扬州市江都区第三中学2021-2022学年八年级3月月考数学试题（含解析）

这是一份扬州市江都区第三中学2021-2022学年八年级3月月考数学试题（含解析），共25页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
扬州市江都区第三中学2021-2022学年八年级3月月考数学试题一、选择题1. 下列事件中，属于必然事件的是（　　）A. 经过路口，恰好遇到红灯 B. 367人中至少有2人生日相同C. 打开电视，正在播放动画片 D. 抛一枚质地均匀的硬币，正面朝上2. 空气是由多种气体混合组成，为了直观地介绍空气各成分的百分比，最适合使用的统计图是（　　）A. 条形统计图 B. 折线统计图 C. 扇形统计图 D. 频数分布直方图3. 以下调查中，适宜全面调查的是（　　）A. 调查某批次汽车的抗撞击能力 B. 调查春节联欢晚会的收视率C. 鞋厂检测生产的鞋底能承受的弯折次数 D. 了解全班同学每周体育锻炼的时间4. “若a是实数，则a2≥0”这一事件发生的概率为P，则（　　）A. P＝0 B. 0＜P＜1 C. P＝1 D. P＞15. 阅读可以丰富知识，拓展视野，充实生活，给我们带来愉快．某中学计划在各班设立图书角，为合理搭配各类书籍，学校团委以“我最喜爱的书籍”为主题，对全校学生进行抽样调查，收集整理喜爱的书籍类型（A．科普，B．文学，C．体育，D．其他）数据后，绘制出两幅不完整的统计图，则下列说法错误的是（　　）A. 类型B的人数为120人 B. 类型C所占百分比为30%C. 类型D所对应的扇形的圆心角为36° D. 样本容量为4006. 用换元法解方程时，若设，则原方程可化为关于y的方程是（　　）A.  B.  C.  D. 7. 若关于x的分式方程无解，则m的值为（    ）A. 3 B. 7 C.  D. 3或78. 已知，，则的值为（　　）A.  B.  C.  D. 二、填空题9. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是_________10. 为了了解某地初二年级男生的身高情况，某班40名学生的身高如下表，则m的值为____．分组147.5～155.5155.5～163.5163.5～171.5171.5～179.5频数611 m频率  0.45  11. 计算：____．12. 古希腊几何学家海伦和我国宋代数学家秦九韶都曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦﹣秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别是a，b，c，记，那么三角形的面积．在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别记为a，b，c，若a＝5，b＝7，c＝8，则△ABC的面积为____．13. 若关于x分式方程的解为非负数，则m的取值范围是____．14. 计算：的结果是 _____．15. 如果，则值为____．16. 甲、乙两人沿着总长度为10km的“健身步道”健步走，甲的速度是乙的1.2倍，甲比乙提前12分钟走完全程．设乙的速度为xkm/h，根据题意，可列方程____．17. 如果，则的值是__________．18. “分母有理化”是我们常用的一种化简的方法，如：，除此之外，我们也可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数，如：对于，设，易知，故x＞0，由＝＝＝2，解得x＝，即．根据以上方法，化简后的结果为____． 三、解答题19. 计算：（1）（2）20. 解分式方程：（1）；（2）．21. 先化简，再求值： ．22. 某校课外兴趣小组在本校学生中开展“垃圾分类”知晓情况专题调查活动，采取随机抽样的方式进行问卷调查，问卷调查的结果分为A、B、C、D四类，其中，A类表示“非常了解”，B类表示“比较了解”，C类表示“基本了解”，D类表示“不太了解”，学生可根据自己的情况任选其中一类，学校根据调查情况进行了统计，并制成了不完整的条形统计图和扇形统计图：
