宜兴市树人中学2021-2022学年八年级3月月考数学试题（含解析）

宜兴市树人中学2021-2022学年八年级3月月考数学试题

一选择（每题3分，共30分．）

1. 围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年历史．下列由黑白棋子摆成的图案是中心对称图形的是（    ）

A.  B.  C.  D.

2. 下列各式： 其中是分式的有(　　  )

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个

3. 下列二次根式中属于最简二次根式的是（　　）

A.  B.  C.  D.

4. 若的值均扩大为原来的3倍，则下列分式的值保持不变的是(    )

A.  B.  C.  D.

5. 顺次连接矩形四边中点所得的四边形一定是(　  　)

A. 正方形 B. 矩形 C. 菱形 D. 不能确定

6. 若矩形的一条对角线与一边的夹角是40°，则两条对角线所夹的锐角的度数为（  ）

A. 80° B. 60° C. 45° D. 40°

7. 已知平面直角坐标系中有O、A、B、C 四个点，其中点O （0，0）， A（3，0）， B（1，1），若四边形OABC是平行四边形，则点C 的坐标为 （    ）

A. （4，－1） B. （4，1） C. （2，－1） D. （－2，1）

8. 如图，矩形OABC的顶点A在x轴上，点B的坐标为（1，2）．固定边OA，向左“推”矩形OABC，使点B落在y轴的点B'的位置，则点C的对应点C'的坐标为（　　）

A. （﹣1，） B. （，﹣1） C. （﹣1，2） D. （2，﹣1）

9. 如图，点O为矩形ABCD的对称中心，点E从点A出发沿AB向点B运动，移动到点B停止，延长EO交CD于点F，则四边形AECF形状的变化依次为（　　）

A. 平行四边形→正方形→平行四边形→矩形

B. 平行四边形→菱形→平行四边形→矩形

C. 平行四边形→正方形→菱形→矩形

D. 平行四边形→菱形→正方形→矩形

10. 如图，在四边形ABCD中，，AD＝5cm，BC＝10cm，点P从点A出发，以1cm/s的速度向D运动，同时，点Q从点C以相同的速度向B运动．当点P运动到点D时，点Q随之停止运动．若设运动的时间为t秒，以点A、B、C、D、P、Q任意四个点为顶点的四边形中同时存在两个平行四边形，则t的值是（    ）

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

二．填空题（每空3分，共24分．）

11. 当_______时，分式值为0；

12. ，的最简公分母是____．

13. 已知平行四边形ABCD中，∠C＝2∠B，则∠A＝___________度．

14. 若，则的值是_______.

15. 如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D，E，F分别为AB，BC，AC的中点，已知DF＝5，则AE＝_____．

16. 如图，两个宽度都为1的平直纸条，交叉叠放在一起，两纸条边缘的夹角为=30°，则它们重叠部分(图中阴影部分)的面积为_______．

17. 如图，在矩形ABCD中，E，F分别是边AB，AD上的动点，P是线段EF的中点，PG⊥BC，PH⊥CD，G，H为垂足，连接GH．若AB＝8，AD＝6，EF＝6，则GH的最小值是___．

18. 如图，正方形ABCD的边长为2a，点E从点A出发沿着线段AD向点D运动（不与点A、D重合），同时点F从点D出发沿着线段DC向点C运动（不与点D、C重合），点E与点F的运动速度相同．BE与AF相交于点G，H为BF中点，则有下列结论：①∠BGF是定值；②BF平分∠CBE；③当E运动到AD中点时，GH=；④当C△AGB=时，S四边形GEDF=a2，其中正确的是__________（填序号）

三．简答题(共66分)

