盐城市东台市第五教育联盟2021-2022学年八年级3月月考数学试题（含解析）

盐城市东台市第五教育联盟2021-2022学年八年级3月月考数学试题

（试卷分值120分，考试时间100分钟）

注意事项：

1.本试卷考试形式闭卷，所有试题解答必须写在答题纸上规定的位置，否则不给分．

2.答题前，务必将自己的学校、班级、姓名、准考证号填写在答题纸上相应位置．

一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题只有一个正确答案．）

1. 下列图形中，中心对称图形是（      ）

A.  B.  C.  D.

2. 下列调查适合普查的是（    ）

A. 调查一批灯泡的使用寿命情况 B. 调查一批炮弹的杀伤半径情况

C. 了解一批圆珠笔芯的使用寿命 D. 了解七年级三班学生体重情况

3. 2022年我市有5800名考生参加中考，为了解这些考生的数学成绩，从中抽取1000名考生的数学成绩进行统计分析，以下说法正确的是（    ）

A. 5800名考生是总体 B. 1000名考生是总体的一个样本

C. 1000名考生是样本容量 D. 每位考生的数学成绩是个体

4. 如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转60°后得到，若∠AOB＝25°，则的度数是（   ）

A. 25° B. 35° C. 40° D. 85°

5. 下列成语中，表示必然事件的是（    ）

A. 瓮中捉鳖 B. 守株待兔 C. 水中捞月 D. 拔苗助长

6. 下列说法正确的有（    ）

①有一组邻边相等的矩形是正方形        ②对角线互相垂直的矩形是正方形

②有一个角是直角的菱形是正方形        ④对角线相等的菱形是正方形

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个

7. 一个不透明的盒子里装有a个除颜色外完全相同的球，其中有6个白球，每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色然后再放回盒子里，通过如此大量重复试验，发现摸到白球的频率稳定在0.4左右，则a的值约为（    ）

A 10 B. 12 C. 15 D. 18

8. 如图，正方形纸片ABCD的四个顶点分别在四条平行线l1、l2、l3、l4上，这四条直线中相邻两条之间的距离依次为h1、h2、h3（h1＞0，h2＞0，h3＞0），若h1＝5，h2＝2，则正方形ABCD的面积S等于（    ）

A. 34 B. 89 C. 74 D. 109

二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．）

9. 20220202中数字“2”出现的频数是________．

10. 正方形绕中心至少旋转___________度后能与自身重合.

11. 线段是中心对称图形，对称中心是它的_____点．

12. 某校有40人参加全国数学竞赛，把他们的成绩分为6组，第一至第四组的频数分别为10，5，7，6，第五组的频率是0.20．则第六组的频率是__．

13. 已知平行四边形中，比小40°，那么的度数是______．

14. 在不透明布袋中装有除颜色外完全相同的红、白玻璃球，已知白球有60个．同学们通过多次试验后发现摸到红色球的频率稳定在0.25左右，则袋中红球个数可能为_________．

15. 如图，平行四边形中，和的平分线交于E、F两点，则的长是__________．

16. 如图，点E、F分别是正方形的边、上的点，且，已知，则图中阴影部分的面积是__________．

17. 已知：如图，四边形中，与相交于点O，则图中全等三角形共有________对．

18. 如图，将矩形ABCD绕点A旋转至矩形AB′C′D′位置，此时AC′的中点恰好与D点重合，AB′交CD于点E．若AB＝3，则△AEC的面积为_____．

三、解答题（本大题共7小题，共66分，解答时应写出文字说明、推理过程或演算步骤．）

19. 在平面直角坐标系中，△ABC三个顶点在格点上（每个方格的边长均为1个单位长度）．

（1）请画出△ABC关于原点对称的图形△A1B1C1

（2）将△ABC绕点O逆时针旋转90°，画出旋转后得到△A2B2C2

20. 如图，在平行四边形ABCD中，点G，H分别是AB，CD的中点，点E、F在对角线AC上，且AE＝CF．求证：四边形EGFH是平行四边形．

21. 已知：∠AOB＝120°，OC平分∠AOB．

（1）把三角尺60°角的顶点落在射线OC上的任意一点P处，绕点P转动三角尺，某一时刻，恰好使得OE＝OF（图1），此时PE与PF相等吗？为什么？

（2）把三角尺继续绕点P转动，两边分别交OA、OB于点E、F（图2），求证：△PEF为等边三角形．

22. 随着通讯技术迅猛发展，人与人之间的沟通方式更多样，更便捷．为此，李老师设计了“你最喜欢的沟通方式”调查问卷（每人必选且只选一种）．某校九年级（1）班同学利用周末对全校师生进行了随机访问，并将统计结果绘制成两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题：

