扬州市仪征市实验中学东区校2021-2022学年八年级3月月考数学试题（含解析）

扬州市仪征市实验中学东区校2021-2022学年八年级3月月考

数学试题

时间：120分钟       总分：150分

一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24.0分）

1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ）

A.  B.  C.  D.

2. 今年我市有近4万名考生参加中考，为了解这些考生的数学成绩，从中抽取1000名考生的数学成绩进行统计解析，以下说法正确的是(      )

A. 这1000名考生是总体的一个样本 B. 近4万名考生是总体

C. 每位考生的数学成绩是个体 D. 1000名学生是样本容量

3. 下列说法中，正确的是（   ）

A. 某种彩票中奖概率为10%是指买十张一定有一张中奖

B. “打开电视，正在播放最强大脑节目”必然事件

C. 神舟飞船发射前需要对零部件进行抽样调查

D. 了解某种炮弹杀伤半径适合抽样调查

4. 下列说法正确的是（　　）

A. 对角线互相垂直的四边形是菱形 B. 矩形的对角线互相垂直

C. 一组对边平行的四边形是平行四边形 D. 四边相等的四边形是菱形

5. 下列分式是最简分式的是（　　）

A.  B.  C.  D.

6. 如图，在▱ABCD中，BF平分∠ABC，交AD于点F，CE平分∠BCD，交AD于点E，若AB＝6，EF＝2，则BC的长为(　　)

A. 8 B. 10 C. 12 D. 14

7. 下列运算正确的是（    ）

A.  B.  C.  D.

8. 如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，AC＝5，点D在BC上，以AC为对角线的所有ADCE中，DE最小的值是（    ）

A. 3 B. 4 C. 2 D. 1

二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．）

9. 在名男生和名女生的班级，随机抽签确定一名学生代表，则_____做代表的可能性较大（填写“男生”或“女生”）．

10. 用反证法证明“a＞b”时，应先假设________

11. 若分式的值为0，则的值为_______．

12. 分式，，－的最简公分母是_________．

13. 我们把一个样本的40个数据分成4组，其中第1、2、3组的频数分别为6、12、14，则第4组的频率为______．

14. 如图，矩形ABCD的两条线段交于点O，过点O作AC的垂线EF，分别交AD、BC于点E、F，连接CE，已知△CDE的周长为24cm，则矩形ABCD的周长是______cm．

15. 如图，在菱形ABCD中，AB＝5，AC＝6，过点D作DE⊥BA，交BA的延长线于点E，则线段DE的长为___．

16. 若，则代数式的值等于________．

17. 将将正方形A一个顶点与正方形B的对角线交点重合（如图1），则阴影部分面积是正方形A面积的，将正方形B的一个顶点与正方形A的对角线交点重合（如图2），则阴影部分面积是正方形B面积的________．

18. 如图，在矩形纸片中，，折叠纸片，使点刚好落在线段上，且折痕分别于相交，设折叠后点的对应点分别为点，折痕分别于相交于点，则线段的取值范围是__________.

三、解答题（本大题共有10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

19. 计算

（1）

（2）

20. 正方形网格中（网格中的每个小正方形边长是1），△ABC的顶点均在格点上，请在所给的直角坐标系中解答下列问题：

（1）作出△ABC绕点A逆时针旋转90°的△A1B1C1；

（2）作出△ABC关于原点O成中心对称的△A2B2C2；

（3）点B1的坐标为　　，点C2的坐标为　　．

21. 在一个不透明的口袋里装有若干个相同的红球，为了用估计袋中红球的数量，八（1）班学生在数学实验室分组做摸球实验：每组先将10个与红球大小形状完全相同的白球装入袋中，搅匀后从中随机摸出一个球并记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是这次活动统计汇总各小组数据后获得的全班数据统计表：

（1）按表格数据格式，表中的______；______；

（2）请估计：当次数s很大时，摸到白球的频率将会接近______（精确到0.1）；

（3）请推算：摸到红球的概率是_______（精确到0.1）；

（4）试估算：这一个不透明的口袋中红球有______只．

22. 为了解某区初中生一周课外阅读时长的情况，随机抽取部分中学生进行调查，根据调查结果，将阅读时长分为四类：2小时以内，2～4小时（含2小时），4～6小时（含4小时），6小时及以上，并绘制了如图所示不完整的统计图．