19. 计算：

（1）．

（2）

20. 化简或解方程：

（1）解方程：

（2）化简

21. （1）如图1，在5×5网格中，ABC的三个顶点都在格点上请在图1中画出一个以AB为边的平行四边形ABDE，顶点D，E在格点上且满足；

（2）如图2，平行四边形ABCD中，AE⊥BD于点E，若CF⊥BD于点F，请用无刻度尺在图2中作出符合题意的点F；（不要求写作法，但要保留作图痕迹）

（3）如图3，若线段由线段AB绕点O逆时针旋转得到，请用无刻度尺和圆规在图3中作出旋转中心O（不要求写作法，但要保留作图痕迹）．

22. 如图，在□ABCD中，点E，F是对角线BD上的两点，且BE＝DF，

求证：（1）△ABE≌△CDF；（2）AE∥CF

23. 准备一张矩形纸片，按如图操作：将△ABE沿BE翻折，使点A落在对角线BD上的M点，将△CDF沿DF翻折，使点C落在对角线BD上的N点．

(1)求证：四边形BFDE平行四边形；

（2）若四边形BFDE是菱形，AB=2，求菱形BFDE的面积．

24. 中国是最早发现并利用茶的国家，形成了具有独特魅力的茶文化2020年5月21日以“茶和世界共品共享”为主题的第一届国际茶日在中国召开．某茶店用4000元购进了A种茶叶若干盒，用8400元购进B种茶叶若干盒，所购B种茶叶比A种茶叶多10盒，且B种茶叶每盒进价是A种茶叶每盒进价的1.4倍．

（1）A，B两种茶叶每盒进价分别为多少元？

（2）第一次所购茶叶全部售完后第二次购进A，B两种茶叶共100盒（进价不变），A种茶叶的售价是每盒300元，B种茶叶的售价是每盒400元．两种茶叶各售出一半后，为庆祝国际茶日，两种茶叶均打七折销售，全部售出后，第二次所购茶叶的利润为5800元（不考虑其他因素），求本次购进A，B两种茶叶各多少盒？

25. 我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形．

（1）如图1，已知等腰直角△ABC，∠ACB=90°，请将它分成两个三角形，使它们成为偏等积三角形．

（2）如图2，已知△ABC为直角三角形，∠ACB=90°，以AB，AC，BC为边向外作正方形ABDE，正方形ACFG和正方形BCMN，连接EG．

①求证：△ABC与△AEG为偏等积三角形．

②若AC=3，BC=4，则图中以点A、B、C、D、E、F、G、M、N为顶点构成的三角形与△ABC是偏等积三角形的个数是_________个    ．

26. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(﹣6，0)，点B在y轴正半轴上，∠ABO＝30°，动点D从点A出发沿着射线AB方向以每秒3个单位的速度运动，过点D作DE⊥y轴，交y轴于点E，同时，动点F从定点C (1，0)出发沿x轴正方向以每秒1个单位的速度运动，连结DO，EF，设运动时间为t秒．

（1）当点D运动到线段AB的中点时．

①t的值为　   　；

②判断四边形DOFE否是平行四边形，请说明理由．

（2）点D在运动过程中，若以点D，O，F，E为顶点的四边形是矩形，求出满足条件的t的值．

答案与解析

一选择（每题3分，共30分．）

1. 围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有四千多年的历史．下列由黑白棋子摆成的图案是中心对称图形的是（    ）

A.  B.  C.  D.

【答案】A

【解析】

【分析】根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．把一个图形绕某一点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．

【详解】解：A、是中心对称图形，故本选项符合题意；

B、不是中心对称图形，故本选项不合题意；

C、不是中心对称图形，故本选项不合题意；

D、不是中心对称图形，故本选项不合题意．

故选：A．

【点睛】本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．

2. 下列各式： 其中是分式的有(　　  )

A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个

【答案】B

【解析】

【详解】是整式，是分式，是整式，是分式， 是整式，

其中是分式的有2个，

故选B．

3. 下列二次根式中属于最简二次根式的是（　　）

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据最简二次根式满足的条件逐项判断即可．

【详解】解：A、=5，不是最简二次根式，不符合题意；

B、最简二次根式，符合题意；

C、=，不是最简二次根式，不符合题意；

D、=，不是最简二次根式，不符合题意，

故选：B．

【点睛】本题考查最简二次根式判断，解题关键是熟知最简二次根式成立的条件：（1）被开方数不含分母；（2）被开方数不含能开的尽方的因数或因式．

4. 若的值均扩大为原来的3倍，则下列分式的值保持不变的是(    )

