扬州市仪征市第三中学2021-2022学年八年级3月月考数学试题（含解析）

扬州市仪征市第三中学2021-2022学年八年级3月月考数学试题

一、选择题（本大题共8小题，共24分）

1. 下列图案中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）

A.  B.  C.  D.

2. 在中，分式的个数是（     ）

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

3. 下列调查中，适合普查的是（　　）

A. 一批手机电池的使用寿命 B. 中国公民保护环境的意识

C. 你所在学校的男、女同学的人数 D. 端午节期间苏州市场上粽子的质量

4. 一个不透明的盒子中装有3个红球，2个黄球，这些球除了颜色外其余都相同，从中随机摸出3个小球，则事件“所摸3个球中必含有红球”是（　　）

A. 不确定事件 B. 必然事件 C. 不可能事件 D. 随机事件

5. 下列式子从左至右的变形一定正确的是（    ）

A.  B.  C.  D.

6. 如图，在中，，在同一平面内，将绕点A旋转到的位置，使得，则的度数为（    ）

A. 30° B. 35° C. 40° D. 50°

7. 下列判断中，正确的是（    ）

A. 分式的分子中一定含有字母；

B. 对于任意有理数x，分式总有意义

C. 分数一定是分式；

D. 当A=0时，分式的值为0（A、B为整式）

8. 如图，菱形ABCD的边长为3，且∠ABC=600，E、F是对角线BD上的两个动点，且EF＝2，连接AE、AF，则 AE＋AF 的最小值为（    ）

A.  B.  C.  D.

二、填空题（本大题共10小题，共30分）

9. 若分式的值为0，则x的值为__________．

10. 平行四边形中，，则______度．

11. 某市对一段全长1500米的道路进行整修．原计划每天修x米，为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，实际施工时，每天修路比原计划的2倍还多35米，那么修这条路实际用了_____天．

12. 期中考试结束后，老师统计了全班人的数学成绩，这个数据共分为组，第至第组的频数分别为，，，，第组的频率为，那么第组的频率是______．

13. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝24°，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转后得到△EDC，此时点D在AB边上，旋转角为_____°．

14. 如图，将一张矩形纸片沿对角线进行折叠，点落在点处，若，则重叠部分（阴影部分）的面积是__________（平方单位）．

15. 小明把如图所示矩形纸板挂在墙上，玩飞镖游戏（每次飞镖均落在纸板上），则飞镖落在阴影区域的概率是_____．

16. 如图，在菱形ABCD中，过点C作CEBC交对角线BD 于点 E ，若ECD20 ，则ADB____________.

17. 在平面直角坐标系中，规定把一个点先绕原点逆时针旋转，再作出它关于原点的对称点称为一次变换，已知点的坐标为，把点经过连续次这样的变换得到的点的坐标是______．

18. 如图，在正方形中，是对角线上一点，且满足连接并延长交于点，连接，过点作于点，延长交于点在下列结论中：①；②；③；④，其中正确的结论有______填正确的序号

三、解答题（本大题共10小题，共66分）

19. （1）计算：；

（2）当时，求分式的值．

20. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标都在格点上，且与关于原点成中心对称，点坐标为．

（1）请直接写出的坐标______；并画出．

（2）是边上一点，将平移后点的对称点，请画出平移后的．

（3）若和关于某一点成中心对称，则对称中心的坐标为______．

21. 小亮与小明做投骰子（质地均匀的正方体）的实验与游戏．

（1）在实验中他们共做了50次试验，试验结果如下：

填空：此次实验中，“1点朝上”的频率是      ；

② 小亮说：“根据试验，出现1点朝上的概率最大．”他的说法正确吗？为什么？

（2）小明也做了大量的同一试验，并统计了“1点朝上”的次数，获得的数据如下表：

“1点朝上”的概率的估计值是      ．

22. 某校八年级学生全部参加“初二生物地理会考”，从中抽取了部分学生的生物考试成绩，将他们的成绩进行统计后分为A、B、C、D四等级，并将统计结果绘制成如下的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题

（说明：测试成绩在总人数的前考生为A等级，前至前为B等级，前至前为C等级，以后为D等级）

（1）抽取了______名学生成绩；

（2）请把频数分布直方图补充完整；

（3）扇形统计图中A等级所在的扇形的圆心角度数是______；

（4）若测试成绩在总人数前为合格，该校初二年级有名学生，求全年级生物合格的学生共约多少人．

23. 已知：如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE∥AC，DF∥AB．求证：四边形AEDF是菱形．