（1）这次参与调查的共有     人，在扇形统计图中，表示“微信”的扇形圆心角的度数为     ；

（2）将条形统计图补充完整；

（3）如果该校有6000人在使用手机：

①请估计该校最喜欢用“微信”进行沟通的人数；

②在该校师生中随机抽取一人，用频率估计概率，抽取的恰好使用“QQ”的概率是         ．

23. 如图，中，，小丽将绕点A顺时针旋转得到．

（1）当_______时，；

（2）在旋转过程中，小丽发现当时，线段与交于点F，且四边形是菱形，请你给予证明．

24. 如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DE∥AC且DE＝AC，连接AE、CE．

（1）求证：四边形OCED为矩形；

（2）若菱形ABCD的边长为2，∠BCD＝60°，求AE的长．

25. 在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，以每秒1个单位的速度，沿射线BC方向运动，以AE为边向上作正方形AEFG．设点E的运动时间为t（t＞0）．

（1）如图1，EF与CD边交于点M，当DM＝EM时；求t的值．

（2）如图2，当点F恰好落在矩形任意两个顶点的所在直线上时，请求出所有符合条件的t的值．

答案与解析

一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题只有一个正确答案．）

1. 下列图形中，中心对称图形是（      ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．据此判断即可．

【详解】解：选项A、B、D都不能找到这样的一个点，使这些图形绕某一点旋转180°后与原来的图形重合，所以这些图形不是中心对称图形．

选项C绕正方形的对角线的交点旋转180°，旋转后的图形能够与原来的图形重合，所以选项C是中心对称图形．

故选：C．

【点睛】本题考查了中心对称图形的概念，熟记定义是解答本题的关键．

2. 下列调查适合普查的是（    ）

A. 调查一批灯泡的使用寿命情况 B. 调查一批炮弹的杀伤半径情况

C. 了解一批圆珠笔芯的使用寿命 D. 了解七年级三班学生体重情况

【答案】D

【解析】

【分析】根据抽样调查和全面调查的适用范围进行判定．

【详解】解：A、B、C、都具备破坏性，故只能用抽样调查，

D、工作量较小，适用全面调查，

故选D．

【点睛】本题考查全面调查和抽样调查，当具备破坏性或者数据不重要但是工作量较大时适用于抽样调查．

3. 2022年我市有5800名考生参加中考，为了解这些考生的数学成绩，从中抽取1000名考生的数学成绩进行统计分析，以下说法正确的是（    ）

A. 5800名考生是总体 B. 1000名考生是总体的一个样本

C. 1000名考生是样本容量 D. 每位考生的数学成绩是个体

【答案】D

【解析】

【分析】总体是指考查的对象的全体，个体是总体中的每一个考查的对象，样本是总体中所抽取的一部分个体，而样本容量则是指样本中个体的数目．我们在区分总体、个体、样本、样本容量，这四个概念时，首先找出考查的对象，从而找出总体、个体．再根据被收集数据的这一部分对象找出样本，最后再根据样本确定出样本容量．

【详解】解：A．5800名考生的数学成绩是总体，故此选项不合题意；

B．1000名考生的数学成绩是总体的一个样本，故此选项不合题意；

C．1000是样本容量，故此选项不合题意；

D．每位考生的数学成绩是个体，说法正确，故此选项符合题意；

故选：D．

【点睛】本题考查了总体、个体、样本、样本容量的概念，解题要分清具体问题中的总体、个体与样本，关键是明确考查的对象．总体、个体与样本的考查对象是相同的，所不同的是范围的大小．样本容量是样本中包含的个体的数目，不能带单位．