A.  B.  C.  D.

【答案】B

【解析】

【分析】根据分式的基本性质，x，y的值均扩大为原来的3倍，求出每个式子的结果，看结果等于原式的即是答案．

【详解】A．，不符合题意；
B．，符合题意；
C．，不符合题意；
D．，不符合题意；
故选：B．

【点睛】此题考查分式的基本性质，解题的关键是熟练运用分式的基本性质．

5. 顺次连接矩形四边中点所得的四边形一定是(　  　)

A. 正方形 B. 矩形 C. 菱形 D. 不能确定

【答案】C

【解析】

【分析】因为题中给出的条件是中点，所以可利用三角形中位线性质，以及矩形对角线相等去证明四条边都相等，从而说明是一个菱形．

【详解】连接AC、BD，

△ABD中，

∵AH=HD，AE=EB，

∴EH=BD，

同理FG=BD，HG=AC，EF=AC，

又∵在矩形ABCD中，AC=BD，

∴EH=HG=GF=FE，

∴四边形EFGH为菱形．

故选C．

【点睛】本题考查了菱形的判定，菱形的判别方法是说明一个四边形为菱形的理论依据，常用三种方法：①定义，②四边相等，③对角线互相垂直平分．

6. 若矩形的一条对角线与一边的夹角是40°，则两条对角线所夹的锐角的度数为（  ）

A. 80° B. 60° C. 45° D. 40°

【答案】A

【解析】

【详解】如图：

根据题意可得：∠1=40°

∵四边形ABCD矩形

∴OB=OC

∴∠OBC=∠1=40°

则∠AOB=2∠1=80°

故选：A

考点：矩形的性质．

7. 已知平面直角坐标系中有O、A、B、C 四个点，其中点O （0，0）， A（3，0）， B（1，1），若四边形OABC是平行四边形，则点C 的坐标为 （    ）

A. （4，－1） B. （4，1） C. （2，－1） D. （－2，1）

【答案】D

【解析】

【分析】根据题意作图，根据平行四边形的性质即可求解．

【详解】如图，∵四边形OABC是平行四边形，点O （0，0）， A（3，0）， B（1，1），

∴BC=AO=3，

故点C 的坐标为B（1-3，1），即（－2，1）

故选D．

【点睛】此题主要考查坐标与图形，解题的关键是熟知平行四边形的性质．

8. 如图，矩形OABC的顶点A在x轴上，点B的坐标为（1，2）．固定边OA，向左“推”矩形OABC，使点B落在y轴的点B'的位置，则点C的对应点C'的坐标为（　　）

A. （﹣1，） B. （，﹣1） C. （﹣1，2） D. （2，﹣1）

【答案】A

【解析】

【分析】根据矩形的性质和勾股定理求出的长，得到点的坐标．

【详解】解：∵四边形OABC是矩形，点B的坐标为（1，2），

∴OA＝1，AB＝2，

由题意得：AB'＝AB＝2，四边形OAB'C'是平行四边形，

∴，，

∴点C的对应点的坐标为．

故选：A．

【点睛】本题考查点坐标的求解和矩形的性质，解题的关键是掌握矩形的性质求出线段长从而得到点坐标．

9. 如图，点O为矩形ABCD的对称中心，点E从点A出发沿AB向点B运动，移动到点B停止，延长EO交CD于点F，则四边形AECF形状的变化依次为（　　）

A. 平行四边形→正方形→平行四边形→矩形

B. 平行四边形→菱形→平行四边形→矩形

C. 平行四边形→正方形→菱形→矩形

D. 平行四边形→菱形→正方形→矩形

【答案】B

【解析】

【分析】根据对称中心的定义，根据矩形的性质，可得四边形AECF形状的变化情况．

【详解】解：观察图形可知，四边形AECF形状的变化依次为平行四边形→菱形→平行四边形→矩形．

故选：B．

【点睛】考查了中心对称，矩形的性质，平行四边形的判定与性质，菱形的性质，根据EF与AC的位置关系即可求解．

10. 如图，在四边形ABCD中，，AD＝5cm，BC＝10cm，点P从点A出发，以1cm/s的速度向D运动，同时，点Q从点C以相同的速度向B运动．当点P运动到点D时，点Q随之停止运动．若设运动的时间为t秒，以点A、B、C、D、P、Q任意四个点为顶点的四边形中同时存在两个平行四边形，则t的值是（    ）