24. 如图，点O是线段AB上的一点，OA=OC，OD平分∠AOC交AC于点D，OF平分∠COB，CF⊥OF于点F．

（1）求证：四边形CDOF是矩形；

（2）当∠AOC多少度时，四边形CDOF是正方形？并说明理由．

25. 如图，O为∠BAC内一点，E、F、G、H分别为AB，AC，OC，OB的中点．

（1）求证：四边形EFGH为平行四边形；

（2）当AB＝AC，AO平分∠BAC时，求证：四边形EFGH为矩形．

26. （1）操作发现：如图1，在矩形ABCD中，E是BC的中点，将△ABE沿AE折叠后得到△AFE，点F在矩形ABCD内部，延长AF交CD于点G．猜想线段GF与GC有何数量关系？并证明你的结论．

（2）简单应用：在（1）中，如果AB＝4，AD＝6，求DG的长；

（3）类比探究：如图2，将（1）中的矩形ABCD改为平行四边形，其它条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由．

27. 定义：我们把对角线互相垂直的四边形叫做和美四边形，对角线交点称为和美四边形中心．

（1）写出一种你学过的和美四边形________；

（2）顺次连接和美四边形四边中点所得四边形是________

A．矩形         B．菱形       C．正方形           D．无法确定

（3）如图1，点O是和美四边形的中心，分别是边的中点，连接，记四边形的面积为，用等式表示的数量关系（无需说明理由）

（4）如图2，四边形是和美四边形，若，求的长．

28. 知识再现：已知，如图，四边形是正方形，点、分别在边、上，连接、、，，延长至使，连接，根据三角形全等的知识，我们可以证明．

（1）知识探究：在图中，作，垂足点，猜想与有什么数量关系？并证明；

（2）知识应用：如图，已知，于点，且，，则的长为______；

（3）知识拓展：如图，四边形是正方形，是边的中点，为边上一点，，，求的长．

答案与解析

一、选择题（本大题共8小题，共24分）

1. 下列图案中既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（　　）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据轴对称图形与中心对称图形的概念求解．

【详解】A、既是轴对称图形，又是中心对称图形；

B、既不是轴对称图形，也不是中心对称图形；

C、不是轴对称图形，也不是中心对称图形；

D、是轴对称图形，不是中心对称图形．

故选A．

【点睛】本题考查了中心对称图形与轴对称图形的知识．轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后两部分重合．

2. 在中，分式的个数是（     ）

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

【答案】B

【解析】

【分析】判断分式的依据是看分母中是否含有字母，如果含有字母则是分式，如果不含有字母则不是分式．

【详解】解：在中，

分式有，

∴分式的个数是3个．

故选：B．

【点睛】本题主要考查分式的定义，解题的关键是注意π不是字母，是常数，所以不是分式，是整式．

3. 下列调查中，适合普查的是（　　）

A. 一批手机电池的使用寿命 B. 中国公民保护环境的意识

C. 你所在学校的男、女同学的人数 D. 端午节期间苏州市场上粽子的质量

【答案】C

【解析】

【详解】一批手机电池的使用寿命适合抽样调查；

中国公民保护环境的意识适合抽样调查；

你所在学校的男、女同学的人数适合普查；

端午节期间苏州市场上粽子的质量适合抽样调查，

故选C.

4. 一个不透明的盒子中装有3个红球，2个黄球，这些球除了颜色外其余都相同，从中随机摸出3个小球，则事件“所摸3个球中必含有红球”是（　　）

A. 不确定事件 B. 必然事件 C. 不可能事件 D. 随机事件

【答案】B

【解析】

【分析】根据必然事件、不可能事件、随机事件的概念进行判断即可．必然事件指在一定条件下一定发生的事件．不可能事件是指在一定条件下，一定不发生的事件．不确定事件即随机事件是指在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件．

