课时作业(二十四) 双曲线的简单几何性质

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1．双曲线eq \f(x2,4)－y2＝1的焦点坐标是( )
A．F1(－eq \r(3)，0)，F2(eq \r(3)，0)
B．F1(0，－eq \r(3))，F2(0，eq \r(3))
C．F1(－eq \r(5)，0)，F2(eq \r(5)，0)
D．F1(0，－eq \r(5))，F2(0，eq \r(5))
2．若双曲线eq \f(x2,a2)－y2＝1(a>0)的离心率为2，则其实轴长为( )
A.eq \r(3) B．2eq \r(3)
C.eq \f(\r(3),3) D.eq \f(2\r(3),3)
3．已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的离心率为eq \f(\r(5),2)，则C的渐近线方程为( )
A．y＝±eq \f(1,4)x B．y＝±eq \f(1,3)x
C．y＝±eq \f(1,2)x D．y＝±x
4．已知直线y＝kx与双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右两支分别交于A、B两点，F为双曲线的右焦点，其中∠ABF＝eq \f(π,2)，∠BAF＝eq \f(π,6)，则双曲线C的离心率e＝( )
A．2 B.eq \r(3)＋1
C.eq \r(3) D.eq \r(7)
5．(多填题)已知双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的一条渐近线为2x＋y＝0，一个焦点为(eq \r(5)，0)，则a＝______；b＝________.
6．已知双曲线两个焦点分别是F1eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\r(2)，0))，F2(eq \r(2)，0)，点P(eq \r(2)，1)在双曲线上．
(1)求双曲线的标准方程；
(2)过双曲线的右焦点F2且倾斜角为60°的直线与双曲线交于A，B两点，求△F1AB的周长．
[提能力]
7．(多选)已知双曲线eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，P为双曲线上一点，且|PF1|＝2|PF2|，若sin ∠F1PF2＝eq \f(\r(15),4)，则对双曲线中a，b，c，e的有关结论正确的是( )
A．e＝eq \r(6) B．e＝2
C．b＝eq \r(5)a D．b＝eq \r(3)a
8．已知F1、F2是双曲线C：eq \f(x2,9)－eq \f(y2,b2)＝1(b>0)的两个焦点，点A(x0,4)(x0>0)在双曲线C上，且△F1AF2的面积为20，则双曲线C的离心率e＝________.
9．已知双曲线C：eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)的两个焦点为F1(－2,0)，F2(2,0)，点P(3，eq \r(7))在双曲线C上．
(1)求双曲线C的方程；
(2)记O为坐标原点，过点Q(0,2)的直线l与双曲线C交于不同的两点E，F，若△OEF的面积为2eq \r(2)，求直线l的方程．
[战疑难]
10．已知椭圆C1：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)与双曲线C2：eq \f(x2,m2)－eq \f(y2,n2)＝1(m>0，n>0)有相同的焦点F1，F2，其中F1为左焦点．点P为两曲线在第一象限的交点，e1，e2分别为曲线C1，C2的离心率，若△PF1F2是以PF1为底边的等腰三角形，则e2－e1的取值范围为________．
课时作业(二十四)
1．解析：根据题意，双曲线eq \f(x2,4)－y2＝1，其中a＝2，b＝1，其焦点在x轴上，则c＝eq \r(5)，
则双曲线的焦点坐标为F1(－eq \r(5)，0)，F2(eq \r(5)，0)．
故选C.
答案：C
2．解析：双曲线方程b＝1，由离心率得eq \f(c,a)＝2，结合c2＝a2＋b2，解得a＝eq \f(\r(3),3)，c＝eq \f(2\r(3),3)，故实轴长2a＝eq \f(2\r(3),3).故选D.
答案：D
3．解析：∵e2＝eq \f(c2,a2)＝eq \f(a2＋b2,a2)＝1＋eq \f(b2,a2)＝eq \f(5,4)，∴eq \f(b2,a2)＝eq \f(1,4)，∴eq \f(b,a)＝eq \f(1,2)，则C的渐近线方程为y＝±eq \f(1,2)x.故选C.
答案：C
4.
解析：取左焦点为F1，连接AF1，BF1，如图所示，
由题意知∠ABF＝eq \f(π,2)，∠BAF＝eq \f(π,6)且四边形AFBF1是平行四边形，
易知|BF1|＝|AF|＝2|BF|，由双曲线的定义知
|BF1|－|BF|＝2a，两式联立可得|BF|＝2a，
则|AF|＝4a，|AB|＝2eq \r(3)a，由双曲线的对称性知|OA|＝|OB|＝eq \f(1,2)|AB|＝eq \r(3)a，
在Rt△OBF中|OB|＝eq \r(3)a，|OF|＝c，|BF|＝2a，
|OB|2＋|BF|2＝|OF|2，即4a2＋3a2＝c2，c＝eq \r(7)a，所以e＝eq \f(c,a)＝eq \r(7)
故选D.
答案：D
5．解析：由题意知，渐近线方程为y＝－2x，由双曲线的标准方程以及性质可知eq \f(b,a)＝2，由c＝eq \r(5)，c2＝a2＋b2，可得b＝2，a＝1.