A. 2 B. 3 C. 4 D. 5

【答案】D

【解析】

【分析】根据题意计算AP、PD、BQ、CQ，再根据平行四边形的判定方法进行逐一判定即可．

【详解】解：A．t＝2时，AP＝2cm，PD＝3cm，CQ＝2cm，BQ＝8cm，因AD∥BC，此时构成一个平行四边形APCQ，不符合题意；

B．t＝3时，AP＝3cm，PD＝2cm，CQ＝3cm，BQ＝7cm，因AD∥BC，此时构成一个平行四边形APCQ，不符合题意；

C．t＝4时，AP＝4cm，PD＝1cm，CQ＝4cm，BQ＝6cm，因AD∥BC，此时只构成一个平行四边形APCQ，不符合题意．

D．t＝5时，AP＝5cm，CQ＝5cm，BQ＝5cm，则CQ＝BQ＝AD，因AD∥BC，此时有2个平行四边形：平行四边形ADCQ和平行四边形ADQB，符合题意．

故选：D．

【点睛】本题主要考查了平行四边形的判定，关键是熟记平行四边形的判定方法．

二．填空题（每空3分，共24分．）

11. 当_______时，分式的值为0；

【答案】x=-1

【解析】

【分析】要使分式为0，则分母不为0，分子为0．

【详解】要使分式的值为0

∴x+1=0且x－2≠0

解得：x=－1

故答案为：x=－1

【点睛】本题考查求分式为0的情况，注意在解题时，必须要添加分母不为0的限定条件，这样分式才有意义．

12. ，的最简公分母是____．

【答案】4x3y.

【解析】

【分析】先找出分母的系数的最小公倍数，作为最简公分母的系数，再找所有字母作为最简公分母的因式即可．

【详解】解：，的最简公分母是4x3y，

故答案为：4x3y．

【点睛】本题主要考查了最简公分母，解题的关键是熟记最简公分母的定义．

13. 已知平行四边形ABCD中，∠C＝2∠B，则∠A＝___________度．

【答案】120°

【解析】

【详解】试题分析：根据题意得：∠B+∠C=180°，则∠B=60°，∠C=120°，则∠A=∠C=120°.

考点：平行四边形的性质.

14. 若，则的值是_______.

【答案】

【解析】

【分析】由得到，然后又整体代入分式进行计算，即可得到答案.

【详解】解：∵，

∴，

∴，

∴

=

=

=；

故答案为.

【点睛】本题考查了分式的化简求值，解题的关键是得到，并能正确的进行化简.

15. 如图，Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D，E，F分别为AB，BC，AC的中点，已知DF＝5，则AE＝_____．

【答案】5

【解析】

【分析】依题意，可得DF是△ABC的中位线，得到BC的边长；又结合直角三角形斜边中线是斜边的一半，即可求解；

【详解】∵ D，F分别为AB，AC的中点，

∴DF是△ABC的中位线，

∴BC＝2DF＝10，

在Rt△ABC中，E为BC的中点，

故答案为：5．

【点睛】本题主要考查直角三角形性质及中线的性质，关键在熟练综合使用和分析；

16. 如图，两个宽度都为1的平直纸条，交叉叠放在一起，两纸条边缘的夹角为=30°，则它们重叠部分(图中阴影部分)的面积为_______．

【答案】2

【解析】

【分析】首先过A作AE⊥BC，AF⊥CD于F，垂足为E，F，证明△ABE≌△ADF，从而证明四边形ABCD是菱形，再利用三角函数算出BC的长，最后根据菱形的面积公式算出重叠部分的面积即可．

【详解】解：如图所示：过A作AE⊥BC，AF⊥CD于F，垂足为E，F，
∴∠AEB=∠AFD=90°，
∵AD∥CB，AB∥CD，
∴四边形ABCD是平行四边形，
∵纸条宽度都为1，
∴AE=AF=1，
在△ABE和△ADF中