【详解】解：∵盒子中装有3个红球，2个黄球，
∴从中随机摸出3个小球，必定含有红球，则事件“所摸3个球中必含红球”是必然事件，
故选B．

【点睛】能区分必然事件、不可能事件、随机事件的概念是解答本题的关键．

5. 下列式子从左至右的变形一定正确的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】C

【解析】

【分析】根据分式的性质可得到A、B、D都不一定正确，而C中k≠0，根据分式的基本性质可判断其正确．

【详解】解：A、（m≠0），所以A选项不正确；

B、若c=0，则，所以B选项不正确；

C、，所以C选项正确；

D、，所以D选项不正确．

故选：C．

【点睛】本题考查了分式的基本性质：分式的分子和分母同乘以（或除以）一个不为0的代数式，分式的值不变．

6. 如图，在中，，在同一平面内，将绕点A旋转到的位置，使得，则的度数为（    ）

A. 30° B. 35° C. 40° D. 50°

【答案】A

【解析】

【分析】由平行线的性质可得，由旋转的性质可得，，，由等腰三角形的性质可求解即可求得的度数．

【详解】解：∵，
∴，
∵将绕点A旋转到的位置，
∴，，，

∴，
∴．
故选：A．

【点睛】本题考查了旋转的性质，平行线的性质，等腰三角形的性质，灵活运用这些性质解决问题是本题的关键．

7. 下列判断中，正确的是（    ）

A. 分式的分子中一定含有字母；

B. 对于任意有理数x，分式总有意义

C. 分数一定是分式；

D. 当A=0时，分式的值为0（A、B为整式）

【答案】B

【解析】

【分析】根据分式的定义，分式有意义的条件，分式的值为0的条件，就可以求解．

【详解】解：A、分式的分子中不一定含有字母，故A错误；

B、由分式有意义的条件可知对于任意有理数x，分式总有意义，故B正确；

C、分数不一定是分式，故C错误；

D、当A=0，B≠0时，分式的值为0（A、B为整式），故D错误．

故选B．

【点睛】本题考查了分式的定义，分式有意义的条件，分式的值为0的条件．

整式A除以整式B，如果除式B中含有分母，那么这个就是分式，对于任何一个分式，分母不为0．

分式有意义的条件：分母不等于0．

分式值为零的条件是：分子等于零，分母不为零．两者缺一不可．

8. 如图，菱形ABCD的边长为3，且∠ABC=600，E、F是对角线BD上的两个动点，且EF＝2，连接AE、AF，则 AE＋AF 的最小值为（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】如图作AH∥BD，使得AH=EF=2，连接CH交BD于F，此时AE+AF的值最小，

【详解】解：如图作AH∥BD，使得AH=EF=2，连接CH交BD于F，则AE+AF的值最小．

∵AH=EF，AH∥EF，
∴四边形EFHA是平行四边形，
∴EA=FH，
∵BD所在的直线是菱形的对称轴,点A、C是对称点，（或根据SAS证明△ABF≌△CBF）

∴FA=FC，
∴AE+AF=FH+CF=CH，
∵菱形ABCD的边长为3，∠ABC=60°，
∴AC=AB=3，
∵四边形ABCD是菱形，
∴AC⊥BD，
∵AH∥DB，
∴AC⊥AH，
∴∠CAH=90°，
在Rt△CAH中，CH= ＝，
∴AE+AF的最小值为 ，

故选：D．

【点睛】本题考查轴对称-最短问题，菱形的性质、勾股定理、平行四边形的判定和性质等知识，解题关键是学会利用轴对称解决最短问题，属于中考常考题型．

二、填空题（本大题共10小题，共30分）

9. 若分式的值为0，则x的值为__________．

【答案】3

【解析】

【分析】根据分式的值为0时分母≠0，且分子＝0两个条件求出x的值即可．

【详解】由x2-9=0，得

x=±3．

又∵x+3≠0，

∴x≠-3，

因此x=3．

故答案为3．

【点睛】本题考查了分式值为0时求字母值．分式值为0时分子=0，分母≠0，两个条件缺一不可，掌握以上知识是解题的关键．

10. 平行四边形中，，则______度．

【答案】130

【解析】

【分析】根据平行四边形性质可得，又有，可求又因为平行四边形的邻角互补，所以，，可求．

【详解】解：四边形为平行四边形，

，

又∵，

，

又，

．

故答案为：130

【点睛】此题主要考查：平行四边形的两组对角分别相等，平行四边形的邻角互补，掌握平行四边形的性质是解题的关键．

11. 某市对一段全长1500米的道路进行整修．原计划每天修x米，为了尽量减少施工对城市交通所造成的影响，实际施工时，每天修路比原计划的2倍还多35米，那么修这条路实际用了_____天．

【答案】

【解析】

【分析】等量关系为：实际用时=实际工作总量÷实际工效．

【详解】实际工作量为1500，实际工效为：2x+35．
故实际用时=.