4. 如图，将△AOB绕点O按逆时针方向旋转60°后得到，若∠AOB＝25°，则的度数是（   ）

A. 25° B. 35° C. 40° D. 85°

【答案】B

【解析】

【分析】根据绕点O按逆时针方向旋转60°后得到，可得，然后根据，可以求出的度数．

【详解】∵绕点O按逆时针方向旋转60°后得到，

∴，

又∵

∴，

故选B．

【点睛】本题考查的是旋转的性质，能从图形中准确的找出旋转角是关键．

5. 下列成语中，表示必然事件的是（    ）

A. 瓮中捉鳖 B. 守株待兔 C. 水中捞月 D. 拔苗助长

【答案】A

【解析】

【分析】必然事件就是一定发生的事件，即发生的概率是1的事件．

【详解】解：A．瓮中捉鳖是必然事件；

B．守株待兔是随机事件；

C．水中捞月是不可能事件；

D．拔苗助长是不可能事件；

故选A．

【点睛】本题考查了随机事件，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下，一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件，不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．

6. 下列说法正确的有（    ）

①有一组邻边相等的矩形是正方形        ②对角线互相垂直的矩形是正方形

②有一个角是直角的菱形是正方形        ④对角线相等的菱形是正方形

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个

【答案】D

【解析】

【分析】根据 正方形的判定定理依次分析判断．

【详解】解：①有一组邻边相等的矩形是正方形，故该项正确；       

②对角线互相垂直的矩形是正方形，故该项正确；

②有一个角是直角的菱形是正方形，故该项正确；      

④对角线相等的菱形是正方形，故该项正确；

故选：D．

【点睛】此题考查了正方形的判定定理，正确掌握正方形与矩形菱形的特殊关系及对应添加的条件证得正方形是解题的关键．

7. 一个不透明的盒子里装有a个除颜色外完全相同的球，其中有6个白球，每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色然后再放回盒子里，通过如此大量重复试验，发现摸到白球的频率稳定在0.4左右，则a的值约为（    ）

A. 10 B. 12 C. 15 D. 18

【答案】C

【解析】

【分析】在同样条件下，大量反复试验时，随机事件发生频率逐渐稳定在概率附近，可以从摸到白球的频率稳定在0.4左右得到比例关系，列出方程求解即可．

【详解】解：由题意可得，

，

解得，a=15．

经检验，a=15是原方程的解

故选：C．

【点睛】本题利用了用大量试验得到的频率可以估计事件的概率．关键是根据白球的频率得到相应的等量关系．

8. 如图，正方形纸片ABCD的四个顶点分别在四条平行线l1、l2、l3、l4上，这四条直线中相邻两条之间的距离依次为h1、h2、h3（h1＞0，h2＞0，h3＞0），若h1＝5，h2＝2，则正方形ABCD的面积S等于（    ）

A. 34 B. 89 C. 74 D. 109

【答案】C

【解析】

【分析】过点B作BM⊥l1于点M，过点D作DN⊥l1于点N，根据正方形的性质，易证△MAB≌△NDA（AAS），可得AN＝MB，再根据题意，即可求出AN和ND，根据勾股定理，可得AD的长，进一步即可求出正方形ABCD的面积．

【详解】解：过点B作BM⊥l1于点M，过点D作DN⊥l1于点N，如图所示：

则有∠BMA＝∠AND＝90°，
∴∠MBA＋∠MAB＝90°，
在正方形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝90°，
∴∠MAB＋∠DAN＝90°，
∴∠DAN＝∠MBA，
∴△MAB≌△NDA（AAS），
∴AN＝MB，
∵h1＝5，h2＝2，
∴AN＝MB＝5，ND＝5＋2＝7，
根据勾股定理，得 ，
∴正方形ABCD的面积．
故选：C．

【点睛】本题考查了正方形的性质，涉及勾股定理，全等三角形的性质和判定，作辅助线构造全等三角形是解题的关键．

二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．）

9. 20220202中数字“2”出现的频数是________．

【答案】5

【解析】

【分析】根据频数的定义即可得出结论．

【详解】因为20220202中出现数字“2”有5个，

所以20220202中数字“2”出现的频数为5．

故答案为：5．

【点睛】本题考查频数的定义的理解能力．频数：一般我们称落在不同小组中的数据个数为该组的频数．明确频数的定义是解本题的关键．

10. 正方形绕中心至少旋转___________度后能与自身重合.