，
∴△ABE≌△ADF（AAS），
∴AB=AD，
∴四边形ABCD是菱形．
∴BC=AB，
∵=sin30°，
∴BC=AB==2，
∴重叠部分（图中阴影部分）的面积为：BC×AE=2×1=2，

故答案为：2．

【点睛】本题考查了菱形的判定与性质，以及三角函数的应用，关键是证明四边形ABCD是菱形，利用三角函数求出BC的长．

17. 如图，在矩形ABCD中，E，F分别是边AB，AD上的动点，P是线段EF的中点，PG⊥BC，PH⊥CD，G，H为垂足，连接GH．若AB＝8，AD＝6，EF＝6，则GH的最小值是___．

【答案】7

【解析】

【分析】连接AC、AP、CP，由勾股定理求出AC＝10，再由直角三角形斜边上的中线性质得AP＝3，然后证四边形PGCH是矩形，得GH＝CP，当A、P、C三点共线时，CP最小＝AC﹣AP＝10﹣3＝7，即可求解．

【详解】解：连接AC、AP、CP，如图所示：

∵四边形ABCD是矩形，

∴BC＝AD＝6，∠BAD＝∠B＝∠C＝90°，

∴AC＝，

∵P是线段EF的中点，

∴AP＝EF＝3，

∵PG⊥BC，PH⊥CD，

∴∠PGC＝∠PHC＝90°，

∴四边形PGCH是矩形，

∴GH＝CP，

当A、P、C三点共线时，CP最小＝AC﹣AP＝10﹣3＝7，

∴GH的最小值是7，

故答案为：7．

【点睛】本题考查了矩形的判定与性质、直角三角形斜边上的中线性质、勾股定理等知识；熟练掌握矩形的判定与性质，求出CP的最小值是解题的关键．

18. 如图，正方形ABCD的边长为2a，点E从点A出发沿着线段AD向点D运动（不与点A、D重合），同时点F从点D出发沿着线段DC向点C运动（不与点D、C重合），点E与点F的运动速度相同．BE与AF相交于点G，H为BF中点，则有下列结论：①∠BGF是定值；②BF平分∠CBE；③当E运动到AD中点时，GH=；④当C△AGB=时，S四边形GEDF=a2，其中正确的是__________（填序号）

【答案】①③

【解析】

【分析】根据题意很容易证得△BAE≌△ADF，即可得到AF=BE，利用正方形内角为90°，得出AF⊥DE，即可判断①；②无法判断，③根据直角三角形斜边的中线等于斜边的一半即可求解，④根据△BAE≌△ADF，即可得到S四边形GEDF=S△ABG，即可求解．

【详解】

①证明：如上图，

∵E在AD边上(不与A、D重合)，点F在DC边上(不与D、C重合)，

又∵点E、F分别同时从A、 D出发以相同的速度运动，

∴AE=DF，

∵四边形ABCD是正方形，

∴AB=DA，∠BAE=∠D=90°，

在△BAE和△ADF中，

∴△BAE≌△ADF(SAS)，

∴∠1=∠2，

∵∠2+∠3=90°

∴∠1+∠3=90°

即∠AGB=90°

∠BGF=90°，

∠BGF是定值，正确；

②无法判断∠GBF与∠CBF的大小， BF平分∠CBE，错误；

③当E运动到AD中点时，

点F运动到CD中点，

CF=CD=a，

，

GH=BF=a，正确；

④△BAE≌△ADF，

则S四边形GEDF=S△ABG，

当C△AGB =()a时，

AG+GB=a，

(AG+GB)2=AG2+2AG⋅GB+GB2=6a2，

∵AG2+BG2=AB2=4a2，

∴2AG⋅GB=2a2，

S△ABG=AG⋅GB=a2，

S四边形GEDF =a2，故S四边形GEDF =a2，错误，

故答案为：①③．

【点睛】本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理等，掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．

三．简答题(共66分)