故答案是：.

【点睛】本题考查工作时间=工作总量÷工作效率这个等量关系．找到合适的等量关系是解决问题的关键．

12. 期中考试结束后，老师统计了全班人的数学成绩，这个数据共分为组，第至第组的频数分别为，，，，第组的频率为，那么第组的频率是______．

【答案】0.2##

【解析】

【分析】先求出第、两组的频数，然后求出这两组的频率之和，再减去第组的频率即为第组的频率．

【详解】解：第、两组的频数为：，

所以，第、两组的频率之和为：，

第组的频率为，

第组的频率为．

故答案为：．

【点睛】本题是对频率、频数灵活运用的考查，把第、两小组看作一个整体求解是解题的关键．

13. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝24°，将△ABC绕点C按顺时针方向旋转后得到△EDC，此时点D在AB边上，旋转角为_____°．

【答案】48

【解析】

【分析】根据已知可先求的∠B=90°-∠A，由旋转可知BC＝CD，可知∠BDC=∠B，故旋转角∠BCD=180°-2×∠B.

【详解】解：∵∠ACB＝90°，∠A＝24°，

∴∠B＝90°﹣24°＝66°，

∵△ABC绕点C按顺时针方向旋转后得到△EDC，点D在AB边上，

∴BC＝CD，

∠BCD＝180°﹣66°×2＝48°，

∴旋转角48°．

故答案为48．

【点睛】本题考查了图形的旋转，解本题的关键是掌握在图形的旋转中旋转前后对应的线段和角度相等.

14. 如图，将一张矩形纸片沿对角线进行折叠，点落在点处，若，则重叠部分（阴影部分）的面积是__________（平方单位）．

【答案】10

【解析】

【分析】根据折叠的性质，可得∠C′BD与∠CBD的关系，根据矩形的性质，可得AD与BC的关系，根据平行线的性质，可得∠EDB与∠CBD的关系，根据勾股定理，可得AE的长，根据三角形面积的和差，可得答案．

【详解】设AE＝x，ED＝8−x，

由折叠，得∠C′BD＝∠CBD，

∵四边形ABCD为矩形，

∴AD∥BC，

∴∠EDB＝∠CBD，

∴∠EDB＝∠EBD，

∴ED＝BE＝8−x，

在Rt△ABE中，由勾股定理得AE2＋AB2＝BE2，

∴x2＋42＝（8−x）2，

解得x＝3，

∴S△EBD＝S△ABD−S△ABE＝×AB×AD−×AB×AE＝×4×8−×4×3＝10．

故答案为：10．

【点睛】本题考查了翻折变换的性质，矩形的性质，勾股定理的应用，熟练掌握折叠的性质是解题的关键．

15. 小明把如图所示的矩形纸板挂在墙上，玩飞镖游戏（每次飞镖均落在纸板上），则飞镖落在阴影区域的概率是_____．

【答案】

【解析】

【分析】根据概率的求法，找准两点：①全部等可能情况的总数；②符合条件的情况数目；二者的比值就是其发生的概率．

【详解】如图，根据矩形的性质易证矩形的对角线把矩形分成的四个三角形均为同底等高的三角形，故其面积相等，根据平行线的性质易证S1=S2，故阴影部分的面积占一份，

故针头扎在阴影区域的概率为．

16. 如图，在菱形ABCD中，过点C作CEBC交对角线BD 于点 E ，若ECD20 ，则ADB____________.

【答案】35°

【解析】

【分析】由已知条件可知：∠BCD=110°，根据菱形的性质即可求出ADB的度数.

【详解】∵CEBC，ECD20，

∴∠BCD=110°，

∵四边形ABCD菱形，∴∠BCD+∠ADC=180°，∠ADB=，

∴∠ADC=70°，∴∠ADB==35°，

【点睛】本题考查了菱形的性质，牢记菱形的性质是解题的关键.