（1）本次调查共随机抽取了        名学生；

（2）补全条形统计图；

（3）扇形统计图中，课外阅读时长“4～6小时”对应圆心角度数为        °；

（4）该区共有9000名初中生，估计该地区中学生一周课外阅读时长不少于4小时的人数．

23. 已知，如图，在中，点、分别在、上，且．求证：四边形是平行四边形．

24. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，延长CD至E，且CD＝DE．

（1）求证：AC＝AE；

（2）若DE＝6，AD＝8，求△BOC的周长．

25. 如图，在四边形中，AB//DC，，对角线，交于点，平分，过点作交延长线于点，连接．

（1）求证：四边形是菱形；

（2）若，，求的长．

26. 已知：

（1）若，求m的值；

（2）当a取哪些整数时，分式B的值为整数；

（3）若a＞0，比较A与B的大小关系．

27. 定义：有一组对边相等且这一组对边所在直线互相垂直的凸四边形叫做“等垂四边形”．

（1）如图①，四边形ABCD与四边形AEFG都是正方形，135°＜∠AEB＜180°，求证：四边形BEGD是“等垂四边形”；

（2）如图②，四边形ABCD是“等垂四边形”，AD≠BC，连接BD，点E，F，G分别是AD，BD，BC的中点，连接EG，FG，EF．试判定△EFG的形状，并证明你的结论；

（3）如图③，四边形ABCD是“等垂四边形”，AD＝4，BC＝8，请直接写出边AB长的最小值．

28. 如图，正方形OABC中，O为坐标原点，点A、点C分别落在y轴、x轴上，点B坐标为（﹣4，4），点D为x轴上任意一点，将线段DA绕点D逆时针旋转90°，得对应线段为DE，作直线EC交y轴于点F．

（1）如图（1），当点D为OC的中点时，求点E的坐标；

（2）如图（2），当点D在边OC上任意移动时，猜想：点F的位置是否发生变化？若不变，求出点F的坐标，若改变，请说明理由；

（3）如图（3），当点D在x轴的正半轴上移动时，请在图（3）画出图形（不保留作图痕迹），并直接回答点F的位置与（2）中猜想的结论是否一致．

答：_　     　（填“一致”或“不一致”）．

答案与解析

一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24.0分）

1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据轴对称图形和中心对称图形的定义判断即可．如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．

【详解】解：A、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；

B、不是轴对称图形，也不是中心对称图形，不符合题意；

C、是轴对称图形，不是中心对称图形，不符合题意；

D、既是轴对称图形，又是中心对称图形，符合题意；

故选：D．

【点睛】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的识别，解题的关键是利用轴对称图形和中心对称图形的定义进行判断．

2. 今年我市有近4万名考生参加中考，为了解这些考生的数学成绩，从中抽取1000名考生的数学成绩进行统计解析，以下说法正确的是(      )

