课时作业(二十一) 椭圆的简单几何性质

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1．已知椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的离心率为eq \f(1,2)，则( )
A．a2＝2b2 B．3a2＝4b2
C．a＝2b D．3a＝4b
2．中心在原点，焦点在坐标轴上，离心率为eq \f(\r(3),2)，且过点(2,0)的椭圆的方程是( )
A.eq \f(x2,4)＋y2＝1
B.eq \f(x2,4)＋y2＝1或x2＋eq \f(y2,4)＝1
C．x2＋4y2＝1
D．x2＋4y2＝4或4x2＋y2＝16
3．已知a>0，椭圆x2＋a2y2＝2a的长轴长是短轴长的3倍，则a的值为( )
A.eq \f(1,3) B．3
C．3或eq \f(1,3) D.eq \r(3)
4．已知椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左焦点为F，右顶点为A，点B在椭圆上，且BF⊥x轴，直线AB交y轴于点P.若eq \(AP,\s\up6(→))＝2eq \(PB,\s\up6(→))，则椭圆的离心率是( )
A.eq \f(\r(3),2) B.eq \f(\r(2),2)
C.eq \f(1,3) D.eq \f(1,2)
5．已知椭圆的短半轴长为1，离心率e满足06．求椭圆m2x2＋4m2y2＝1(m>0)的长轴长、短轴长、焦点坐标、顶点坐标和离心率．
[提能力]
7．(多选)已知P是椭圆E：eq \f(x2,8)＋eq \f(y2,4)＝1上一点，F1，F2为其左右焦点，且△F1PF2的面积为3，则下列说法正确的是( )
A．P点纵坐标为3
B．∠F1PF2>eq \f(π,2)
C．△F1PF2的周长为4(eq \r(2)＋1)
D．△F1PF2的内切圆半径为eq \f(3,2)(eq \r(2)－1)
8．已知椭圆E：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：3x－4y＝0交椭圆E于A，B两点．若|AF|＋|BF|＝4，点M到直线l的距离不小于eq \f(4,5)，则椭圆E的离心率的取值范围是________．
9．如图，椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1，F2，过F2的直线交椭圆于P，Q两点，且PQ⊥PF1
(1)若|PF1|＝2＋eq \r(2)，|PF2|＝2－eq \r(2)，求椭圆的标准方程
(2)若|PF1|＝|PQ|，求椭圆的离心率e.
[战疑难]
10．椭圆eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，直线l1：y＝－eq \f(1,2)x，直线l2：y＝eq \f(1,2)x，P为椭圆上任意一点，过点P作PM∥l1且与直线l2交于点M，作PN∥l2且与直线l1交于点N，若|PM|2＋|PN|2为定值，则( )
A．ab＝2 B．ab＝3
C.eq \f(a,b)＝2 D.eq \f(a,b)＝3
课时作业(二十一)
1．解析：椭圆的离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(1,2)，c2＝a2－b2，化简得3a2＝4b2，故选B.
答案：B
2．解析：若焦点在x轴上，则a＝2.又e＝eq \f(\r(3),2)，
∴c＝eq \r(3)，∴b2＝a2－c2＝1，
∴椭圆方程为eq \f(x2,4)＋y2＝1，即x2＋4y2＝4.
若焦点在y轴上，则b＝2.又e＝eq \f(\r(3),2)，∴eq \f(b2,a2)＝1－eq \f(3,4)＝eq \f(1,4)，
∴a2＝4b2＝16，∴椭圆方程为eq \f(x2,4)＋eq \f(y2,16)＝1，即4x2＋y2＝16.
答案：D
3．解析：x2＋a2y2＝2a可变为eq \f(x2,2a)＋eq \f(y2,\f(2,a))＝1，a>0，
由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2a>\f(2,a),2a＝9×\f(2,a)))，解得a＝3，或eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(\f(2,a)>2a,\f(2,a)＝9×2a))解得a＝eq \f(1,3)，
故a＝3或a＝eq \f(1,3)
故选C.
答案：C
4．解析：∵eq \(AP,\s\up10(→))＝2eq \(PB,\s\up10(→))，∴|eq \(AP,\s\up10(→))|＝2|eq \(PB,\s\up10(→))|，
又∵PO∥BF，∴eq \f(|PA|,|AB|)＝eq \f(|AO|,|AF|)＝eq \f(2,3)，
即eq \f(a,a＋c)＝eq \f(2,3)，∴e＝eq \f(c,a)＝eq \f(1,2).故选D.
答案：D
5．解析：由e2＝eq \f(c2,a2)＝eq \f(a2－b2,a2)＝1－eq \f(1,a2)得0<1－eq \f(1,a2)≤eq \f(3,4)，
即－1<－eq \f(1,a2)≤－eq \f(1,4)，所以eq \f(1,4)≤eq \f(1,a2)<1.
所以1答案：(2,4]
6．解析：椭圆的方程m2x2＋4m2y2＝1(m>0)可转化为eq \f(x2,\f(1,m2))＋eq \f(y2,\f(1,4m2))＝1.
因为m2<4m2，所以eq \f(1,m2)>eq \f(1,4m2)，
所以椭圆的焦点在x轴上，并且长半轴长a＝eq \f(1,m)，短半轴长b＝eq \f(1,2m)，半焦距长c＝eq \f(\r(3),2m).
所以椭圆的长轴长2a＝eq \f(2,m)，短轴长2b＝eq \f(1,m)，
焦点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(3),2m)，0))，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(3),2m)，0))，
顶点坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,m)，0))，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,m)，0))，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，－\f(1,2m)))，eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(1,2m))).