19. 计算：

（1）．

（2）

【答案】（1）   

（2）

【解析】

【分析】（1）根据负指数幂的运算法则、求一个数的算术平方根、绝对值的意义进行计算即可；

（2）先把分式的分母分解因式，再通分，最后根据同分母的分式相加的法则求出答案即可．

【小问1详解】

原式

；

【小问2详解】

原式

．

【点睛】本题主要考查了实数的混合运算、分式的加减运算，熟练掌握负指数幂的运算法则，绝对值的意义、算术平方根的定义和分式的加减运算法则是解题的关键．

20. 化简或解方程：

（1）解方程：

（2）化简

【答案】（1）
   

（2）
 

【解析】

【分析】（1）先去分母将分式方程变为整式方程，然后解整式方程即可；

（2）先将括号中的分式相加减，然后变除法为乘法进行计算即可．

【小问1详解】

去分母得：，

去括号得：，

移项合并同类项得：，

检验：把代入=，

∴是原方程的解；

【小问2详解】

原式

【点睛】本题主要考查了解分式方程和分式化简，解分式方程时要注意进行检验，分式化简时，找准最小公分母是解题的关键．

21. （1）如图1，在5×5的网格中，ABC的三个顶点都在格点上请在图1中画出一个以AB为边的平行四边形ABDE，顶点D，E在格点上且满足；

（2）如图2，平行四边形ABCD中，AE⊥BD于点E，若CF⊥BD于点F，请用无刻度尺在图2中作出符合题意的点F；（不要求写作法，但要保留作图痕迹）

（3）如图3，若线段由线段AB绕点O逆时针旋转得到，请用无刻度尺和圆规在图3中作出旋转中心O（不要求写作法，但要保留作图痕迹）．

【答案】（1）见解析；（2）见解析；（3）见解析

【解析】

【分析】（1）同底等高做个平行四边形即可，如图1，把A、B点向上平移2个单位得到E、D即可；

（2）根据，可做平行四边形得出平行的关系，如图2，延长AE交BC于M，连接AC交BD于O点，连接MO并延长交AD于N，然后连接CN交BD于F；

（3）找到对应点并连接，两条垂直平分线的交点即为旋转中心，如图3，作AA′和BB′的垂直平分线，两垂直平分线的交点为O点．

【详解】解：（1）如图1，四边形ABDE为所作；

（2）如图2，点F为所作；

（3）如图3，点O为所作．

【点睛】本题考查了作图-旋转变换以及平行四边形的判定与性质，正确理解题意并能将作图联系在一起是做题关键．

22. 如图，在□ABCD中，点E，F是对角线BD上的两点，且BE＝DF，

求证：（1）△ABE≌△CDF；（2）AE∥CF

【答案】（1）证明见解析；（2）证明见解析

【解析】

【分析】（1）根据平行四边形得出AB=CD，AB∥CD，即∠ABE=∠CDF，结合BE=DF可得△ABE≌△CDF；

（2）根据全等得出∠AEB＝∠CFD，然后得出∠AED=∠CFB，从而说明答案.

【详解】解：（1）∵ 四边形ABCD是平行四边形

∴AB=CD，AB∥CD

∴∠ABE=∠CDF

∵BE=DF

∴△ABE≌△CDF（SAS）

（2）、∵△ABE≌△CDF（SAS）

∴∠AEB＝∠CFD

∴180°-∠AEB=180°-∠CFD，

即∠AED=∠CFB

∴AE//CF

【点睛】本题考查三角形全等的判定；三角形全等的性质

23. 准备一张矩形纸片，按如图操作：将△ABE沿BE翻折，使点A落在对角线BD上的M点，将△CDF沿DF翻折，使点C落在对角线BD上的N点．

(1)求证：四边形BFDE是平行四边形；

（2）若四边形BFDE是菱形，AB=2，求菱形BFDE的面积．

【答案】（1）证明见解析；（2）

【解析】

【详解】试题分析：(1)、根据矩形的性质可得∠ABD=∠CDB，根据折叠可得∠EBD=∠FDB，则BE∥DF，根据两组对边分别平行的四边形为平行四边形进行证明；(2)、根据菱形可得BE=DE，有折叠可得BM=AB=2，则DM=BM=2，BD=4，根据勾股定理可得AD=2，设DE=x，则AE=2－x，BE=x，根据Rt△ABE的勾股定理得出x的值，然后计算菱形的面积.