17. 在平面直角坐标系中，规定把一个点先绕原点逆时针旋转，再作出它关于原点的对称点称为一次变换，已知点的坐标为，把点经过连续次这样的变换得到的点的坐标是______．

【答案】（0，2）

【解析】

【分析】分别求得第一、二、三……八次变换后的坐标，得到每8次循环一次，则2022÷8=252……6，即可求得结果．

【详解】解：由题意第一次旋转后的坐标为（，），

第二次旋转后的坐标为（0，-2），

第三次旋转后的坐标为（-，），

第四次旋转后的坐标为（2，0），

第五次旋转后的坐标为（-，-），

第六次旋转后的坐标为（0，2），

第七次旋转后的坐标为（，-），

第八次旋转后的坐标为（-2，0）

因为2022÷8=252……6，

所以把点A经过连续2022次这样的变换得到的点的坐标是（0，2），

故答案是：（0，2）．

【点睛】本题考查了旋转变换和中心对称变换，解题的关键是熟练掌握旋转性质和中心对称性质，探究变换重复规律．

18. 如图，在正方形中，是对角线上一点，且满足连接并延长交于点，连接，过点作于点，延长交于点在下列结论中：①；②；③；④，其中正确的结论有______填正确的序号

【答案】①②③

【解析】

【分析】先判断出，再判断≌得出，，再判断出≌从而得到正确，根据三角形的外角求出，得出正确；结合可得，根据即可得正确；连接，判断出得出错误．

【详解】解：是正方形的对角线，

，，

，

，

，

是线段的垂直平分线，，

在中，，

，

，

在和中，

，

≌，

，

，

在和中，

，

≌，

，，

，

，

，故正确；

，，

，

，

，

，故正确；

如图，连接，

是垂直平分线，

，

，

，

，

，

，

，，

，

是等腰直角三角形，

不垂直，

，

，

，故错误，

正确的是，

故答案为：．

【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，三角形的内角和和三角形外角的性质，解本题的关键是判断出，难点是作出辅助线．

三、解答题（本大题共10小题，共66分）

19. （1）计算：；

（2）当时，求分式的值．

【答案】（1）-1；（2）4

【解析】

【分析】（1）先化简乘方、绝对值、零次幂及算术平方根，然后计算加减即可得；

（2）将a的值直接代入计算即可

【详解】解：（1）原式

；

（2）当时，

．

【点睛】题目主要考查二次根式的化简，绝对值、零次幂及算术平方根，分式的化简求值等，熟练掌握各个运算法则是解题关键．

20. 如图，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标都在格点上，且与关于原点成中心对称，点坐标为．

（1）请直接写出的坐标______；并画出．

（2）是的边上一点，将平移后点的对称点，请画出平移后的．

（3）若和关于某一点成中心对称，则对称中心的坐标为______．

【答案】（1）（3，-4），答案见解析   

（2）答案见解析    （3）（1，-3）

【解析】

【分析】（1）直接利用旋转的性质得出对应点坐标连接即可；

（2）直接利用平移的性质得出对应点坐标连接即可；

（3）连接各对应点，进而得出对称中心的坐标．

【小问1详解】

解：由图可知，A的坐标是（-3，4），因为△ABC和△A1B1C1关于原点中心对称，所以A1的坐标是（3，-4），

根据关于O点成中心对称， 可知A1（3，-4），B1（4，-2），C1（2，1） 连接A1、B1、C1 即可，如下图：△A1B1C1即为所求；

【小问2详解】

由P(a，b)平移后的对应点为P'(a+2，b−6)，可知图形△ABC向右平移2个单位，再向下平移6个单位，可知对应点也向右平移2个单位，再向下平移6个单位，连接即可，得△A2B2C2；

【小问3详解】

连接A1A2，C1C2交点M即为对称中心，所以对称中心的坐标为（1，-3）．

【点睛】本题考查了图形的平移、中心对称的性质，解题的关键是正确得出对应点坐标．

21. 小亮与小明做投骰子（质地均匀的正方体）的实验与游戏．

（1）在实验中他们共做了50次试验，试验结果如下：

填空：此次实验中，“1点朝上”的频率是      ；

② 小亮说：“根据试验，出现1点朝上的概率最大．”他的说法正确吗？为什么？

（2）小明也做了大量的同一试验，并统计了“1点朝上”的次数，获得的数据如下表：

“1点朝上”的概率的估计值是      ．

【答案】（1）①0.2；②不正确；（2）0.166．

【解析】

【分析】（1）①利用频数除以总数=频率进而得出答案；
②利用频率与概率的区别进而得出答案；
（2）利用频率估计概率的方法得出概率的估计值．

【详解】(1)①此次实验中，“1点朝上”的频率是： 

故答案为0.2；

②不正确，

因为在一次实验中频率并不等于概率，只有当实验中试验次数很大时，频率才趋近于概率.

