，

解得：AB=10cm，BC=14cm．

∵AB=CD，

∴CD=10cm．

故答案为：10．

【点睛】本题主要考查平行四边的性质，理解平行四边形的两组对边分别相等且平行四边形的对角线互相平分是解题关键．

15. 如图，在平面直角坐标系中，平行四边形ABCD点A的坐标（3，2），点C的坐标（7，4），直线y＝－x以每秒1个单位长度的速度向右平移，经过______秒该直线可将平行四边形ABCD的面积平分．

【答案】8

【解析】

【分析】先连接AC、BD交于点E，当y=x经过E点时，该直线可将□ABCD的面积平分，然后计算出过E且平行于直线y=-x的直线解析式，从而可得直线y=-x要向右平移10个单位，进而可得答案．

【详解】解：连接AC、BD，交于点E，当y=x经过E点时，该直线可将▱ABCD的面积平分，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AE=CE，

∵A（3，2），C（7，4），

∴E（5，3），

∵PE平行于直线y=-x，

∴k=-1，

设PE的解析式为y=-x+b，
∵把E（5，3）代入，得3=-5+b，

∴b=8,

∴PE的解析式为y=-x+8，

直线y=-x要向右平移8个单位，

∴时间为8÷1=8（秒），

故答案为：8．

【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质以及一次函数图像平移，正确掌握经过平行四边形对角线交点的直线平分平行四边形的面积是解答本题的关键．

16. 如图，已知∠XOY＝60°，点A在边OX上，OA＝4，过点A作AC⊥OY于点C，以AC为一边在∠XOY内作等边三角形ABC，点P是△ABC内（不包括各边）的一点，过点P作PD∥OY交OX于点D，作PE∥OX交OY于点E．设OD＝m，OE＝n，则m＋2n的取值范围是___．

【答案】4<m+2n<10

【解析】

【分析】作辅助线，构建30度的直角三角形，先证明四边形EODP是平行四边形，得EP= OD= m，在Rt△HEP中，∠EPH = 30°，可得EH的长，计算m+ 2n = 2OH，确认OH最大和最小值的位置，可得结论．