A. 这1000名考生是总体的一个样本 B. 近4万名考生是总体

C. 每位考生的数学成绩是个体 D. 1000名学生是样本容量

【答案】C

【解析】

【分析】根据总体、个体、样本、样本容量的定义对各选项判断即可．

【详解】解：A、1000名考生的数学成绩是样本，故本选项错误；

B、4万名考生的数学成绩是总体，故本选项错误；

C、每位考生的数学成绩是个体，故本选项正确；

D、1000是样本容量，故本选项错误．

故选C．

3. 下列说法中，正确的是（   ）

A. 某种彩票中奖概率为10%是指买十张一定有一张中奖

B. “打开电视，正在播放最强大脑节目”是必然事件

C. 神舟飞船发射前需要对零部件进行抽样调查

D. 了解某种炮弹杀伤半径适合抽样调查

【答案】D

【解析】

【分析】根据随机事件的定义，概率的定义和调查的方法及使用情况解题即可．

【详解】A项概率是指事件发生的几率，并不是说10%就一定是十张中必有一张，故此项错误，

B项该事件属于随机事件，故此项错误，

C项发射飞船应该对零部件进行全面检查，故此项错误，

D项抽样调查，故此项正确；

故此题选 ：D．

【点睛】此题考查了概率和随机事件的定义及事件调查的方法，难度一般．

4. 下列说法正确的是（　　）

A. 对角线互相垂直的四边形是菱形 B. 矩形的对角线互相垂直

C. 一组对边平行的四边形是平行四边形 D. 四边相等的四边形是菱形

【答案】D

【解析】

【详解】解：选项A，菱形的对角线互相垂直，当对角线互相垂直的四边形不一定是菱形，故不正确；

选项B，矩形的对角线相等但不一定垂直，故不正确；

选项C，一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，故不正确；

选项D，四边相等的四边形是菱形．

故选D．

5. 下列分式是最简分式的是（　　）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】利用最简分式的定义判断即可．

【详解】A.原式=-=-1，不是最简分式；
B.原式为最简分式；
C.原式=，不是最简分式；
D.原式=，不是最简分式.
故选B．

【点睛】本题考查了最简分式，熟练掌握最简分式的定义是解题的关键．

6. 如图，在▱ABCD中，BF平分∠ABC，交AD于点F，CE平分∠BCD，交AD于点E，若AB＝6，EF＝2，则BC的长为(　　)

A. 8 B. 10 C. 12 D. 14

【答案】B

【解析】

【详解】试题分析：根据平行四边形的性质可知AB=CD，AD∥BC，AD=BC，然后根据平行线的性质和角平分线的性质可知AB=AF，DE=CD，因此可知AF+DE=AD+EF=2AB=12，解得AD=BC=12-2=10.

故选B.

点睛：此题主要考查了平行四边形的性质和等腰三角形的性质，解题关键是把所求线段转化为题目中已知的线段，根据等量代换可求解.

7. 下列运算正确的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】D

【解析】

【分析】根据分式的性质，分别化简判断即可．

【详解】解：A.

B.

C.

D.

故选D．

【点睛】本题考查了分式的变形，熟练掌握分式的性质是解题的关键．

8. 如图，在Rt△ABC中，∠B＝90°，AB＝3，AC＝5，点D在BC上，以AC为对角线的所有ADCE中，DE最小的值是（    ）

A. 3 B. 4 C. 2 D. 1

【答案】A

【解析】

【分析】由平行四边形的对角线互相平分、垂线段最短知，当OD⊥BC时，线段DE取最小值，然后证明四边形ABDE是平行四边形，根据平行四边形的性质得到DE．

【详解】解：∵在Rt△ABC中，∠B＝90°，

∴BC⊥AB，

∵四边形ADCE是平行四边形，

∴OD＝OE，OA＝OC，CD∥AE，

∴当OD取最小值时，线段DE最短，此时OD⊥BC，

∴OD∥AB，

∵BD∥AE，

∴四边形ABDE是平行四边形，

∴DE＝AB＝3，

故选：A．

【点睛】本题考查了平行四边形的性质和判定以及垂线段最短等知识；熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．