(2)根据图表中数据可得出：“1点朝上”的概率的估计值是0.166.

故答案为0.166.

【点睛】考查利用频率估计概率，正确理解频率与概率的区别与联系是解题的关键.

22. 某校八年级学生全部参加“初二生物地理会考”，从中抽取了部分学生的生物考试成绩，将他们的成绩进行统计后分为A、B、C、D四等级，并将统计结果绘制成如下的统计图，请结合图中所给的信息解答下列问题

（说明：测试成绩在总人数的前考生为A等级，前至前为B等级，前至前为C等级，以后为D等级）

（1）抽取了______名学生成绩；

（2）请把频数分布直方图补充完整；

（3）扇形统计图中A等级所在的扇形的圆心角度数是______；

（4）若测试成绩在总人数的前为合格，该校初二年级有名学生，求全年级生物合格的学生共约多少人．

【答案】（1）；（2）见解析；（3）；（4）人

【解析】

【分析】（1）根据B等级的人数除以占的百分比确定出学生总数即可；

（2）求出D等级的人数，补全频数分布直方图即可；

（3）求出A等级所占比例，乘以360°即可得到结果；

（4）由学生总数乘以90%即可得到结果．

【详解】解：（1）根据题意得：23÷46%＝50（名），

则抽取了50名学生成绩；

故答案为：50；

（2）D等级的学生有50﹣（10+23+12）＝5（名），

补全直方图，如图所示：

（3）根据题意得：×360°＝72°，

故答案为：72°；

（4）根据题意得：800×90%＝720（人），

则全年级生物合格的学生共约720人．

【点睛】此题考查了频数分布直方图，扇形统计图，以及用样本估计总体，读懂频数直方图和扇形统计图之间的联系是解题的关键.

23. 已知：如图，在△ABC中，AD是∠BAC的平分线，DE∥AC，DF∥AB．求证：四边形AEDF是菱形．

【答案】见解析

【解析】

【分析】先证明四边形AEDF是平行四边形，再根据角平分线的定义求出∠1=∠2，根据两直线平行，内错角相等求出∠2=∠3，然后求出∠1=∠3，根据等角对等边的性质可得AE=DE，然后根据邻边相等的平行四边形是菱形判定．

【详解】∵DE∥AC，DF∥AB，

∴四边形AEDF是平行四边形，

∵AD平分∠BAC，

∴∠1=∠2（角平分线的定义），

∵DE∥AC，

∴∠2=∠3（两直线平行，内错角相等），

∴∠1=∠3（等量代换），

∴AE=DE，

∴平行四边形AEDF是菱形．

【点睛】本题考查了菱形的判定，角平分线的定义，两直线平行，内错角相等的性质，熟记性质与判定方法是解题的关键．

24. 如图，点O是线段AB上的一点，OA=OC，OD平分∠AOC交AC于点D，OF平分∠COB，CF⊥OF于点F．

（1）求证：四边形CDOF是矩形；

（2）当∠AOC多少度时，四边形CDOF是正方形？并说明理由．

【答案】（1）证明见解析（2）当∠AOC=90°时，四边形CDOF是正方形，理由见解析

【解析】

【分析】（1）利用角平分线的性质、平角的定义可以求得∠DOF=90°；由等腰三角形的“三合一”的性质可推知OD⊥AC，即∠CDO=90°；根据已知条件“CF⊥OF”知∠CFO=90°；则三个角都是直角的四边形是矩形．