【详解】解：如图1，过P作PH⊥OY交于点H，

图1

∵PD∥OY， PE∥OX，

∴四边形EODP是平行四边形，∠HEP=∠XOY = 60°，

∴EP= OD= m，

在Rt△HEP中，∠EPH = 30°，

∴，

∴ ，

当P在AC边上时，H与C重合，

此时OH的最小值=OC=OA=2，

即m+ 2n的最小值是4；

当P在点B时，如图2所示：

图2

∵， ，

在Rt△CHP中，∠HCP= 30°，

∴，，

则OH的最大值是：

，

即m+ 2n的最大值是10，

∴m+ 2n的取值范围是4<m+2n<10；

故答案为：4<m+2n<10．

【点睛】本题考查了直角三角形30度角的性质、平行四边形的判定和性质，有难度，掌握确认m+ 2n的最值就是确认OH最值的范围是解题的关键．

三、解答题（本大题共10小题，共102分）

17. 一个不透明的袋子中装有若干个除颜色外均相同的小球，小明每次从袋子中摸出一个球，记录下颜色，然后放回，重复这样的试验1000次，记录结果如下：

（1）表格中a＝　　；b＝　　；（精确到0.01）

（2）估计从袋子中摸出一个球恰好是红球的概率约为 　　；（精确到0.1）

（3）如果袋子中有14个红球，1个白球，若干黄球，估计袋子中黄球的个数和摸到黄球的概率？

【答案】（1）a=0.71，b=0.70；   

（2）0.7；    （3）黄球的个数为5个，摸到黄球的概率为．

【解析】

【分析】（1）直接用摸到红球的次数除以试验次数即可求得摸到红球的频率；
（2）找到多次试验频率逐渐稳定到的常数即可求得概率；
（3）根据题意列出方程求解即可．

【小问1详解】

a=571÷800≈0.71；
b=702÷800≈0.70；
故答案为：0.71，0.70；

【小问2详解】

观察发现随着实验次数的增多，摸到红球的频率逐渐稳定在常数0.7附近，
所以计从袋子中摸出一个球恰好是红球的概率约为0.7；
故答案为：0.7；

【小问3详解】

设袋子中除去红球外，还有其他颜色的球x个，
根据题意得0.7（x+14）=14，
解得：x=6，
∴黄色球有6-1=5个，
∴摸到黄色球的概率为．

【点睛】此题考查了利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比．

18. 从标有数字1、2、3各2张的6张卡片中，随机抽出2张，把2张卡片上的数字加起来．

（1）结果可能是整数有哪些？

（2）结果中，数字______出现的可能性最大？

（3）结果中，数字2出现的可能性和数字______出现的可能性一样大？

【答案】（1）2，3，4，5，6；   

（2）4；    （3）6．

【解析】

【分析】（1）列表得出所有等可能结果，据此可得答案；

（2）从表格中找到和为2、3、4、5、6的次数即可得出答案；

（3）出现次数和数字2出现次数一样即可得出答案．

【小问1详解】

解：列表如下：

∴结果可能是整数的有2、3、4、5、6；

【小问2详解】

解：由上表可知，共有30种等可能结果，其中数字2出现2次，数字3出现8次，数字4出现10次，数字5出现8次，数字6出现2次，

∴数字4出现的可能性最大，

故答案为：4；

【小问3详解】

解：由（2）知，数字2和数字6出现的次数一样，都是2次，

∴数字2出现的可能性和数字6出现的可能性一样大，

故答案为：6．

【点睛】本题主要考查可能性大小，解题的关键是掌握随机事件发生的可能性（概率）的计算方法．

19. 在信息快速发展的社会，“信息消费”已成为人们生活的重要部分．泰州市的一个社区随机抽取了部分家庭，调查每月用于信息消费的金额，数据整理成如图所示的不完整统计图．已知A、B两组户数直方图的高度比为1：5，请结合图中相关数据回答下列问题．

月消费额分组统计表

（1）A组的频数是 　   　，本次调查样本的容量是 　   　；

（2）补全直方图（需标明各组频数）；

（3）若该社区有3000户住户，请估计月信息消费额不少于200元的户数是多少？

【答案】（1）2；50   

（2）见解析    （3）2280户

【解析】

【分析】（1）根据A、B两组户数直方图的高度比为1:5，即两组的频数的比是1:5，据此即可求得A组的频数；利用A和B两组的频数的和除以两组所占的百分比即可求得总数，即样本容量；

（2）利用总数乘以百分比即可求得C组的频数，从而补全统计图；

（3）利用总数3000乘以对应的百分比即可．

【小问1详解】

A组的频数是：10÷5=2

调查样本的容量是：（2+10）÷（1－40%－28%－8%）=50

故答案为：2；50．

【小问2详解】

A组的频数是：2

C组的频数是：50×40%=20，

D组的频数是：50×28%=14，

E组的频数是：50×8%=4，

补全直方图如图．

【小问3详解】

∵3000×（40%+28%+8%）=2280，

答：估计月信息消费额不少于200元的户数是2280户．

【点睛】本题考查频数分布直方图、频率分布表，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．

20. 如图，在6×6的正方形网格中，每个小正方形的边长都为1.请在所给网格中按下列要求画出图形．

（1）从点A出发的一条线段AB，使它的另一个端点落在格点（即小正方形的顶点）上，且长度为；

（2）以（1）中的AB为边的一个直角三角形ABC，使点C在格点上并且在B点上方（另两边的长都是无理数且AB边最短）；

（3）画出△ABC关于点B的中心对称图形△A1B1C1；

（4）四边形AC1A1C的面积为____．

【答案】（1）见解析    （2）见解析   

（3）见解析    （4）24

【解析】

【分析】（1）根据勾股定理，并结合网格求解即可；
（2）结合网格特点，依据勾股定理逆定理求解即可；
（3）分别作出点A、C关于B的中心对称点，继而与点B首尾顺次连接即可；
（4）利用割补法求解即可．

【小问1详解】

解：如图所示，

∵ ，

∴线段AB即为所求；

【小问2详解】

解：如图所示，

∵，，，

∴，且都是无理数，

∴Rt△ABC即为所求；

【小问3详解】

解：如图所示， 即为所求；

【小问4详解】

解：四边形的面积为，
故答案为：24．

【点睛】本题主要考查作图—中心对称图形，解题的关键是掌握中心对称的定义与性质及勾股定理及其逆定理．

21. 如图所示，在平行四边形ABCD中，AE、CF分别是∠DAB、∠BCD的平分线，求证：四边形AFCE是平行四边形．

【答案】详见解析

【解析】

【分析】由四边形ABCD是平行四边形可得，CEAF，∠DAB=∠DCB，又AE、CF分别平分∠DAB、∠BCD，所以∠2=∠3，可证四边形AFCE是平行四边形．

【详解】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴CEAF，∠DAB=∠DCB，

∵AE、CF分别平分∠DAB、∠BCD，

∴∠2=∠3，

又∠3=∠CFB，

∴∠2=∠CFB，

∴AECF，

又CEAF，

∴四边形AFCE是平行四边形．

【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质；熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．