【答案】90

【解析】

【详解】正方形的对称中心为对角线的交点，对角线互相垂直平分且相等，则最小的旋转角度为90°，

故答案为90.

11. 线段是中心对称图形，对称中心是它的_____点．

【答案】中

【解析】

【分析】直接利用中心对称图形的性质结合线段的性质得出答案．

【详解】线段是中心对称图形，对称中心是它的中点．

故答案为中．

【点睛】此题主要考查了中心对称图形，正确把握线段的性质是解题关键．

12. 某校有40人参加全国数学竞赛，把他们的成绩分为6组，第一至第四组的频数分别为10，5，7，6，第五组的频率是0.20．则第六组的频率是__．

【答案】0.1

【解析】

【分析】先求出第五组的频数是8，从而求出第六组的频数，最后求出第六组的频率即可解答．

【详解】解：由题意得：40×0.2=8，

∴第五组的频数是8，

∴40-10-5-7-6-8=4，

∴4÷40=0.1，

∴第六组的频率是：0.1，

故答案为：0.1．

【点睛】本题考查了频率与频数，熟练掌握频率等于频数÷总次数是解题的关键．

13. 已知平行四边形中，比小40°，那么的度数是______．

【答案】##70度

【解析】

【分析】根据平行四边形邻角互补，对角相等的性质，通过角的等量代换运算即可．

【详解】解：∵是平行四边形

∴

又∵

∴

∴

∴

故答案为：

【点睛】本题主要考查了平行四边形的性质，熟悉掌握平行四边形的性质是解题的关键．

14. 在不透明布袋中装有除颜色外完全相同的红、白玻璃球，已知白球有60个．同学们通过多次试验后发现摸到红色球的频率稳定在0.25左右，则袋中红球个数可能为_________．

【答案】20

【解析】

【分析】设红球个数为x个，根据概率公式列出方程，然后求解即可得出答案．

【详解】解：设红球个数为x个， 根据题意得：，

解得：x=20， 经检验x=20是原方程的解，

则袋中红球个数可能为20个．

故答案为：20．

【点睛】本题主要考查利用频率估计概率，大量重复实验时，事件发生的频率在某个固定位置左右摆动，并且摆动的幅度越来越小，根据这个频率稳定性定理，可以用频率的集中趋势来估计概率，这个固定的近似值就是这个事件的概率．

15. 如图，平行四边形中，和的平分线交于E、F两点，则的长是__________．

【答案】2

【解析】

【分析】由平行四边形两组对边互相平行，AE平分∠BAD，可以推出∠BAE＝∠AEB，则BE＝AB＝4；同理可得，CF＝CD＝4．而EF＝BF＋CF−BC，由此可以求出EF长．

【详解】解：∵AE平分∠BAD，

∴∠BAE＝∠DAE，

又∵AD∥CB，

∴∠AEB＝∠DAE，

∴∠BAE＝∠AEB，

则BE＝AB＝4；

同理可得，CF＝CD＝4，

∴EF＝BE＋CF−BC＝BE＋CF−AD＝4＋4−6＝2．

故答案为：2．

【点睛】此题主要了角平分线的定义、平行四边形的性质、平行线的性质等知识，关键是要找出线段之间的关系EF＝BE＋CF−BC．

16. 如图，点E、F分别是正方形的边、上的点，且，已知，则图中阴影部分的面积是__________．

【答案】9

【解析】

【分析】根据正方形的性质得到∠EDO＝∠FCO，AC⊥BD，OD＝BD，OC＝AC，AC＝BD，根据全等三角形的判定定理得到△ODE≌△OCF（ASA），根据正方形的面积公式即可得到结论．