 （1）本次共调查了学生____人，被调查的学生中，类别为C的学生有____人；（2）求类别为A的学生数；（3）求扇形统计图中类别为D的学生数所对应的圆心角的度数；（4）若该校有学生1500名，根据调查结果估计该校学生中对“垃圾分类”知识“非常了解”和“比较了解”的人数一共约为多少人？23. 数学家斐波那契编写的《算经》中有这样一个问题：一组人平分10元钱，每人分得若干；若再加上6人，平分40元钱，则第二次每人所得与第一次相同，求第一次分钱的人数．24. （1）已知计算结果是，求常数m值；（2）已知计算结果是，求常数A、B的值．25. 先阅读下列解答过程，然后再解答：形如的化简，只要我们找到两个正数a，b，使a+b＝m，ab＝n，使得=m，，那么便有：（a＞b）．例如：化简：解：首先把化为，这里m＝7，n＝12，由于4+3＝7，4×3＝12，即：7，，所以．问题：（1）填空：____，____；（2）化简：（请写出计算过程）；（3）化简：．26. 某公司有960件新产品需经加工后才能投放市场，现有甲、乙两家工厂都想加工加工这批产品．已知甲工厂单独完成这批产品比乙工厂单独完成这批产品多用20天，而甲工厂每天加工数量是乙工厂每天加工的数量的，公司需付甲工厂加工费每天80元，需付乙工厂加工费每天120元．（1）甲、乙两工厂每天能加工多少件新产品？（2）公司制定的方案如下：可以由每个厂家单独完成，也可以有两个厂家合作完成．在加工过程中，公司派一名工程师进行技术指导，并担负每天25元的午餐补助，请帮公司需出一种既省时又省钱的加工方案，并说明理由．27. 阅读下列材料：通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数，如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如，这样的分式就是假分式；再如：，这样的分式就是真分式．类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）．如：；．解决下列问题：（1）分式是___分式（填“真”或“假”）；（2）将假分式化为带分式的形式为____；（3）把分式化为带分式；如果的值为整数，求x的整数值．28. 阅读下面的材料，解决问题：像、、……两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如，和、与、与等都是互为有理化因式．在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．我们把通过适当的变形化去分母中根号的运算叫做分母有理化．例如：；；（1）计算：=___；=____；（2）计算：；（3）比较和的大小，并说明理由；（4）计算：．
答案与解析一、选择题1. 下列事件中，属于必然事件的是（　　）A. 经过路口，恰好遇到红灯 B. 367人中至少有2人的生日相同C. 打开电视，正在播放动画片 D. 抛一枚质地均匀的硬币，正面朝上【答案】B【解析】【分析】必然事件就是一定能发生的事件，根据定义即可作出判断．【详解】解：A、经过路口，恰好遇到红灯是随机事件，不符合题意；B、367人中至少有2人的生日相同，是必然事件，符合题意；C、打开电视，正在播放动画片随机事件，不符合题意；D、抛一枚质地均匀的硬币，正面朝上是随机事件，不符合题意．故选B．【点睛】本题考查了必然事件的定义，解决本题需要正确理解必然事件、不可能事件、随机事件的概念．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．