（2）当∠AOC=90°时，四边形CDOF是正方形；因为Rt△AOC的斜边上的中线OD等于斜边的一半，所以矩形的邻边OD=CD，所以矩形CDOF是正方形．

【详解】（1）证明：∵OD平分∠AOC，OF平分∠COB（已知），

∴∠AOC=2∠COD，∠COB=2∠COF．

∵∠AOC+∠BOC=180°，

∴2∠COD+2∠COF=180°．

∴∠COD+∠COF=90°．

∴∠DOF=90°．

∵OA=OC，OD平分∠AOC（已知）．

∴OD⊥AC，AD=DC

 ∴∠CDO=90°．

∵CF⊥OF，

∴∠CFO=90°．

∴四边形CDOF是矩形．

（2）解：当∠AOC=90°时，四边形CDOF是正方形．理由如下：

∵∠AOC=90°，AD=DC，

∴OD=DC．

又由（1）知四边形CDOF是矩形，则四边形CDOF是正方形．

因此，当∠AOC=90°时，四边形CDOF是正方形．

25. 如图，O为∠BAC内一点，E、F、G、H分别为AB，AC，OC，OB的中点．

（1）求证：四边形EFGH为平行四边形；

（2）当AB＝AC，AO平分∠BAC时，求证：四边形EFGH为矩形．

【答案】（1）见解析；（2）见解析．

【解析】

【分析】（1）根据三角形中位线定理推知EH∥AO∥FG，EH=FG=AO，则四边形EFGH是平行四边形；
（2）根据平行线的性质和等腰△AEF的性质推知：∠HEF=∠ADE=90°，则四边形EFGH为矩形．

【详解】解：（1）∵EH是△ABO的中位线，

∴EH∥AO，．

同理，FG是△ACO的中位线，

∴FG∥OA，．

∴EH∥FG，EH＝FG，

∴四边形EFGH是平行四边形．

（2）设OA与EF的交点为D，

∵AB＝AC，E、F分别为AB，AC的中点，

∴AE＝AF．

∵AO平分∠BAC，

∴AD⊥EF．

∵EH∥AD，

∴∠HEF＝∠ADE＝90°，

∴四边形EFGH为矩形．

【点睛】本题考查了中点四边形，平行四边形的判定与性质、三角形中位线定理等知识；熟练掌握三角形中位线定理和平行四边形的判定是解题的关键．

26. （1）操作发现：如图1，在矩形ABCD中，E是BC的中点，将△ABE沿AE折叠后得到△AFE，点F在矩形ABCD内部，延长AF交CD于点G．猜想线段GF与GC有何数量关系？并证明你的结论．

（2）简单应用：在（1）中，如果AB＝4，AD＝6，求DG的长；

（3）类比探究：如图2，将（1）中的矩形ABCD改为平行四边形，其它条件不变，（1）中的结论是否仍然成立？请说明理由．

【答案】（1）GF＝GC，证明见解析；（2）；（3）（1）中的结论仍然成立，理由见解析.

【解析】

【分析】（1）连接GE，根据点E是BC的中点以及翻折的性质可以求出BE=EF=EC，然后利用“HL”证明△GFE和△GCE全等，根据全等三角形对应边相等即可得证；

（2）设GC＝x，则AG＝4+x，DG＝4﹣x，利用Rt△ADG中的勾股定理即可求得GC，进而解题.

（3）利用平行四边形的性质，首先得出∠C=180°-∠D，∠EFG=180°-∠AFE=180°-∠B=180°-∠D，进而得出∠ECG=∠EFG，再利用EF=EC，得出∠EFC=∠ECF，即可得出答案．

【详解】解：（1）GF＝GC．

理由如下：如图1，连接GE，

∵E是BC的中点，

∴BE＝EC，

∵△ABE沿AE折叠后得到△AFE，

∴BE＝EF，

∴EF＝EC，

∵在矩形ABCD中，

∴∠C＝∠B＝90°，

∴∠EFG＝90°，

∵在Rt△GFE和Rt△GCE中，

，

∴Rt△GFE≌Rt△GCE（HL），

∴GF＝GC；

（2）设GC＝x，则AG＝4+x，DG＝4﹣x，

在Rt△ADG中，62+（4﹣x）2＝（4+x）2，

解得x＝．

∴GC＝，DG＝4﹣＝；

（3）（1）中的结论仍然成立．

证明：如图2，连接FC，

∵E是BC的中点，

∴BE＝CE，

∵将△ABE沿AE折叠后得到△AFE，

∴BE＝EF，∠B＝∠AFE，

∴EF＝EC，

∴∠EFC＝∠ECF，

∵矩形ABCD为平行四边形，

∴∠B＝∠D，

∵∠ECD＝180°﹣∠D，∠EFG＝180°﹣∠AFE＝180°﹣∠B＝180°﹣∠D，

∴∠ECD＝∠EFG，

∴∠GFC＝∠GFE﹣∠EFC＝∠ECG﹣∠ECF＝∠GCF，

∴∠GFC＝∠GCF，

∴FG＝CG；

即（1）中结论仍然成立．

【点睛】本题考查了矩形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理的应用，翻折的性质，熟记性质，找出三角形全等的条件EF=EC，∠EFC=∠ECF是解题的关键．