详解】解：∵四边形ABCD是正方形，

∴∠EDO＝∠FCO，AC⊥BD，OD＝BD，OC＝AC，AC＝BD，

∴∠DOC＝90°，OD＝OC，

∵OE⊥OF，

∴∠EOF＝90°，

∴∠DOE＝∠COF，

∴△ODE≌△OCF（ASA），

∴图中阴影部分的面积＝S△AOD＝S正方形ABCD，

∵AD＝6，

∴图中阴影部分的面积＝×62＝9，

故答案为：9．

【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，证得△ODE≌△OCF是解题的关键．

17. 已知：如图，四边形中，与相交于点O，则图中全等的三角形共有________对．

【答案】4

【解析】

【分析】根据已知及全等三角形判定方法进行分析，从而得到答案．

【详解】解：∵，

∴∠ODC=∠OBA，∠DCO=∠BAO，

∵，

∴△ABO≌△CDO（ASA）

∴DO=BO，AO=CO，

∵∠DOA=∠BOC

∴△AOD≌△COB（SAS）

∴AD=BC

∵AB=CD，BD=DB，

∴△ADB≌△CBD(SSS)，

∵AD=BC，AB=CD,AC=CA

∴△ADC≌△CBA（SSS），

所以共有四对△ABO≌△CDO，△AOD≌△COB，△ADB≌△CBD，△ADC≌△CBA．

故答案为：4．

【点睛】本题主要考查全等三角形的判定方法，常用的判定方法有AAS，SAS，SSS，ASA等．做题时要从已知条件开始结合图形利用全等的判定方法由易到难逐个寻找．

18. 如图，将矩形ABCD绕点A旋转至矩形AB′C′D′位置，此时AC′的中点恰好与D点重合，AB′交CD于点E．若AB＝3，则△AEC的面积为_____．

【答案】

【解析】

【分析】先求出∠ACD=30°，进而可算出CE、AD，再算出△AEC的面积．

【详解】如图，

由旋转的性质可知：AC=AC'，

∵D为AC'的中点，

∴AD=，

∵ABCD是矩形，

∴AD⊥CD，

∴∠ACD=30°，

∵AB∥CD，

∴∠CAB=30°，

∴∠C'AB'=∠CAB=30°，

∴∠EAC=30°，

∴AE=EC，

∴DE=，

∴CE=，

DE=，

AD=，

∴．

故答案为：．

【点睛】本题考查了旋转的性质、矩形的性质、直角三角形中30度角的性质，三角形面积计算等知识点，难度不大．清楚旋转的“不变”特性是解答的关键．

三、解答题（本大题共7小题，共66分，解答时应写出文字说明、推理过程或演算步骤．）

19. 在平面直角坐标系中，△ABC的三个顶点在格点上（每个方格的边长均为1个单位长度）．

（1）请画出△ABC关于原点对称的图形△A1B1C1

（2）将△ABC绕点O逆时针旋转90°，画出旋转后得到的△A2B2C2

【答案】（1）见解析    （2）见解析

【解析】

【分析】(1)利用关于原点对称的点的坐标特征写出A1、B1、C1的坐标，然后描点即可；

(2)利用网格特点和旋转的性质画出点A、B、C的对应点A2、B2、C2即可．

【小问1详解】

解：如图所示，△A1B1C1即为所求，

【小问2详解】

如图所示，△A2B2C2即为所求．

【点睛】本题考查了作图一旋转变换和中心对称图形，熟练掌握旋转的性质是解题的关键．

20. 如图，在平行四边形ABCD中，点G，H分别是AB，CD的中点，点E、F在对角线AC上，且AE＝CF．求证：四边形EGFH是平行四边形．

【答案】见解析

【解析】

【分析】根据平行四边形的性质得到AB//CD，AB= CD，根据平行线的性质得到∠GAE=∠HCF，得△AGE≌△CHF（SAS），根据全等三角形的性质得到GE= HF，∠AEG =∠CFH，根据平行四边形的判定定理即可得到结论．