2. 空气是由多种气体混合组成的，为了直观地介绍空气各成分的百分比，最适合使用的统计图是（　　）A. 条形统计图 B. 折线统计图 C. 扇形统计图 D. 频数分布直方图【答案】C【解析】【分析】条形统计图能清楚地表示出每个项目中的具体数目，易于比较数据之间的差别；用扇形的面积表示部分在总体中所占的百分比，易于显示每组数据相对于总数的大小；折线统计图能清楚地反映事物的变化情况，显示数据变化趋势；直方图在数量表示上比较确切，但不够直观、形象，不利于分析数据分布的总体态势．【详解】解：A、条形统计图能清楚地表示出每个项目中的具体数目，易于比较数据之间的差别，故选项不符合题意；B、折线统计图能清楚地反映事物的变化情况，显示数据变化趋势，故选项不符合题意；C、扇形统计图中用扇形的面积表示部分在总体中所占的百分比，易于显示每组数据相对于总数的大小，故选项符合题意；D、直方图在数量表示上比较确切，但不够直观、形象，不利于分析数据分布的总体态势，故选项不符合题意．故选：C．【点睛】本题考查统计图的选择及频数（率）分布直方图，应充分掌握各种统计图（条形统计图、扇形统计图及折线统计图）的优缺点以及频数（率）分布直方图中各量的意义．3. 以下调查中，适宜全面调查的是（　　）A. 调查某批次汽车的抗撞击能力 B. 调查春节联欢晚会的收视率C. 鞋厂检测生产的鞋底能承受的弯折次数 D. 了解全班同学每周体育锻炼的时间【答案】D【解析】【分析】普查和抽样调查的选择．调查方式的选择需要将普查的局限性和抽样调查的必要性结合起来，具体问题具体分析，普查结果准确，所以在要求精确、难度相对不大，实验无破坏性的情况下应选择普查方式，当考查的对象很多或考查会给被调查对象带来损伤破坏，以及考查经费和时间都非常有限时，普查就受到限制，这时就应选择抽样调查．【详解】解：A、调查某批次汽车的抗撞能力，应用抽样调查，故此选项不合题意；B、调查春节联欢晚会的收视率，应用抽样调查，故此选项不合题意；C、鞋厂检测生产的鞋底能承受的弯折次数，应用抽样调查，故此选项不合题意；D、了解全班同学每周体育锻炼的时间，适合采用全面调查方式，故此选项符合题意．故选：D．【点睛】此题考查了抽样调查和全面调查，由普查得到的调查结果比较准确，但所费人力、物力和时间较多，而抽样调查得到的调查结果比较近似，理解普查和抽样调查的区别是解题关键．4. “若a是实数，则a2≥0”这一事件发生的概率为P，则（　　）A. P＝0 B. 0＜P＜1 C. P＝1 D. P＞1【答案】C【解析】【分析】直接利用实数的性质以及结合必然事件的定义得出答案．【详解】解：∵a是实数，a2≥0这一事件是必然事件．∴这一事件发生的概率P＝1．故选：C．【点睛】本题主要考查了必然事件，正确把握相关定义是解题关键．5. 阅读可以丰富知识，拓展视野，充实生活，给我们带来愉快．某中学计划在各班设立图书角，为合理搭配各类书籍，学校团委以“我最喜爱的书籍”为主题，对全校学生进行抽样调查，收集整理喜爱的书籍类型（A．科普，B．文学，C．体育，D．其他）数据后，绘制出两幅不完整的统计图，则下列说法错误的是（　　）A. 类型B的人数为120人 B. 类型C所占百分比为30%C. 类型D所对应的扇形的圆心角为36° D. 样本容量为400【答案】B【解析】【分析】结合两个统计图，利用喜爱科普的人数及占比可求出总人数，即可求出答案；【详解】由两个统计图可知，A类型有100人，占比25%，所以总样本人数等于人，D选项正确； D类型人数等于 人，B类型人数等于 人，A选项正确；类型C占比为 ，B选项错误；类型D所对应的扇形的圆心角为 ，C选项正确．故选：B．【点睛】本题考查简单统计知识，注意数形结合的运用．6. 用换元法解方程时，若设，则原方程可化为关于y的方程是（　　）A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】把原方程按按照所给条件换元，整理即可【详解】原方程可化为 ，整理为 ．