二、填空题（本大题共10小题，每小题3分，共30分．）

9. 在名男生和名女生的班级，随机抽签确定一名学生代表，则_____做代表的可能性较大（填写“男生”或“女生”）．

【答案】男生

【解析】

【分析】依题意，分别求出男生作代表和女生做代表的概率，比较之即可求得答案．

【详解】选男生做代表的概率为：，

选女生作代表的概率为：，

．

男生做代表的可能性较大．

故答案为：男生．

【点睛】本题考查了概率的应用，掌握概率的简单计算是解题的关键．

10. 用反证法证明“a＞b”时，应先假设________

【答案】a≤b

【解析】

【详解】分析：找出原命题的方面即可得出假设的条件．

详解：a＞b反面就是：a≤b．

点睛：本题主要考查的是反证法，属于基础题型．找到原命题的反面是解决这个问题的关键．

11. 若分式的值为0，则的值为_______．

【答案】-2

【解析】

【分析】已知分式的值为0，可得分子为0，分母不为0，即可求解．

【详解】∵分式的值为0

∴=0

∴

解得x=-2

故答案为：-2

【点睛】本题考查了分式的值为零的条件，分式的值为零需要满足两个条件，分母的值不为零，分子的值为零．

12. 分式，，－的最简公分母是_________．

【答案】

【解析】

【分析】先根据最简公分母定义求解即可．

【详解】解：三个分式的分母分别为：2a，，，

∴最简公分母是，

故答案为：．

【点睛】此题考查的是最简公分母的确定，掌握最简公分母的定义是解决此题的关键．

13. 我们把一个样本的40个数据分成4组，其中第1、2、3组的频数分别为6、12、14，则第4组的频率为______．

【答案】0.2##

【解析】

【分析】首先计算出第4组的频数，然后再计算出第4组的频率即可．

【详解】解：第4组的频数为：40-6-12-14=8，
频率为：=0.2，
故答案为：0.2．

【点睛】此题主要考查了频数与频率，关键是掌握频率=频数÷总数．

14. 如图，矩形ABCD的两条线段交于点O，过点O作AC的垂线EF，分别交AD、BC于点E、F，连接CE，已知△CDE的周长为24cm，则矩形ABCD的周长是______cm．

【答案】

【解析】

【详解】试题分析：利用FE垂直平分AC可得到AE=CE，那么△CDE的周长就可以表示为AD+CD，也就求出了矩形的周长．

解：∵OA=OC，EF⊥AC，

∴AE=CE，

∵矩形ABCD的周长=2（AE+DE+CD），

∵DE+CD+CE=24，∴矩形ABCD的周长=2（AE+DE+CD）=48cm．

考点：矩形的性质．

15. 如图，在菱形ABCD中，AB＝5，AC＝6，过点D作DE⊥BA，交BA的延长线于点E，则线段DE的长为___．

【答案】

【解析】

【分析】设对角线的交点为O，根据菱形的性质和勾股定理，计算AO=3，OB=4，根据菱形的面积=底×高=对角线乘积的一半计算即可．

【详解】如图，设对角线的交点为O，

∵菱形ABCD中，AB＝5，AC＝6，

∴AC⊥BD，AO=AC=3，OB=BD==4，

∴BD=8，

根据菱形的面积公式，得 AB×DE=AC×BD，

∴5×DE=×6×8，

∴DE=，

故答案为：．

【点睛】本题考查了菱形的性质，勾股定理，菱形的面积，熟练运用菱形的性质，面积公式，灵活运用勾股定理是解题的关键．

16. 若，则代数式的值等于________．

【答案】2021

【解析】

【分析】先根据得出，然后对代数式进行通分得到，然后整体代入即可得出答案．

【详解】∵

∴．

，

∴=．

故答案为：2021．

【点睛】本题主要考查分式的运算，掌握整体代入法是解题的关键．

17. 将将正方形A一个顶点与正方形B的对角线交点重合（如图1），则阴影部分面积是正方形A面积的，将正方形B的一个顶点与正方形A的对角线交点重合（如图2），则阴影部分面积是正方形B面积的________．

【答案】

【解析】

【分析】根据图①得出，将图②进行字母标注，然后利用全等三角形的判定和性质得出∆COE∆DOF，利用面积之间的关系即可得出结果．

【详解】解：设正方形A的面积为，正方形B的面积为，

在图1中，，，

∴，

在图2中，进行标注，如图所示：

∵∠COD=∠COE+∠EOD=90°，∠EOF=∠DOF+∠EOD=90°，

∴∠COE=∠DOF，

在∆COE与∆DOF中，

，

∴∆COE∆DOF，

∴，

∴，

故答案为：．

【点睛】题目主要考查正方形的性质及全等三角形的判定和性质，理解题意，找出全等三角形并证明是解题关键．

18. 如图，在矩形纸片中，，折叠纸片，使点刚好落在线段上，且折痕分别于相交，设折叠后点的对应点分别为点，折痕分别于相交于点，则线段的取值范围是__________.