离心率e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\f(\r(3),2m),\f(1,m))＝eq \f(\r(3),2).
7．解析：由已知a＝2eq \r(2)，b＝2，c＝2，不妨设P(m，n)，m>0，n>0，则S△F1PF2＝eq \f(1,2)×2c×n＝3
∴n＝eq \f(3,2)，故A错；
∴eq \f(m2,8)＋eq \f(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,2)))2,4)＝1，得m＝eq \f(\r(14),2)，∴Peq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(14),2)，\f(3,2)))，
∴|PF1|2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(14),2)＋2))2＋eq \f(9,4)＝eq \f(39,4)＋2eq \r(14)，
|PF2|2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(14),2)－2))2＋eq \f(9,4)＝eq \f(39,4)－2eq \r(14)
∴|PF1|2＋|PF2|2－(2c)2＝eq \f(39,4)×2－16＝eq \f(7,2)>0，
∴cs ∠F1PF2＝eq \f(|PF1|2＋|PF2|2－2c2,2|PF1|·|PF2|)>0，
∴∠F1PF2由椭圆定义，△F1PF2的周长＝2a＋2c＝4eq \r(2)＋4，故C正确；
设△F1PF2的内切圆半径为r，
eq \f(1,2)r·(4eq \r(2)＋4)＝3，∴r＝eq \f(3,2)(eq \r(2)－1)，故D正确；
故选CD.
答案：CD
8．解析：设椭圆的左焦点为F1，半焦距为c，连接AF1，BF1，则四边形AF1BF为平行四边形，所以|AF1|＋|BF1|＝|AF|＋|BF|＝4.根据椭圆定义，有|AF1|＋|AF|＋|BF1|＋|BF|＝4a，所以8＝4a，解得a＝2.因为点M到直线l：3x－4y＝0的距离不小于eq \f(4,5)，即eq \f(4b,5)≥eq \f(4,5)，b≥1，所以b2≥1，即a2－c2≥1,4－c2≥1，解得0答案：eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(\r(3),2)))
9．解析：(1)由椭圆的定义，2a＝|PF1|＋|PF2|＝(2＋eq \r(2))＋(2－eq \r(2))＝4，故a＝2.
设椭圆的半焦距为c，由已知PF1⊥PF2，因此
2c＝|F1F2|＝eq \r(|PF1|2＋|PF2|2)＝eq \r(2＋\r(2)2＋2－\r(2)2)＝2eq \r(3)，即c＝eq \r(3).
从而b＝eq \r(a2－c2)＝1
故所求椭圆的标准方程为eq \f(x2,4)＋y2＝1.
(2)解法一 设点P(x0，y0)在椭圆上，且PF1⊥PF2，则
eq \f(x\\al(2,0),a2)＋eq \f(y\\al(2,0),b2)＝1，xeq \\al(2,0)＋yeq \\al(2,0)＝c2
求得x0＝±eq \f(a,c)eq \r(a2－2b2)，y0＝±eq \f(b2,c).
由|PF1|＝|PQ|>|PF2|，得x0>0，从而
|PF1|2＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(a,c)\r(a2－2b2)＋c))2＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b2,c)))2＝2(a2－b2)＋2aeq \r(a2－2b2)＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a＋\r(a2－2b2)))2.
由椭圆的定义，|PF1|＋|PF2|＝2a，|QF1|＋|QF2|＝2a，从而由|PF1|＝|PQ|＝|PF2|＋|QF2|，有|QF1|＝4a－2|PF1|
又由PF1⊥PF2，|PF1|＝|PQ|知|QF1|＝eq \r(2)|PF1|，因此(2＋eq \r(2))|PF1|＝4a
于是(2＋eq \r(2))eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(a＋\r(a2－2b2)))＝4a.
解得e＝eq \r(\f(1,2)\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(1＋\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,2＋\r(2))－1))2)))＝eq \r(6)－eq \r(3).
解法二 如图由椭圆的定义，
|PF1|＋|PF2|＝2a，|QF1|＋|QF2|＝2a，从而由|PF1|＝|PQ|＝|PF2|＋|QF2|，
有|QF1|＝4a－2|PF1|
又由PF1⊥PF2，|PF1|＝|PQ|知|QF1|＝eq \r(2)|PF1|，因此
4a－2|PF1|＝eq \r(2)|PF1|，
|PF1|＝2(2－eq \r(2))a，从而
|PF2|＝2a－|PF1|＝2a－2(2－eq \r(2))a＝2(eq \r(2)－1)a
由PF1⊥PF2，知|PF1|2＋|PF2|2＝|F1F2|2＝(2c)2＝4c2，因此
e＝eq \f(c,a)＝eq \f(\r(|PF1|2＋|PF2|2),2a)＝eq \r(2－\r(2)2＋\r(2)－12)
＝eq \r(9－6\r(2))＝eq \r(6)－eq \r(3)
10．解析：设M(2m，m)，N(2n，－n)，则P(2(m＋n)，m－n)，由题意知，|PM|2＋|PN|2为定值，因此|OM|2＋|ON|2＝|PM|2＋|PN|2＝5(m2＋n2)为定值．因为点P在椭圆上，所以有
eq \f(4m＋n2,a2)＋eq \f(m－n2,b2)＝1，
即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(4,a2)＋\f(1,b2)))(m2＋n2)＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(8,a2)－\f(2,b2)))mn＝1，
从而可得eq \f(8,a2)＝eq \f(2,b2)，即eq \f(a,b)＝2，故选C.
答案：C