故答案为：A【点睛】本题考查换元法解方程，灵活运用即可．7. 若关于x的分式方程无解，则m的值为（    ）A. 3 B. 7 C.  D. 3或7【答案】D【解析】【分析】将分式方程化为整式方程，一次项系数为0时整式方程无解则分式方程无解，整式方程的解使分式方程的分母为0时分式方程也无解；【详解】解：去分母得：7-mx=-3（x-1）去括号得：7-mx=-3x+3移项合并得：（3-m）x=-4当m=3时，0x=4，整式方程无解，分式方程也无解，当x=1时，m=7，分式的分母为0，分式方程无解，∴m=3或m=7时，分式方程无解，故选：D．【点睛】本题考查了根据分式方程无解确定字母参数，掌握分式方程无解的情况是解题关键．8. 已知，，则的值为（　　）A.  B.  C.  D. 【答案】A【解析】【分析】利用完全平方公式得出，，再由题意确定，，然后计算比值即可．【详解】解：∵，∴，，∴，，∵a>b>0，∴，，∴，故选：A．【点睛】题目主要考查完全平方公式的应用及算术平方根、二次根式、分式的化简，熟练掌握各个运算法则是解题关键．二、填空题9. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是_________【答案】x≤5【解析】【分析】根据二次根式有意义的条件，即可求解．【详解】解：由题意得：，解得：．故答案为：【点睛】本题主要考查了二次根式有意义的条件，熟练掌握二次根式的被开方数是非负数是解题的关键．10. 为了了解某地初二年级男生的身高情况，某班40名学生的身高如下表，则m的值为____．分组147.5～155.5155.5～163.5163.5～171.5171.5～179.5频数611 m频率  0.45  【答案】5【解析】【分析】根据频数、频率与总数之间的关系求解即可．【详解】解：由表可得：163.5～171.5组的频数为：40×0.45=18，∴m=40-6-11-18=5，故答案为：5．【点睛】题目主要考查频数、频率与总数之间的关系，理解题意，掌握三者之间的关系是解题关键．11. 计算：____．【答案】【解析】【分析】先计算括号内的分式化简，然后再计算除法即可．【详解】解：，故答案为：．【点睛】题目主要考查分式的化简，熟练掌握运算法则是解题关键．12. 古希腊几何学家海伦和我国宋代数学家秦九韶都曾提出利用三角形的三边求面积的公式，称为海伦﹣秦九韶公式：如果一个三角形的三边长分别是a，b，c，记，那么三角形的面积．在△ABC中，∠A，∠B，∠C所对的边分别记为a，b，c，若a＝5，b＝7，c＝8，则△ABC的面积为____．【答案】【解析】【分析】根据a，b，c的值求得p＝，然后将其代入三角形的面积S＝求值即可．【详解】解：由a＝5，b＝7，c＝8，得p＝＝．所以三角形的面积S＝＝．故答案为：．【点睛】本题主要考查了二次根式的应用和数学常识，解题的关键是读懂题意，利用材料中提供的公式解答，难度不大．13. 若关于x的分式方程的解为非负数，则m的取值范围是____．【答案】且【解析】【分析】先解关于x的分式方程，求得x的值，然后再依据“解是非负数”建立不等式求m的取值范围．【详解】解：去分母得，m+3＝2x﹣1，∴x＝，∵方程的解是非负数，∴m+4≥0即m≥﹣4，又因为2x﹣1≠0，∴x≠，∴≠，∴m≠-3，则m的取值范围是m≥﹣4且m≠-3．故答案为：m≥﹣4且m≠-3．【点睛】本题考查了分式方程的解及分式有意义的条件，理解题意得出相应不等式求解即可．14. 计算：结果是 _____．【答案】【解析】【分析】根据平方差公式以及积的乘方即可求出答案．【详解】解：原式故答案为：．【点睛】本题考查二次根式的混合运算．解题的关键是熟练运用平方差公式以及积的乘方运算．15. 如果，则的值为____．