【详解】证明：∵四边形ABCD平行四边形，

∴AB//CD，AB＝CD，

∴∠GAE＝∠HCF，

∵点G，H分别是AB，CD的中点，

∴AG＝CH，

在△AGE和△CHF中，

，

∴△AGE≌△CHF（SAS），

∴GE＝HF，∠AEG＝∠CFH， 

∴∠GEF＝∠HFE，

∴GE//HF，

又∵GE＝HF，

∴四边形EGFH是平行四边形

【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，熟练掌握平行四边形判定与的性质是解题的关键．

21. 已知：∠AOB＝120°，OC平分∠AOB．

（1）把三角尺的60°角的顶点落在射线OC上的任意一点P处，绕点P转动三角尺，某一时刻，恰好使得OE＝OF（图1），此时PE与PF相等吗？为什么？

（2）把三角尺继续绕点P转动，两边分别交OA、OB于点E、F（图2），求证：△PEF为等边三角形．

【答案】（1）相等，理由见解析   

（2）见解析

【解析】

【分析】（1）直接利用边角边即可证明；

（2）在OB上取OD=OP，连接PD，进而可得是等边三角形，进而可证，则可得，即可得证．

【小问1详解】

解：，

理由如下：

∵平分，

∴，

∵，，

∴，

∴；

【小问2详解】

证明：在OB上取OD=OP，连接PD，

∵OC平分 ，

，

是等边三角形，

， ，

，

，

即： ，

，

，

，

，

是等边三角形．

【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的判定与性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题的关键．

22. 随着通讯技术迅猛发展，人与人之间的沟通方式更多样，更便捷．为此，李老师设计了“你最喜欢的沟通方式”调查问卷（每人必选且只选一种）．某校九年级（1）班同学利用周末对全校师生进行了随机访问，并将统计结果绘制成两幅不完整的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题：

（1）这次参与调查的共有     人，在扇形统计图中，表示“微信”的扇形圆心角的度数为     ；

（2）将条形统计图补充完整；

（3）如果该校有6000人在使用手机：

①请估计该校最喜欢用“微信”进行沟通的人数；

②在该校师生中随机抽取一人，用频率估计概率，抽取的恰好使用“QQ”的概率是         ．

【答案】（1）2000；144°   

（2）见解析    （3）①2400人；②

【解析】

【分析】（1）由用电话沟通的人数及其所占百分比可求出总人数，用360°乘以利用“微信”沟通人数占被调查人数的比例即可；

（2）先求出短信沟通的人数，再根据5种方式的人数之和等于总人数求出使用“微信”进行沟通的人数，从而补全图形；

（3）①用总人数乘以样本中用“微信”进行沟通的人数所占比例；

②先求出抽取的恰好使用“QQ”的频率，再用频率估计概率即可得出答案．

【小问1详解】

解：∵喜欢用电话沟通的人数为400，所占百分比为20%，

∴此次共抽查了400÷20%＝2000（人），

表示“微信”的扇形圆心角的度数为：360°×=144°，

故答案为：2000；144°；

【小问2详解】

解：短信人数为2000×5%＝100（人），用“微信”进行沟通的人数为2000﹣（400+440+260+100）＝800（人），

如图：

【小问3详解】

解：①估计最喜欢用“微信”进行沟通的人数有：6000×＝2400（人），

∴在该校6000人中，估计最喜欢用“微信”进行沟通的有2400人；

②由（1）可知：参与这次调查的共有2000人，其中喜欢用“QQ”进行沟通的人数为440人，所以，在参与这次调查的人中随机抽取一人，抽取的恰好使用“QQ”的频率是 ＝．

所以，用频率估计概率，在该校使用手机的人中随机抽取一人，抽取的恰好使用“QQ”的概率是，

故答案为：．

【点睛】本题考查的是利用频率估计概率、条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从统计图中得到必要的信息是解决问题的关键，条形统计图能清楚地表示出每个项目的数据．