22. 如图所示，已知点E，F在的对角线BD上，且BE＝DF．

（1）求证：△ABE≌△CDF；

（2）连接AF，CE，求证：四边形AECF是平行四边形．

【答案】（1）证明见解析   

（2）证明见解析

【解析】

【分析】（1）由平行四边形的性质可知：∠ABE=∠CDF，再利用已知条件和三角形全等的判定方法即可证明△ABE≌△CDF；

（2）由（1）可知△ABE≌△CDF，所以∠AEB=∠DFC，进而可得∠AED=∠BFC，所以AE∥CF，根据平行四边形的判定定理即可得出结论．

【小问1详解】

证明：∵四边形ABCD平行四边形，

∴AB∥DC，AB=CD，

∴∠ABE=∠CDF，

在△ABE和△CDF中，

，

∴△ABE≌△CDF（SAS）．

【小问2详解】

∵△ABE≌△CDF，

∴∠AEB=∠DFC，AE=CF，

∴∠AED=∠BFC，

∴AE∥CF，

∴四边形AECF是平行四边形．

【点睛】本题考查平行四边形的性质和判定、全等三角形的判定和性质，熟练掌握平行四边形的判定定理是解题的关键．

23. 如图所示，≌，点在上．

（1）求证：四边形是平行四边形；

（2）若，，求的度数．

【答案】（1）见解析    （2）

【解析】

【分析】（1）根据全等三角形的性质可得，，进一步可证明，，从而可得结论；

（2）设，，根据全等三角形的性质得出，得出，结合图形进行求解即可．

【小问1详解】

证明：，

，，，

，

，

，

四边形是平行四边形；

【小问2详解】

解：由（1）知，

，

，

，

设，，

，

，

，

，

，

，

，

，，

．

【点睛】此题主要考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解答此题的关键．

24. 如图，四边形ABCD中，BD垂直平分AC，垂足为点F，E为四边形ABCD外一点，且∠ADE=∠BAD，AE⊥AC．

（1）求证：四边形ABDE是平行四边形

（2）如果DA平分∠BDE，AB=5，AD=6，求AC的长

【答案】（1）见解析    （2）

【解析】

【分析】（1）分别证明ABED， AEBD，得出结论；

（2）利用勾股定理求出BH=4，再利用等积法求出AF=，得出结论．

小问1详解】

∵∠ADE=∠BAD，

∴ABED，

∵AE⊥AC，

∴∠EAC=90º，

∵BC垂直平分AC，

∴∠BFA=90º，

∴∠EAC=∠BFA，

∴AEBD，

∴四边形ABDE是平行四边形，

【小问2详解】

∵DA平分∠BDE，

∴∠ADE=∠ADB，

∵∠ADE=∠BAD，

∴∠ADB=∠BAD，

∴BA=BD，

∵AB=5，

∴BD=5

过B作BH⊥AD，

∴AH=HD=3，

∴BH=4，

∵DABH=DBAF，

∴AF=，

∴AC=．

【点睛】

本题考查平行四边形的判定以及利用勾股定理解直角三角形，利用等积法求高是解决问题的关键．

25. 问题：如图，在平行四边形ABCD中，AB＝7，AD＝4，∠DAB，∠ABC平分线AE，BF分别与直线CD交于点E，F，求EF的长．

（1）答案：EF＝_________．

（2）探究：把“问题”中的条件“AB＝7”去掉，其余条件不变．

①当点E与点F重合时，求AB的长；

②当点E与点C重合时，求EF的长．

（3）把“问题”中的条件“AB＝7，AD＝4”去掉，其余条件不变，当点C，D，E，F相邻两点间的距离相等时，求的值．

【答案】（1）1    （2）①8；②4   

（3）2或或

【解析】

【分析】（1）由平行线的性质和角平分线的定义可得DE=AD=4，CF=BC=4，可求解；

（2）①证∠DEA=∠DAE，得DE=AD=4，同理BC=CF=4，即可求解；

②由题意得DE=AD=4，再由CF=BC=4，即可求解；

（3）分三种情况，由（l）的结果结合点C，D，E，F相邻两点间的距离相等，分别求解即可．

【小问1详解】

