数学选择性必修 第一册1.2 空间向量基本定理复习练习题

1.2　空间向量基本定理

课后篇巩固提升

必备知识基础练

1.如图,在平行六面体ABCD -A1B1C1D1中,AC与BD的交点为M,=a,=b,=c,则下列向量中与相等的向量是(　　)

A.-a+b+c 

B.a+b+c

C.-a-b-c 

D.-a-b+c

解析 )-()=-a-b-c.

答案C

2.(2020广东汕头金山中学高二上期中)已知正方体ABCD -A1B1C1D1,点E为上底面A1C1的中心,若+x+y,则x,y的值分别为(　　)

A.1,1 B.1, C. D.,1

解析因为)=)=,所以x=,y=.故选C.

答案C

3.在空间四边形OABC中,=a,=b,=c,点M在线段AC上,且AM=2MC,N是OB的中点,则= (　　)

A.a+b-c B.a-b+c

C.-a+b-c D.a+b-c

解析 ),,

=(a-c)-a+b=-a+b-c.

答案C

4.在正方体ABCD -A1B1C1D1中,设=a,=b,=c,A1C1与B1D1的交点为E,则=　　　　　. 

解析如图,)=)=-a+b+c.

答案-a+b+c

5.已知三棱柱ABC -A1B1C1的侧棱垂直于底面,∠BAC=90°.求证:AB⊥AC1.

证明设=a,=b,=c,则=b+c.

所以=a·(b+c)=a·b+a·c,

因为AA1⊥平面ABC,∠BAC=90°,

所以a·b=0,a·c=0,

得=0,故AB⊥AC1.

6.

如图所示,在平行四边形ABCD中,AD=4,CD=3,∠ADC=60°,PA⊥平面ABCD,PA=6,求线段PC的长.

解因为在平行四边形ABCD中,∠ADC=60°,所以∠BAD=120°.

又PA⊥平面ABCD,

所以PA⊥AB,PA⊥AD.

因为,

所以||==

=

=7,

即线段PC的长为7.

关键能力提升练

7.

(2020安徽淮北一中高二上期中)已知M,N分别是四面体OABC的棱OA,BC的中点,点P在线段MN上,且MP=2PN,设向量=a,=b,=c,则=(　　)

A.a+b+c

B.a+b+c

C.a+b+c

D.a+b+c

解析 )=)+b+c+a,故选C.

答案C

8.在四面体O -ABC中,G1是△ABC的重心,G是OG1上的一点,且OG=3GG1,若=x+y+z,则(x,y,z)为(　　)

A. B.

C. D.

解析

如图所示,连接AG1交BC于点E,则E为BC的中点,)=-2),

-2).

因为=3=3(),

所以.

则)=.

答案A

9.(多选题)在三棱锥P-ABC中,三条侧棱PA,PB,PC两两垂直,且PA=PB=PC=3,G是△PAB的重心,E,F分别为棱BC,PB上的点,且BE∶EC=PF∶FB=1∶2,则下列说法正确的是(　　)

A.EG⊥PG

B.EG⊥BC

C.FG∥BC

D.FG⊥EF

解析如图,设=a,=b,=c,则{a,b,c}是空间的一个正交基底,则a·b=a·c=b·c=0.

取AB的中点H,

则=c-b,

(a+b)=a+b,

)=b+c,

则a+b-b-c=a-b-c,=c-b,

a+b-b=a,

b-c+b=-c-b.

=0,故A正确;=0,故B正确;≠λ(λ∈R),故C不正确;=0,故D正确.故选ABD.

答案ABD

10.若a=e1+e2,b=e2+e3,c=e1+e3,d=e1+2e2+3e3,若e1,e2,e3不共面,当d=α a+β b+γ c时,α+β+γ=.

解析由已知d=(α+γ)e1+(α+β)e2+(γ+β)e3,

所以故有α+β+γ=3.

答案3

11.(2020浙江杭州学军中学高二上期中)在棱长为a的正四面体ABCD中,E,F分别为棱AD,BC的中点,则异面直线EF与AB所成角的大小是　　　　,线段EF的长度为　　　　. 

解析设=a,=b,=c,则{a,b,c}是空间的一个基底,|a|=|b|=|c|=a,a·b=a·c=b·c=a2.

∴(a+b)-c,

∴a2+a·b-a·c=a2,

||=a.

∴cos<>=,

∴异面直线EF与AB所成的角为.

答案a

12.如图所示,在平行六面体ABCD -A1B1C1D1中,=-,设=a,=b,=c,试用a,b,c表示.

解连接AN,则.

由已知可得四边形ABCD是平行四边形,从而可得

=a+b,

=-=-(a+b),

又=b-c,

故=b-(b-c),所以=-(a+b)+b-(b-c)=(-a+b+c).

13.在正方体ABCD -A1B1C1D1中,已知E,F,G,H分别是CC1,BC,CD和A1C1的中点.证明:

(1)AB1∥GE,AB1⊥EH;

(2)A1G⊥平面EFD.

证明(1)设正方体棱长为1,=i,=j,=k,

则{i,j,k}构成空间的一个单位正交基底.

=i+k,

i+k=,

∴AB1∥GE.

k+(i+j)=-i-j+k,

∵=(i+k)·=-|i|2+|k|2=0,∴AB1⊥EH.

(2)=-k+j+i,

=i-j,=i+k.

∴

=-|j|2+|i|2=0,∴A1G⊥DF.

=-|k|2+|i|2=0,∴A1G⊥DE.

又DE∩DF=O,∴A1G⊥平面EFD.

学科素养创新练

14.如图,在正方体ABCD -A1B1C1D1中,E,F分别是BB1,D1B1的中点,求证:EF⊥平面B1AC.

证明设=a,=c,

=b,

有a·b=0,a·c=0,b·c=0,

则)=)=)=(-a+b+c),

=a+b.

∴(-a+b+c)·(a+b)=(|b|2-|a|2)=0.

∴,即EF⊥AB1.同理EF⊥B1C.

∵AB1∩B1C=B1,∴EF⊥平面B1AC.