23. 如图，中，，小丽将绕点A顺时针旋转得到．

（1）当_______时，；

（2）在旋转过程中，小丽发现当时，线段与交于点F，且四边形是菱形，请你给予证明．

【答案】（1）   

（2）见解析

【解析】

【分析】（1）在等腰三角形ABC中先求出∠B的度数，根据AD⊥BC求出∠BAD，旋转角α＝∠BAD；

（2）利用邻补角互补证明AB∥DE，AE∥BC，又AB＝AE，从而证明四边形是菱形．

【小问1详解】

在△BAC中，∵AB＝AC，∴∠B＝＝50°．

 当AD⊥BC时，∠B＋∠BAD＝90°，

∠BAD＝90°－∠B＝40°

∵旋转角等于∠BAD

∴；

【小问2详解】

中，，，且由旋转得到，

∴，，

∵，，

∴，

∴，

∴四边形是平行四边形，

又∵，

∴四边形是菱形．

【点睛】本题考查了菱形的判定，掌握菱形的判定定理是本题的解题关键．

24. 如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点D作DE∥AC且DE＝AC，连接AE、CE．

（1）求证：四边形OCED为矩形；

（2）若菱形ABCD的边长为2，∠BCD＝60°，求AE的长．

【答案】（1）见解析    （2）

【解析】

【分析】(1 )先证四边形OCED是平行四边形，再由∠DOC = 90°，即可得出结论；

(2)先证△BCD是等边三角形，得BD= BC=2，再由勾股定理得OC=，则AC= 2OC=2，然后由矩形的性质得CE= OD=1，∠OCE= 90°，最后由勾股定理即可得出答案．

【小问1详解】

证明：∵四边形ABCD是菱形，

∴AC⊥BD，AO＝OC＝AC，

∴∠DOC＝90°，

∵DE∥AC，DE＝AC，

∴DE＝OC，DE∥OC，

∴四边形OCED是平行四边形，

又∵∠DOC＝90°，

∴平行四边形OCED是矩形；

【小问2详解】

解：∵四边形ABCD是菱形，

∴AC⊥BD，BC＝CD＝8，OB＝OD，AO＝OC＝AC，

∵∠BCD＝60°，

∴△BCD是等边三角形，

∴BD＝BC＝2，

∴OD＝OB＝1，

∴OC＝=，

∴AC＝2OC＝，由（1）得：四边形OCED为矩形，

∴CE＝OD＝1，∠OCE＝90°，

在Rt△ACE中，由勾股定理得：

AE==，

故答案为：．

【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、平行四边形的判定与性质、菱形的性质、等边三角形的判定与性质、勾股定理等知识，熟练掌握菱形性质，证明四边形OCED为矩形是解题的关键．

25. 在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，以每秒1个单位的速度，沿射线BC方向运动，以AE为边向上作正方形AEFG．设点E的运动时间为t（t＞0）．

（1）如图1，EF与CD边交于点M，当DM＝EM时；求t的值．

（2）如图2，当点F恰好落在矩形任意两个顶点的所在直线上时，请求出所有符合条件的t的值．

【答案】（1）；（2）所有符合条件的t的值t＝1或t＝3或t＝2或．

【解析】

【分析】（1）连接，证明，求得 的值，进而求出，从而求证；

（2）分四种情况讨论，根据矩形的性质和正方形的性质证明全等或相似，求得的长度，进而求解．

【详解】解：（1）连接，如图，

正方形，矩形，

， ，

在和中，

，

，

，

在中，，

动点从出发，以每秒1个单位的速度，

；

（2）分四种情况，

①当点在上时，如图，

矩形，

，

，，

正方形，

，，

，

，，

在和中，

，

，

，

，

动点从出发，以每秒1个单位的速度，

；

②当点落在上时，如图，

为正方形的对角线，

，

矩形，

，

，

，

动点从出发，以每秒1个单位的速度，

；

③当点落在上时，过点作交 于点，如图，

正方形，

，，

，

矩形，

，

，

，

在和中，

，

，

，，

设，则，

，，

，

，

，

解得：，

即，

动点从出发，以每秒1个单位的速度，

；

④当点落在上时，过点作交 于点，如图，

正方形，

，，

，

矩形，

，

，

，

在和中，

，

，

，，

设，，则，，

，，

，

，

解得，

经检验：是原方程的根，且符合题意，

，

动点从出发，以每秒1个单位的速度，

；

故所有符合条件的的值或或或 ．

【点睛】本题以动点为背景考查了正方形，矩形的性质，根据根据正方形，矩形的性质，利用全等或相似求出边长，进而分析求解是解题的关键．