【答案】

【解析】

【分析】由四边形ABCD是矩形，根据折叠的性质，易证得△EFG是等腰三角形，即可得GF=EC，又由GF∥EC，即可得四边形CEGF为平行四边形，根据邻边相等的平行四边形是菱形，即可得四边形BGEF为菱形，如图2，当G与A重合时，CE取最大值，由折叠的性质得CD=DG，∠CDE=∠GDE=45°，推出四边形CEGD是矩形，根据矩形的性质即可得到CE=CD=AB=3；如图1，当F与D重合时，CE取最小值，由折叠的性质得AE=CE，根据勾股定理即可得到结论．

【详解】证明：∵四边形ABCD是矩形，

∴AD∥BC，
∴∠GFE=∠FEC，
∵图形翻折后点G与点C重合，EF为折线，
∴∠GEF=∠FEC，
∴∠GFE=∠FEG，
∴GF=GE，
∵图形翻折后BC与GE完全重合，
∴BE=EC，

∴GF=EC，
∴四边形CEGF为平行四边形，
∴四边形CEGF为菱形；
∴CE=CD=AB=3；
如图2，当G与A重合时，CE取最大值，
由折叠的性质得AE=CE，
∵∠B=90°，
∴AE2=AB2+BE2，即CE2=32+（9-CE）2，
∴CE=5，
∴线段CE的取值范围3≤CE≤5．

故答案为：3≤CE≤5．

【点睛】此题考查翻折变换-折叠问题，菱形的判定，线段的最值问题，矩形的性质，勾股定理，正确的作出图形是解题的关键．

三、解答题（本大题共有10小题，共96分．请在答题卡指定区域内作答，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

19 计算

（1）

（2）

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）直接进行同分母分式的减法，然后约分即可；

（2）先通分，然后计算分式的减法，最后约分求解即可．

【小问1详解】

解：原式

；

【小问2详解】

原式

．

【点睛】题目主要考查同分母分式及异分母分式的减法运算，熟练掌握运算法则是解题关键．

20. 正方形网格中（网格中的每个小正方形边长是1），△ABC的顶点均在格点上，请在所给的直角坐标系中解答下列问题：

（1）作出△ABC绕点A逆时针旋转90°的△A1B1C1；

（2）作出△ABC关于原点O成中心对称的△A2B2C2；

（3）点B1的坐标为　　，点C2的坐标为　　．

【答案】（1）见解析    （2）见解析   

（3），

【解析】

【分析】（1）根据网格结构找出点A、B、C绕点A逆时针旋转90°后的点、、的位置，然后顺次连接即可，

（2）找出点A、B、C关于原点O成中心对称的点、、的位置，然后顺次连接即可；

（3）根据平面直角坐标系写出点、的坐标．

【小问1详解】

解：如图所示，

【小问2详解】

解：如图所示；

【小问3详解】

根据坐标系可得：

故答案为：，

【点睛】本题考查了利用旋转变换作图，熟练掌握网格结构准确找出对应点的位置是解题的关键．

21. 在一个不透明的口袋里装有若干个相同的红球，为了用估计袋中红球的数量，八（1）班学生在数学实验室分组做摸球实验：每组先将10个与红球大小形状完全相同的白球装入袋中，搅匀后从中随机摸出一个球并记下颜色，再把它放回袋中，不断重复．下表是这次活动统计汇总各小组数据后获得的全班数据统计表：

（1）按表格数据格式，表中的______；______；

（2）请估计：当次数s很大时，摸到白球的频率将会接近______（精确到0.1）；

（3）请推算：摸到红球的概率是_______（精确到0.1）；

（4）试估算：这一个不透明的口袋中红球有______只．

【答案】（1）123；0.404；（2）0.40；（3）0.6；（4）15．

【解析】

【分析】（1）根据频率=频数÷样本总数分别求得a、b的值即可；

（2）从表中的统计数据可知，摸到白球的频率稳定在0.4左右；

（3）先利用频率估计概率可得摸到白球的概率，再利用1减去摸到白球的概率即可得；

（4）根据红球的概率公式得到相应方程求解即可．

【详解】解：（1），；

（2）当次数s很大时，摸到白球的频率将会接近0.40；

（3）由题意得：摸到白球的概率为0.4，

则摸到红球的概率是；

（4）设红球有x个，

根据题意得：，

解得：，

经检验，x=15是所列分式方程的解，
 

则口袋中红球有15只；
 

故答案为：123，0.404；0.4；0.6；15．

【点睛】本题考查利用频率估计概率，大量反复试验下频率稳定值即概率，用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比，组成整体的几部分的概率之和为1．