试题解析：(1)、∵四边形ABCD是矩形 ∴ AB∥CD   AD∥BC ∴∠ABD=∠CDB     

由折叠知：∠EBD=∠ABD，∠FDB=∠CDB  ∴∠EBD=∠FDB   ∴BE//DF 

∴四边形BFDE是平行四边形

(2)、∵四边形BFDE是菱形  ∴ BE=DE   由折叠知：∠EMB=∠A=90°BM=AB=2

∴DM=BM=2 ∴BD=4 由勾股定理解得AD=2设DE=x，则AE=2―x，BE=x

在Rt△ABE中，AE2+AB2=BE2 (2―x)2+22=x2 解得：x=

∴菱形BFDE的面积为×2=

考点：(1)、平行四边形的判定；(2)、勾股定理；(3)、菱形的面积计算.

24. 中国是最早发现并利用茶的国家，形成了具有独特魅力的茶文化2020年5月21日以“茶和世界共品共享”为主题的第一届国际茶日在中国召开．某茶店用4000元购进了A种茶叶若干盒，用8400元购进B种茶叶若干盒，所购B种茶叶比A种茶叶多10盒，且B种茶叶每盒进价是A种茶叶每盒进价的1.4倍．

（1）A，B两种茶叶每盒进价分别为多少元？

（2）第一次所购茶叶全部售完后第二次购进A，B两种茶叶共100盒（进价不变），A种茶叶的售价是每盒300元，B种茶叶的售价是每盒400元．两种茶叶各售出一半后，为庆祝国际茶日，两种茶叶均打七折销售，全部售出后，第二次所购茶叶的利润为5800元（不考虑其他因素），求本次购进A，B两种茶叶各多少盒？

【答案】（1）A，B两种茶叶每盒进价分别为200元，280元；（2）第二次购进A种茶叶40盒，B种茶叶60盒

【解析】

【分析】（1）设A种茶叶每盒进价为元，则B种茶叶每盒进价为元，根据“4000元购进了A种茶叶若干盒，用8400元购进B种茶叶若干盒，所购B种茶叶比A种茶叶多10盒”列出分式方程解答，并检验即可；