【答案】【解析】【分析】把分式得分子、分母，同时除以，再把代入计算即可．【详解】解：分式分子、分母同时除以得，∵∴故答案为：．【点睛】本题考查了分式的化简求值，正确运用分式的运算法则与运算率进行分式的化简求值是解题的关键．16. 甲、乙两人沿着总长度为10km的“健身步道”健步走，甲的速度是乙的1.2倍，甲比乙提前12分钟走完全程．设乙的速度为xkm/h，根据题意，可列方程____．【答案】【解析】【分析】根据题意列出分式方程即可．【详解】解：设乙的速度为xkm/h，则甲的速度为1.2 xkm/h，根据题意得：，即，故答案为：．【点睛】题目主要考查分式方程的应用，理解题意是解题关键．17. 如果，则的值是__________．【答案】【解析】【分析】将二次根式的被开方数和一元二次方程同时进行化简，最后都化成含的式子，然后再将二次根式进行化简.【详解】解：方程x2-3x+1=0中，当x=0时，方程左边为0-0+1=1≠0，故x≠0；
将方程两边同除以x，则有：x-3+=0，即，∴原式==，故答案为：．【点睛】本题的难点在于需将一元二次方程和二次根式的被开方数同时进行变形，形如的式子转化，应该立刻联想到=的变形.18. “分母有理化”是我们常用的一种化简的方法，如：，除此之外，我们也可以用平方之后再开方的方式来化简一些有特点的无理数，如：对于，设，易知，故x＞0，由＝＝＝2，解得x＝，即．根据以上方法，化简后的结果为____．【答案】【解析】【分析】令，可求得=6，再由x<0，可得，再将所求式子化简即可．【详解】解：令，∴ =12−6=6，∵，∴，∴故答案为：．【点睛】本题考查了分母有理化，熟练掌握分母有理化的方法，灵活应用完全平方公式是解题的关键． 三、解答题19. 计算：（1）（2）【答案】（1）    （2）【解析】【分析】（1）先化简，然后去括号，再合并同类二次根式即可．（2）利用完全平方公式，然后去括号，再合并同类二次根式和同类项即可．【小问1详解】【小问2详解】【点睛】本题考查了二次根式的性质与化简，混合运算，以及完全平方公式的应用，熟练运用二次根式的混合运算是解题的关键．20. 解分式方程：（1）；（2）．【答案】（1）x=-4；    （2）无解．【解析】【分析】（1）方程两边都乘（x+1）（x-2）得出整式方程，求出整式方程的解，再进行检验即可；（2）方程两边都乘（x-4）得出整式方程，求出整式方程的解，再进行检验即可．【小问1详解】解：方程两边都乘（x+1）（x-2），得出2（x+1）= x-2，解得：x=-4，检验：当x=-4时，（x+1）（x-2）≠0，所以x=-4是原方程的解，即原方程的解是x=-4；【小问2详解】解：方程两边都乘（x-4），得出-3+2（x-4）=1-x，解得：x=4，检验：当x=4时，x-4=0，所以x=4是原方程的增根，即原方程无解．【点睛】本题考查了解分式方程，能把分式方程转化成整式方程是解此题的关键．21. 先化简，再求值： ．【答案】，【解析】【分析】先把括号内式子进行通分，然后把把除法运算转化为乘法运算，约分化为最简分式后代入求值即可．【详解】解：， ＝＝，当时，原式.22. 某校课外兴趣小组在本校学生中开展“垃圾分类”知晓情况专题调查活动，采取随机抽样的方式进行问卷调查，问卷调查的结果分为A、B、C、D四类，其中，A类表示“非常了解”，B类表示“比较了解”，C类表示“基本了解”，D类表示“不太了解”，学生可根据自己的情况任选其中一类，学校根据调查情况进行了统计，并制成了不完整的条形统计图和扇形统计图：