22. 为了解某区初中生一周课外阅读时长的情况，随机抽取部分中学生进行调查，根据调查结果，将阅读时长分为四类：2小时以内，2～4小时（含2小时），4～6小时（含4小时），6小时及以上，并绘制了如图所示不完整的统计图．

（1）本次调查共随机抽取了        名学生；

（2）补全条形统计图；

（3）扇形统计图中，课外阅读时长“4～6小时”对应的圆心角度数为        °；

（4）该区共有9000名初中生，估计该地区中学生一周课外阅读时长不少于4小时的人数．

【答案】（1）200；    （2）见解析；    （3）144；    （4）5850人

【解析】

【分析】（1）用阅读时长在“6小时及以上”的人数除以对应百分比即可计算；

（2）先根据统计图中的数据求出课外阅读时长在“2~4小时”和“4~6小时”的人数，然后补全条形统计图即可；

（3）用360°乘以课外阅读时长“4～6小时”对应的百分比即可求出；

（4）用初中生总数乘以一周课外阅读时长不少于4小时的百分比即可．

【小问1详解】

解：本次调查共随机抽取了：50÷25%=200（名），

故答案为：200；

【小问2详解】

课外阅读时长“2~4小时”的有：200×20%=40（人），

课外阅读时长“4~6小时”的有：200-30-40-50=80（人），

故条形统计图如下：

；

【小问3详解】

阅读时长在“2小时以内”的人数所占的百分比为：30÷200×100%=15%，

课外阅读时长“4~6小时”对应圆心角度数为：360°×（1-20%-25%-15%）=144°，

故答案为：144；

【小问4详解】

9000×（1-20%-15%）=5850（人）．

【点睛】本题考查了扇形统计图和条形统计图的结合，样本估计总体等，解题的关键是由图表获取相关信息．

23. 已知，如图，在中，点、分别在、上，且．求证：四边形是平行四边形．

【答案】见解析

【解析】

【分析】由平行四边形的性质得出，，推出，即可得出结论．

【详解】证明：四边形是平行四边形，

，，

，

，

又，

四边形是平行四边形．

【点睛】本题考查了平行四边形的判定与性质，熟练掌握平行四边形的判定与性质是解题的关键．

24. 如图，在矩形ABCD中，对角线AC、BD交于点O，延长CD至E，且CD＝DE．

（1）求证：AC＝AE；

（2）若DE＝6，AD＝8，求△BOC的周长．

【答案】（1）见解析    （2）18

【解析】

【分析】（1）利用矩形对角线相等，一组对边平行且相等是平行四边形两个知识点即可证明．

（2）根据矩形的性质得出BO=OD=OC=OA，∠ADE=90°，BC=AD=8，再由勾股定理得出AE，然后求解即可．

【小问1详解】

证明：∵四边形ABCD是矩形，

∴AB=DC，ABDC，AC=BD，

又∵CD=DE，

∴AB=DE，ABDE，

∴四边形ABDE是平行四边形，

∴AE=BD，

∴AC=AE；

【小问2详解】

∵四边形ABCD是矩形，

∴BO=OD=OC=OA，∠ADE=90°，BC=AD=8，

∴AE=，

∴BD=AE=10，

∴△BOC的周长为：BC+BO+CO=BC+BD=8+10=18．

【点睛】本题考查矩形的性质特点，勾股定理，平行四边形的判定和性质等，理解题意，根据矩形对角线性质求解是解题关键．

25. 如图，在四边形中，AB//DC，，对角线，交于点，平分，过点作交的延长线于点，连接．

（1）求证：四边形是菱形；

（2）若，，求的长．

【答案】（1）证明见解析；（2）OE=2．

【解析】