答案：1 2
6．解析：(1)设双曲线的标准方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,b2)＝1(a>0，b>0)．
∵F1(－eq \r(2)，0)，P(eq \r(2)，1)
∴PF2⊥x轴，∴|PF2|＝eq \f(b2,a)＝1且c＝eq \r(2).
又c2＝a2＋b2，即a2＋a－2＝0，解得：a＝1，∴b2＝1.
∴双曲线的标准方程为：x2－y2＝1.
(2)由(1)知，双曲线渐近线为y＝x，倾斜角为45°.
∵直线AB过F2且倾斜角为60°，∴A，B均在双曲线的右支上．
∴|BF1|－|BF2|＝2，|AF1|－|AF2|＝2，
∴|AF1|＋|BF1|＝4＋|AF2|＋|BF2|＝4＋|AB|，
设直线AB方程为：y＝eq \r(3)(x－eq \r(2))，
代入双曲线方程得：2x2－6eq \r(2)x＋7＝0，
∴|AB|＝eq \r(1＋3)·eq \r(3\r(2)2－4×\f(7,2))＝4，
∴△F1AB的周长为：|AF1|＋|BF1|＋|AB|
＝4＋2|AB|＝12.
7．解析：由双曲线定义可知：|PF1|－|PF2|＝|PF2|＝2a，
∴|PF1|＝4a，
由sin ∠F1PF2＝eq \f(\r(15),4)，可得cs ∠F1PF2＝±eq \f(1,4)，
在△PF1F2中，由余弦定理可得：eq \f(4a2＋16a2－4c2,2×2a×4a)＝±eq \f(1,4)，
解得：eq \f(c2,a2)＝4或eq \f(c2,a2)＝6.
∴e＝eq \f(c,a)＝2或eq \r(6).
∴c＝2a或c＝eq \r(6)a
又∵c2＝a2＋b2，
∴b＝eq \r(3)a或b＝eq \r(5)a.
故选ABCD.
答案：ABCD
8．解析：因为△F1AF2的面积为20，所以eq \f(1,2)·|F1F2|·4＝eq \f(1,2)·(2eq \r(9＋b2))·4＝20⇒b2＝16，
所以eq \f(b2,a2)＝eq \f(16,9)⇒e＝eq \f(c,a)＝eq \r(1＋\f(b2,a2))＝eq \r(1＋\f(16,9))＝eq \f(5,3).
答案：eq \f(5,3)
9．解析：(1)依题意，由a2＋b2＝4，得双曲线方程为eq \f(x2,a2)－eq \f(y2,4－a2)＝1(0将点(3，eq \r(7))代入上式，得eq \f(9,a2)－eq \f(7,4－a2)＝1，解得a2＝18(舍去)或a2＝2，
故所求双曲线方程为eq \f(x2,2)－eq \f(y2,2)＝1.
(2)依题意，可设直线l的方程为y＝kx＋2，代入双曲线C的方程并整理，
得(1－k2)x2－4kx－6＝0.
∵直线l与双曲线C交于不同的两点E，F，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1－k2≠0，,Δ＝－4k2＋241－k2>0，))
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(k≠±1，,－\r(3)设E(x1，y1)，F(x2，y2)，
则x1＋x2＝eq \f(4k,1－k2)，x1x2＝－eq \f(6,1－k2)，而原点O到直线l的距离d＝eq \f(2,\r(1＋k2))，
∴|EF|＝eq \r(1＋k2)·eq \r(x1＋x22－4x1x2)＝eq \r(1＋k2)·eq \f(2\r(2)·\r(3－k2),|1－k2|)，而原点O到直线l的距离d＝eq \f(2,\r(1＋k2))，
∴S△OEF＝eq \f(1,2)d·|EF|＝eq \f(1,2)×eq \f(2,\r(1＋k2))×eq \r(1＋k2)·eq \f(2\r(2)·\r(3－k2),|1－k2|)＝eq \f(2\r(2)·\r(3－k2),|1－k2|)＝2eq \r(2)⇔k4－k2－2＝0，
解得k＝±eq \r(2)满足条件，故满足条件的直线l有两条，分别为y＝eq \r(2)x＋2和y＝－eq \r(2)x＋2.
10．解析：设双曲线的焦距为2c，
则依题意，有|PF2|＝|F1F2|＝2c，|PF1|＝2a－2c＝2m＋2c，e1＝eq \f(c,a)，e2＝eq \f(c,m).
由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(|PF1|＝2a－2c>|PF2|＝2c，,|PF2|＋|F1F2|＝4c>|PF1|＝2a－2c，))
得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(a>2c，,a<3c，))于是，eq \f(1,3)又e2＝eq \f(c,m)＝eq \f(c,a－2c)＝eq \f(e1,1－2e1).
∴e2－e1＝eq \f(e1,1－2e1)－e1.
设1－2e1＝t，则t∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,3)))，
e2－e1＝eq \f(e1,1－2e1)－e1＝eq \f(1－t,2t)－eq \f(1－t,2)＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t＋\f(1,t)))－1.
由f(t)＝eq \f(1,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t＋\f(1,t)))－1，t∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,3)))为减函数，得其值域为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)，＋∞)).
∴e2－e1的取值范围为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)，＋∞)).
答案：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,3)，＋∞))