解：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴CD=AB=7，BC=AD=4，AB∥CD，

∴∠DEA=∠BAE，

∵AE平分∠DAB，

∴∠DAE=∠BAE，

∴∠DEA=∠DAE，

∴.DE=AD=4，

同理可得CF=BC=4，

∴EF=DE+FC-CD=1，

故答案为：1；

【小问2详解】

①如图1所示：

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴CD=AB，BC=AD=4，AB∥CD，

∴∠DEA=∠BAE，

∵AE平分∠DAB，

∴∠DAE=∠BAE，

∴∠DEA=∠DAE，

∴DE=AD=4，同理：BC=CF=4，

∵点E与点F重合，

∴AB=CD=DE+CF=8；

②如图2所示：

∵点E与点C重合，

∴DE=AD=4，

∵CF=BC=4，

∴点F与点D重合，

∴EF=DC=4；

【小问3详解】

分三种情况

①如图3所示：

同（1）得：AD=DE，

∵点C，D，E，F相邻两点间的距离相等，

∴AD=DE=EF=CF，

∴；

②如图4所示：

同（1）得：AD=DE=CF，

∵DF=FE=CE，

∴；

③如图5所示：

同（1）得：AD=DE=CF，

∵DF=DC=CE，

∴；

综上所述，的值为2或或．

【点睛】本题四边形综合题，考查了平行四边形的性质、等腰三角形的判定、平行线的性质等知识；熟练掌握平行四边形的性质和等腰三角形的判定是解题的关键．

26. 如图，在直角坐标系中，B（0，20），D（25，0），一次函数的图象过C（40，n），与x轴交于A点．

（1）求点A和点C坐标；

（2）求证：四边形ABCD为平行四边形；

（3）将△AOB绕点O顺时针旋转，旋转得△A1OB1，问：能否使以O、A1、D、B1为顶点的四边形是平行四边形？若能，求点A1的坐标；若不能，请说明理由．

【答案】（1）A（-15，0）；C（40，20）   

（2）见解析    （3）能；（9，12），（9，-12），（-9，12）

【解析】

【分析】（1）由一次函数解析式可求得A、C两点的坐标；

（2）由两点距离可求得BC、AD的长，可得AD∥BC，AD=40=BC，则四边形ABCD为平行四边形；

（3）分三种情况，以直角三角形A1OB的面积求出斜边上的高再利用勾股定理即可得点A1的坐标．

【小问1详解】

解：当x=40时，

∴C（40，20），当y=0时，

∴x=-15，

∴A（-15，0），

∴A（-15，0），C（40，20）；

【小问2详解】

证明：∵点B（0，20），点C（40，20），

∴BC=40，BC∥x轴，

∵A（-15，0），D（25，0），

∴AD=25-（-15）=40，

∵AD∥BC，AD=40=BC，

∴四边形ABCD为平行四边形；

【小问3详解】

由题意可知：，，

①△AOB旋转后，若A1B1∥x轴，连接B1D，成四边形OA1B1D，如图1，

∵A1B1=OD=25，四边形OA1B1D构成平行四边形，

此时，设A1B1与y轴交于H，

则，

点A1的坐标为（-9，12）；

②△AOB旋转后，若A1B1的中点E在x轴上，成四边形OA1DB1，如图2，

∵∠A1OB1=90°

∴

∴，

∴四边形OA1DB1构成平行四边形，

设作A1N⊥x轴交于N，

则，.

∴点A1的坐标为（9，12）；

③△AOB旋转后，若A1B1∥x轴，成四边形ODA1B1，如图3.

又∵A1B1=OD=25，

∴四边形ODA1B1构成平行四边形

此时，设A1B1与y抽交于M，

则，.

∴点A1的坐标为（9，-12），

综上所述，满足条件A1为（-9，12），（9，12），（9，-l2）．

【点睛】本题是一次函数综合题，主要考查了旋转的性质，三角形的面积公式，勾股定理，平行四边形的性质，题中运用勾股定理求出线段的长是解题的关键．