（2）设第二次A种茶叶购进盒，则B种茶叶购进盒，根据题意，表达出打折前后，A，B两种茶叶的利润，列出方程即可解答．

【详解】解：（1）设A种茶叶每盒进价为元，则B种茶叶每盒进价为元．

根据题意，得

．

解得．

经检验：是原方程的根．

∴（元）．

∴A，B两种茶叶每盒进价分别为200元，280元．

（2）设第二次A种茶叶购进盒，则B种茶叶购进盒．

打折前A种茶叶的利润为．

B种茶叶的利润为．

打折后A种茶叶利润为．

B种茶叶的利润为0．

由题意得：．

解方程，得：．

∴（盒）．

∴第二次购进A种茶叶40盒，B种茶叶60盒．

【点睛】本题考查了分式方程及一元一次方程的实际应用问题，解题的关键是设出未知数，找出等量关系，列出方程，并注意分式方程一定要检验．

25. 我们把两个面积相等但不全等的三角形叫做偏等积三角形．

（1）如图1，已知等腰直角△ABC，∠ACB=90°，请将它分成两个三角形，使它们成为偏等积三角形．

（2）如图2，已知△ABC为直角三角形，∠ACB=90°，以AB，AC，BC为边向外作正方形ABDE，正方形ACFG和正方形BCMN，连接EG．

①求证：△ABC与△AEG为偏等积三角形．

②若AC=3，BC=4，则图中以点A、B、C、D、E、F、G、M、N为顶点构成的三角形与△ABC是偏等积三角形的个数是_________个    ．

【答案】（1）见解析    （2）①见解析；②

【解析】

【分析】（1）作BC边上的中线或AC边上的中线即可；

（2）①过点E作EK⊥GA，交GA的延长线于点K，根据已知得出△EAK≌△BAC，进而得出EK＝BC，再根据三角形面积公式即可得出结论；

②根据已知找到跟△ABC等底等高的三角形即可；

【小问1详解】

作BC边上的中线或AC边上的中线，如图所示：

【小问2详解】

①证明：过点E作EK⊥GA，交GA的延长线于点K，如图所示：

∴∠K＝90°，

∵四边形ABDE和ACFG都是正方形，

∴∠BAE＝90°，AB＝AE，∠GAC＝90°，AC＝AG，

∵∠GAC＋∠KAC＝180°，

∴∠KAC＝180°−∠GAC＝180°−90°＝90°，

∴∠EAK＋∠BAK＝∠BAC＋∠BAK＝90°，即∠EAK＝∠BAC，

又∵∠K＝∠ACB＝90°，AE＝AB，

∴△EAK≌△BAC（AAS），

∴EK＝BC，

∴S△ABC＝AC•BC＝AG•EK＝S△AEG，

∴△ABC和△AEG为偏等积三角形；

②如图，与△ABC是偏等积三角形有△EAG，△BCG，△GCM，△ANC，△CNF，△CFD，△CME，△DBN；

故答案为：8个．

【点睛】本题考查了四边形的综合题，其中中线等分面积，等积三角形即等底等高等方法是解本题的关键．

26. 如图，在平面直角坐标系中，点A的坐标为(﹣6，0)，点B在y轴正半轴上，∠ABO＝30°，动点D从点A出发沿着射线AB方向以每秒3个单位的速度运动，过点D作DE⊥y轴，交y轴于点E，同时，动点F从定点C (1，0)出发沿x轴正方向以每秒1个单位的速度运动，连结DO，EF，设运动时间为t秒．

（1）当点D运动到线段AB的中点时．

①t的值为　   　；

②判断四边形DOFE是否是平行四边形，请说明理由．

（2）点D在运动过程中，若以点D，O，F，E为顶点的四边形是矩形，求出满足条件的t的值．

【答案】（1）①2s，②是平行四边形，见解析；（2）14秒

【解析】

【分析】（1）①由直角三角形的性质得出AB＝2OA＝12，由题意得出BD＝AD＝AB＝6，列方程即可得出答案；

②求出OF＝OC+CF＝3，由三角形中位线定理DE＝BD＝3，得出DE＝OF，即可得出四边形DOFE是平行四边形；

（2）要使以点D，O，F，E为顶点的四边形是矩形，则点D在射线AB上，求出BD＝3t﹣12，由直角三角形的性质得出DE＝BD＝t﹣6，OF＝1+t，得出方程，解方程即可．

【详解】解：（1）如图1，

①∵点A的坐标为（﹣6，0），

∴OA＝6，

Rt△ABO中，∠ABO＝30°，

∴AB＝2AO＝12，

由题意得：AD＝3t，

当点D运动到线段AB的中点时，3t＝6，

∴t＝2，

故答案为：2s；

②四边形DOFE是平行四边形，理由是：

∵DE⊥y轴，AO⊥y轴，

∴DE∥AO，

∵AD＝BD，

∴BE＝OE，

∴DE＝AO＝3，

∵动点F从定点C （1，0）出发沿x轴正方向以每秒1个单位的速度运动，且t＝2，

∴OF＝1+2＝3＝DE，

∴四边形DOFE是平行四边形；

（2）要使以点D，O，F，E为顶点的四边形是矩形，则点D在射线AB上，如图2所示：

∵AD＝3t，AB＝12，

∴BD＝3t﹣12，

在Rt△BDE中，∠DBE＝30°，

∴DE＝BD＝（3t﹣12）＝t﹣6，OF＝1+t，

则t﹣6＝1+t，

解得：t＝14，

即以点D，O，F，E为顶点的四边形是矩形时，t的值为14秒．

【点睛】本题是四边形综合题目，考查了平行四边形的判定与性质、坐标与图形性质、矩形的性质、含30°角的直角三角形的性质等知识；本题难度适中，熟练掌握平行四边形的性质和直角三角形的性质是解题的关键．