【分析】（1）根据一组对边相等的平行四边形是菱形进行判定即可．

（2）根据菱形的性质和勾股定理求出，根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可求解．

【详解】（1）证明：∵AB//CD，

∴，

∵平分，

∴，

∴，

∴，

又∵，

∴，

又∵∥，

∴四边形是平行四边形，

又∵，

∴是菱形．

（2）解：∵四边形是菱形，对角线、交于点，

∴，，，

∴，

在Rt△AOB中，，

∴，

∵，

∴，

在Rt△AEC中，，中点，

∴．

【点睛】本题考查了平行四边形的性质和判定，菱形的判定与性质，直角三角形的性质，勾股定理等，熟练掌握菱形的判定方法以及直角三角形斜边的中线等于斜边的一半是解题的关键．

26. 已知：

（1）若，求m的值；

（2）当a取哪些整数时，分式B的值为整数；

（3）若a＞0，比较A与B的大小关系．

【答案】（1）m=1;（2）—3或—5;（3）A＜B.

【解析】

【详解】试题分析: （1）根据分式的值相等，可得关于m的方程，根据解方程，可得答案；

（2）根据拆项法，可得1-，根据是整数，可得a的值；

（3）根据作差法，可得答案．

试题解析:

(1)由，

得 ，

2−m=1，

解得m=1；

(2)B=，

∴当a+4=±1时B为整数

a=−3，a=−5.

(3)当a>0时,A−B=-<0，

A<B.

27. 定义：有一组对边相等且这一组对边所在直线互相垂直的凸四边形叫做“等垂四边形”．

（1）如图①，四边形ABCD与四边形AEFG都是正方形，135°＜∠AEB＜180°，求证：四边形BEGD是“等垂四边形”；

（2）如图②，四边形ABCD是“等垂四边形”，AD≠BC，连接BD，点E，F，G分别是AD，BD，BC的中点，连接EG，FG，EF．试判定△EFG的形状，并证明你的结论；

（3）如图③，四边形ABCD是“等垂四边形”，AD＝4，BC＝8，请直接写出边AB长的最小值．

【答案】（1）证明见解析；（2）△EFG是等腰直角三角形；证明见解析； （3）AB最小值为．

【解析】

【分析】延长BE，DG交于点H，先证△ABE≌△ADG，得BE=DG，∠ABE=∠ADG．结合∠ABD+∠ADB=90°，知∠ABE+∠EBD+∠ADB=∠DBE+∠ADB+∠ADG=90°，即可得∠BHD=90°．从而得证；
（2）延长BA，CD交于点H，由四边形ABCD是“等垂四边形”，AD≠BC知AB⊥CD，AB=CD，从而得∠HBC+∠HCB=90°，根据三个中点知EF＝AB，GF＝CD，EF∥AB，GF∥DC，据此得∠BGF=∠C，EFD=∠HBD，EF=GF．由∠EFG=∠EFD+∠DFG=∠ABD+∠DBC+∠FGB=∠ABD+∠DBC+∠C=∠HBC+∠HCB=90°可得答案；

（3）延长BA，CD交于点H，分别取AD，BC的中点E，F．连接HE，EF，HF，由EF≥HF−HE＝BC−AD＝4−2＝2然后结合（2）可知AB＝EF≥2可得答案．

【详解】解：（1）如图①，延长BE，DG交于点H，

∵四边形ABCD与四边形AEFG都为正方形，
∴AB=AD，AE=AG，∠BAD=∠EAG=90°．
∴∠BAE=∠DAG．
∴△ABE≌△ADG（SAS）．
∴BE=DG，∠ABE=∠ADG．
∵∠ABD+∠ADB=90°，
∴∠ABE+∠EBD+∠ADB=∠DBE+∠ADB+∠ADG=90°，
即∠EBD+∠BDG=90°，
∴∠BHD=90°．
∴BE⊥DG．
又∵BE=DG，
∴四边形BEGD是“等垂四边形”；