27. 定义：我们把对角线互相垂直的四边形叫做和美四边形，对角线交点称为和美四边形中心．

（1）写出一种你学过的和美四边形________；

（2）顺次连接和美四边形四边中点所得四边形是________

A．矩形         B．菱形       C．正方形           D．无法确定

（3）如图1，点O是和美四边形的中心，分别是边的中点，连接，记四边形的面积为，用等式表示的数量关系（无需说明理由）

（4）如图2，四边形是和美四边形，若，求的长．

【答案】（1）正方形；（2）A；（3）S1+S3＝S2+S4；（4）

【解析】

【分析】（1）根据正方形的对角线互相垂直解答；

（2）根据矩形的判定定理解答；

（3）根据三角形的中线把三角形分为面积相等的两部分解答；

（4）根据和美四边形的定义、勾股定理计算即可．

【详解】解：（1）正方形是学过的和美四边形，

故答案为：正方形；

（2）顺次连接和美四边形四边中点所得四边形是矩形，

故选：A．

（3）由和美四边形的定义可知，AC⊥BD，

则∠AOB＝∠BOC＝∠COD＝∠DOA＝90°，

又E、F、G、H分别是边AB、BC、CD、DA的中点，

∴△AOE的面积＝△BOE的面积，

△BOF的面积＝△COF的面积，

△COG的面积＝△DOG的面积，

△DOH的面积＝△AOH的面积，

∴S1+S3＝△AOE的面积+△COF的面积+△COG的面积+△AOH的面积＝S2+S4；

（4）如图2，连接AC、BD交于点O，则AC⊥BD，

∵在Rt△AOB中，AO2＝AB2-BO2，Rt△DOC中，DO2＝DC2-CO2，AB＝3，BC＝2，CD＝4，

∴可得AD2＝AO2+DO2＝AB2-BO2+DC2-CO2＝AB2+DC2-BC2＝32+42-22＝21，

即可得AD=．

【点睛】本题考查的是和美四边形的定义、矩形的判定、勾股定理的应用，正确理解和美四边形的定义、掌握矩形的判定定理是解题的关键．

28. 知识再现：已知，如图，四边形是正方形，点、分别在边、上，连接、、，，延长至使，连接，根据三角形全等的知识，我们可以证明．

（1）知识探究：在图中，作，垂足为点，猜想与有什么数量关系？并证明；

（2）知识应用：如图，已知，于点，且，，则的长为______；

（3）知识拓展：如图，四边形是正方形，是边的中点，为边上一点，，，求的长．

【答案】（1）相等，见解析   

（2）3    （3）8

【解析】

【分析】（1）利用全等三角形的判定和性质可得≌，，，继续利用全等三角形的判定及性质及角平分线的性质即可证明；

（2）由翻折的性质及正方形的判定和性质得出四边形为正方形，设，利用勾股定理求解即可得出结果；

（3）连接，过点作，设，则，利用全等三角形的判定和性质可得≌，设，结合勾股定理求解即可得出结果．

【小问1详解】

证明：∵四边形ABCD为正方形，

∴，，

，

≌，

，，

，

，

，

，

，，

≌，

，

∴AM平分∠GMN，

，，

；

【小问2详解】

如图所示，将和翻折，延长、交于点，

∵翻折得到，

，，，

∵翻折得到，

，，

，

，

四边形为矩形，

，

四边形为正方形，

设，

，，，

，

解得，

，

故答案为：．

【小问3详解】

如图所示，连接，过点A作，

，

设，则，

，

，

，

，，

，

，

≌，

，点为边上的中点，

，

设，

则，，

，

解得，

．

【点睛】题目主要考查全等三角形的判定和性质，翻折的性质，勾股定理解三角形，正方形的判定及性质等，理解题意，综合运用这些知识点是解题关键．