课时作业(十四) 两条直线的交点坐标　两点间的距离公式

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1．直线eq \r(3)x－y＝0与x＋y＝0的位置关系是( )
A．相交但不垂直 B．平行
C．重合 D．垂直
2．已知两条直线2x＋3y－k＝0和x－ky＋12＝0的交点在y轴上，那么k的值是( )
A．－24 B．6
C．±6 D．以上都不对
3．已知直角坐标平面上连接点(－2,5)和点M的线段的中点是(1,0)，那么点M到原点的距离为( )
A．41 B.eq \r(41)
C.eq \r(39) D．39
4．已知直线y＝kx＋2k＋1与直线y＝－x＋2的交点位于第一象限，则实数k的取值范围是( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,4)，\f(1,2))) B.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,4)，\f(1,2)))
C.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,4)，\f(1,2))) D.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(－\f(1,4)，\f(1,2)))
5．(多填题)已知直线ax＋2y－1＝0与直线2x－5y＋c＝0垂直相交于点(1，m)，则a＝________，m＝________.
6．分别求经过两条直线2x＋y－3＝0和x－y＝0的交点，且符合下列条件的直线方程．
(1)平行于直线l1：4x－2y－7＝0；
(2)垂直于直线l2：3x－2y＋4＝0.
[提能力]
7．已知点M(0，－1)，点N在直线x－y＋1＝0上，若直线MN垂直于直线x＋2y－3＝0，则N点的坐标是( )
A．(2,3) B．(－2，－1)
C．(－4，－3) D．(0,1)
8．已知△ABC的顶点A(2,3)，B(－1,0)，C(2,0)，则△ABC的周长是________．
9．已知△ABC是直角三角形，斜边BC的中点为M，建立适当的直角坐标系．求证：|AM|＝eq \f(1,2)|BC|.
[战疑难]
10．已知函数y＝2x的图象与y轴交于点A，函数y＝lgx的图象与x轴交于点B，点P在直线AB上移动，点Q(0，－2)，则|PQ|的最小值为________．
课时作业(十四)
1．解析：易知A1＝eq \r(3)，B1＝－1，A2＝1，B2＝1，则A1B2－A2B1＝eq \r(3)×1－1×(－1)＝eq \r(3)＋1≠0，又A1A2＋B1B2＝eq \r(3)×1＋(－1)×1＝eq \r(3)－1≠0，则这两条直线相交但不垂直．故选A.
答案：A
2．解析：联立两条直线的方程得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x＋3y－k＝0，,x－ky＋12＝0，))解得x＝eq \f(k2－36,3＋2k)，
∵两直线交点在y轴上，∴eq \f(k2－36,3＋2k)＝0，
∴k＝±6(经检验知符合题意)．故选C.
答案：C
3．解析：设M(x，y)，由题意得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1＝\f(－2＋x,2)，,0＝\f(5＋y,2)，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝4，,y＝－5，))
∴M(4，－5)．则M到原点的距离为eq \r(4－02＋－5－02)＝eq \r(41).故选B.
答案：B
4．解析：直线y＝－x＋2与两坐标轴的交点为A(0,2)，B(2,0)，直线y＝kx＋2k＋1恒过定点P(－2,1)，要使两直线的交点位于第一象限，只需实数k满足：kPB＜k＜kPA，即－eq \f(1,4)＜k＜eq \f(1,2).故选A.
答案：A
5．解析：由两直线垂直得2a－10＝0，解得a＝5.又点(1，m)在直线上得a＋2m－1＝0,2－5m＋c＝0，解得m＝－2.
答案：5，－2
6．解析：解方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x＋y－3＝0，,x－y＝0，))得交点P(1,1)，
(1)若直线与l1平行，
∵k1＝2，∴斜率k＝2，∴所求直线y－1＝2(x－1)，即2x－y－1＝0.
(2)若直线与l2垂直，∵k2＝eq \f(3,2)，∴斜率k＝－eq \f(1,k2)＝－eq \f(2,3)，
∴y－1＝－eq \f(2,3)(x－1)，即2x＋3y－5＝0.
7．解析：由题意知，直线MN过点M(0，－1)且与直线x＋2y－3＝0垂直，其方程为2x－y－1＝0.直线MN与直线x－y＋1＝0的交点为N，联立方程组eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2x－y－1＝0，,x－y＋1＝0，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝2，,y＝3，))即N点坐标为(2,3)．
答案：A
8．解析：|AB|＝eq \r(2＋12＋32)＝3eq \r(2)，|BC|＝eq \r(2＋12＋0)＝3，|AC|＝eq \r(2－22＋32)＝3，则△ABC的周长为6＋3eq \r(2).
答案：6＋3eq \r(2)
9.
证明：如图所示，以Rt△ABC的直角边AB，AC所在直线为坐标轴，建立平面直角坐标系，则A(0,0)，设B，C两点的坐标分别为(b,0)，(0，c)．因为点M是BC的中点，故点M的坐标为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(0＋b,2)，\f(c＋0,2)))，即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(b,2)，\f(c,2))).由两点间距离公式得|BC|＝eq \r(c2＋b2)，|AM|＝eq \r(\f(b2,4)＋\f(c2,4))＝eq \f(\r(b2＋c2),2)，
所以|AM|＝eq \f(1,2)|BC|.
10．解析：易知A(0,1)，B(1,0)，所以直线AB：y＝1－x.
又Q(0，－2)，设P(x0，y0)，则y0＝1－x0，所以|PQ|＝eq \r(x0－02＋y0＋22)＝eq \r(x\\al(2,0)＋3－x02)＝eq \r(2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x0－\f(3,2)))2＋\f(9,2))≥eq \r(\f(9,2))＝eq \f(3\r(2),2)(当且仅当x0＝eq \f(3,2)时等号成立)，所以|PQ|的最小值为eq \f(3\r(2),2).
答案：eq \f(3\r(2),2)