（2）△EFG是等腰直角三角形．
理由如下：如图②，延长BA，CD交于点H，

∵四边形ABCD是“等垂四边形”，AD≠BC，
∴AB⊥CD，AB=CD，
∴∠HBC+∠HCB=90°
∵点E，F，G分别是AD，BC，BD的中点，
∴EF＝AB，GF＝CD，EF∥AB，GF∥DC，
∴∠BGF=∠C，∠EFD=∠HBD，EF=GF，
∴∠EFG=∠EFD+∠DFG=∠ABD+∠DBC+∠FGB=∠ABD+∠DBC+∠C=∠HBC+∠HCB=90°．
∴△EFG是等腰直角三角形；

（3）延长BA，CD交于点H，分别取AD，BC的中点E，F．连接HE，EF，HF，

则EF≥HF−HE＝BC−AD＝4−2＝2，
由（2）可知AB＝EF≥2，
∴AB最小值为．

【点睛】本题是四边形的综合问题，解题的关键是掌握正方形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形中位线定理及等腰直角三角形的性质等知识点．

28. 如图，正方形OABC中，O为坐标原点，点A、点C分别落在y轴、x轴上，点B坐标为（﹣4，4），点D为x轴上任意一点，将线段DA绕点D逆时针旋转90°，得对应线段为DE，作直线EC交y轴于点F．

（1）如图（1），当点D为OC的中点时，求点E的坐标；

（2）如图（2），当点D在边OC上任意移动时，猜想：点F的位置是否发生变化？若不变，求出点F的坐标，若改变，请说明理由；

（3）如图（3），当点D在x轴的正半轴上移动时，请在图（3）画出图形（不保留作图痕迹），并直接回答点F的位置与（2）中猜想的结论是否一致．

答：_　     　（填“一致”或“不一致”）．

【答案】（1）E（﹣6，2）   

（2）F（0，﹣4）    （3）一致

【解析】

【分析】（1）过点E作EH⊥OC于H， 根据AAS证明△DHE≌△AOD可得结论；

（2）点F的位置不变化．证明△ECH是等腰直角三角形即可解决问题；

（3）结论不变，利用全等三角形的性质解决问题即可．

【小问1详解】

解：如图1中，过点E作EH⊥OC于H．

∵四边形OABC是正方形，B（﹣4，4），

∴OA＝OC＝4，

∵D是OC中点，

∴CD＝OD＝2，

∵∠EHD＝∠AOD＝∠ADE＝90°，

∴∠EDH+∠ADO＝90°，∠ADO+∠DAO＝90°，

∴∠EDH＝∠DAO，

∵DE＝DA，

∴△DHE≌△AOD（AAS），

∴EH＝OD＝2，DH＝OA＝4，

∴OH＝DH+OD＝6，

∴E（﹣6，2）．

【小问2详解】

解：点F的位置不变化．理由如下：

∵△DHE≌△AOD，

∴DH＝OA，EH＝OD，

∵OA＝OC，

∴DH＝CO，

∴CH＝OD＝EH，

∵∠EHC＝90°，

∴∠ECH＝∠OCF＝45°，

∵∠COF＝90°，

∴∠OCF＝∠OFC＝45°，

∴OF＝OC＝4，

∴F（0，﹣4）．

【小问3详解】

解：一致，理由如下：过点E作EH⊥OC于H，如图，

∵∠EHD=∠DOA=∠ADE=90°

∴∠EDH+∠SADO=90°，∠ADO+∠DAO=90°

∴∠EDH=∠DAO，

由旋转的性质得DE=AD

在△DHE和△AOD中

∴△DHE≌△AOD（AAS）

∴HD=OA，HE=OD

∵OA=OC

∴HD=OC

∴CH=OD=HE

∵∠EHC=90°

∴∠ECH=∠OVF=45°

∵∠COF=90°

∴∠OCF=∠OFC=45°

∴OF=OC=4

∴F（0，-4）

故答案：一致．

【点睛】本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，旋转变换，全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题．