 （1）本次共调查了学生____人，被调查的学生中，类别为C的学生有____人；（2）求类别为A的学生数；（3）求扇形统计图中类别为D的学生数所对应的圆心角的度数；（4）若该校有学生1500名，根据调查结果估计该校学生中对“垃圾分类”知识“非常了解”和“比较了解”的人数一共约为多少人？【答案】（1）200；28    （2）60    （3）21.6°    （4）1200人【解析】【分析】（1）根据两个统计图中“B类”的有100人，占调查人数的50%，由频率＝可求出调查人数，进而求出“C类”的人数；（2）根据各组频数之和等于样本容量，可求出“A类”的人数；（3）求出“D类”所占的百分比，即可求出相应的圆心角的度数；（4）求出“A类”、“B类”共占调查人数的百分比，关键总体所占的百分比，进而求出相应的人数．【小问1详解】100÷50%＝200（人），200×14%＝28（人），故答案为：200，28；【小问2详解】“A类”的人数为：200−100−28−12＝60（人）【小问3详解】，答：扇形统计图中类别为D的学生数所对应的圆心角的度数是21.6°；【小问4详解】（人），答：该校有学生1500名学生中对“垃圾分类”知识“非常了解”和“比较了解”的人数一共约为1200人．【点睛】本题考查条形统计图、扇形统计图，掌握两个统计图中数量之间的关系以及频率＝是正确解答的前提．23. 数学家斐波那契编写的《算经》中有这样一个问题：一组人平分10元钱，每人分得若干；若再加上6人，平分40元钱，则第二次每人所得与第一次相同，求第一次分钱的人数．【答案】第一次分钱的人数为2人【解析】【分析】设第一次分钱的人数为x人，由题意：一组人平分10元钱，每人分得若干；若再加上6人，平分40元钱，则第二次每人所得与第一次相同，列出分式方程，解方程即可．【详解】解：设第一次分钱的人数为x人．根据题意，得．解这个方程，得．经检验是原分式方程的解，且符合题意．答：第一次分钱的人数为2人．【点睛】本题考查了分式方程的应用，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．24. （1）已知计算结果是，求常数m的值；（2）已知计算结果是，求常数A、B的值．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）先计算分式加法，然后与化简的结果对比即可得出结果；（2）先计算分式加法，然后与化简的结果对比得出二元一次方程组，求解即可．【详解】解：（1），∴m=3；（2），∴，解得：．【点睛】题目主要考查分式的加减运算及二元一次方程的解法，熟练掌握分式的加减运算是解题关键．25. 先阅读下列解答过程，然后再解答：形如的化简，只要我们找到两个正数a，b，使a+b＝m，ab＝n，使得=m，，那么便有：（a＞b）．例如：化简：解：首先把化为，这里m＝7，n＝12，由于4+3＝7，4×3＝12，即：7，，所以．问题：（1）填空：____，____；（2）化简：（请写出计算过程）；（3）化简：．【答案】（1）；    （2），过程见解析    （3）【解析】【分析】（1）化简，时，根据范例确定m，n值，然后利用完全平方公式求解即可；（2）将转化为：，即可求解；（3）先把各项中分母的无理式变成 的形式，再进行分母有理化后，进行计算即可求解．【小问1详解】解：在中，m=4，n=3，由于3+1=4，3×1=3即，∴=；在中，m=5，n=6，由于2+3=5，2×3=6，即，，∴=；故答案为：；；【小问2详解】原式．【小问3详解】根据题意可得：原式．【点睛】本题考查二次根式根号内含有根号的式子化简，分母有理化．二次根式根号内含有根号的式子化简主要利用了完全平方公式，所以一般二次根式根号内含有根号的式子化简是符合完全平方公式的特点的式子．26. 某公司有960件新产品需经加工后才能投放市场，现有甲、乙两家工厂都想加工加工这批产品．已知甲工厂单独完成这批产品比乙工厂单独完成这批产品多用20天，而甲工厂每天加工数量是乙工厂每天加工的数量的，公司需付甲工厂加工费每天80元，需付乙工厂加工费每天120元．（1）甲、乙两工厂每天能加工多少件新产品？（2）公司制定的方案如下：可以由每个厂家单独完成，也可以有两个厂家合作完成．在加工过程中，公司派一名工程师进行技术指导，并担负每天25元的午餐补助，请帮公司需出一种既省时又省钱的加工方案，并说明理由．【答案】（1）甲工厂每天能加工16件，乙工厂每天能加工24件    （2）甲工厂单独完成需6300元，乙工厂单独完成需5800元，甲乙两个厂家合作完成需要5400元，所以选择甲乙两个厂家合作完成【解析】【分析】（1）设甲工厂每天加工 x 件新品，乙工厂每天加工 1.5x 件新品，根据题意找出等量关系：甲厂单独加工这批产品所需天数﹣乙工厂单独加工完这批产品所需天数＝20， 由等量关系列出方程求解．（2）分别计算出甲单独加工完成、乙单独加工完成、甲、乙合作完成需要的时间和费用， 比较大小，选择既省时又省钱的加工方案即可．【小问1详解】解：设甲工厂每天加工 x 件新品，乙工厂每天加工 1.5x 件新品，则： 解得：x＝16经检验，x＝16 是原分式方程的解∴甲工厂每天加工 16 件产品，乙工厂每天加工 24 件产品；【小问2详解】方案一：甲工厂单独完成此项任务，则需要的时间为：960÷16＝60 天，需要的总费用为：60×（80+25）＝6300 元方案二：乙工厂单独完成此项任务，则需要的时间为：960÷24＝40 天需要的总费用为：40×（120+25）＝5800元方案三：甲、乙两工厂合作完成此项任务，设共需要 a 天完成任务，则16a+24a＝960∴a＝24∴需要的总费用为：24×（80+120+25）＝5400元综上所述：甲、乙两工厂合作完成此项任务既省时又省钱．【点睛】本题主要考查分式方程的应用，解题的关键在于理解清楚题意，找出等量关系，列出方程求解．需要注意：①分式方程求解后，应注意检验其结果是否符合题意；②选择最优方案时，需将求各个方案所需时间和所需费用，经过比较后选择最优的那个方案．27. 阅读下列材料：通过小学的学习我们知道，分数可分为“真分数”和“假分数”，而假分数都可化为带分数，如：．我们定义：在分式中，对于只含有一个字母的分式，当分子的次数大于或等于分母的次数时，我们称之为“假分式”；当分子的次数小于分母的次数时，我们称之为“真分式”．如，这样的分式就是假分式；再如：，这样的分式就是真分式．类似的，假分式也可以化为带分式（即：整式与真分式的和的形式）．如：；．解决下列问题：（1）分式是___分式（填“真”或“假”）；（2）将假分式化为带分式的形式为____；（3）把分式化为带分式；如果的值为整数，求x的整数值．【答案】（1）真    （2）    （3）；【解析】【分析】（1）根据定义即可求出答案；（2）根据定义进行化简即可；（3）先化为带分式，然后根据题意列出方程即可求出x的值．【小问1详解】由题意得：分式是真分式，故答案为：真；【小问2详解】，故答案为：；小问3详解】，当为整数时，也为整数所以x+1可取得的整数值为±1、±3．所以x的可能整数值为0，-2，2，-4．【点睛】本题考查分式和新定义问题，解题的关键是正确理解新定义以及分式的运算，本题属于中等题型．28. 阅读下面的材料，解决问题：像、、……两个含有二次根式的代数式相乘，积不含有二次根式，我们称这两个代数式互为有理化因式．例如，和、与、与等都是互为有理化因式．在进行二次根式计算时，利用有理化因式，可以化去分母中的根号．我们把通过适当的变形化去分母中根号的运算叫做分母有理化．例如：；；（1）计算：=___；=____；（2）计算：；（3）比较和的大小，并说明理由；（4）计算：．【答案】（1）；；    （2）；    （3），理由见解析    （4）【解析】【分析】（1）根据分母有理化的方法进行求解即可；（2）对各分母进行有理化运算，即可求解；（3）先求得所给的式子的倒数，再进行判断即可；（4）把分母进行有理化运算即可．【小问1详解】，，故答案为：；；【小问2详解】【小问3详解】∵∴∴【小问4详解】=．【点睛】本题主要考查二次根式的混合运算，解答的关键是对相应的运算法则的掌握与运用．