2021-2022学年河北省邢台市南和一中高一（下）第三次月考数学试卷（含答案解析）

2021-2022学年河北省邢台市南和一中高一（下）第三次月考数学试卷

1.  已知三棱柱有a个顶点，b条棱，则(    )

A.  B. 3 C. 4 D.

2.  在中，，D为BC的中点，以AD所在的直线为轴，其余三边旋转半周形成的面围成一个几何体，则该几何体为(    )

A. 圆柱 B. 圆锥 C. 圆台 D. 球

3.  下列说法正确的是(    )

A. 三点确定一个平面 B. 三角形可以确定一个平面
C. 没有公共点的两条直线是异面直线 D. 两条异面直线的夹角可能为钝角

4.  水平放置的平面四边形ABCD的斜二测直观图为一个上底为1，下底为2，高为10的梯形，则四边形ABCD的实际面积为(    )

A. 15 B.  C. 30 D.

5.  某款厨房用具中的香料收纳罐的实物图如图1所示，该几何体为上、下底面周长分别为36cm，28cm的正四棱台，若棱台的高为3cm，忽略收纳罐的厚度，则该香料收纳罐的容积为(    )

A.  B.  C.  D.

6.  已知l，m，n是三条不同的直线，，是两个不同的平面．若，，，，则(    )

A.  B.  C.  D.

7.  已知某圆柱的内切球半径为，则该圆柱的侧面积为(    )

A.  B.  C.  D.

8.  如图1，蜜蜂蜂房是由严格的正六棱柱构成的，它的一端是平整的六边形开口．六边形开口可记为图2中的正六边形ABCDEF，其中O为正六边形ABCDEF的中心，，，则(    )

A.  B.  C.  D.

9.  已知向量，，则下列结论正确的是(    )

A.  B.
C.  D.

10.  已知复数z满足，则(    )

A. z的实部为 B.
C. 在复平面内对应的点位于第二象限 D.

11.  在长方体中，，，点P为线段上的一动点，则(    )

A. 所在的直线与所在的直线为异面直线
B. AC平行于平面内的任意一条直线
C. 的最小值为
D. 三棱锥的体积为定值

12.  在棱长为3的正方体中，P为内一点，若的面积为，则四面体的体积可能为(    )

A.  B.  C.  D.

13.  如图，在长方体中，M，N分别是EH和FG的中点，则在三条直线AD，CD，BF中，与直线MN是异面直线的共有______条．

14.  若，其中i是虚数单位，a，，则______；若为实数，则实数______.

15.  柏拉图立体是指多面体的各个面都是全等的正多边形，例如正四面体．现有一个正八面体，每个面都是边长为2的正三角形，则该正八面体的体积为______.

16.  记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，若O为的重心，，，则______.

17.  已知平面内的三点，，，，且向量
求m的值；
求向量与的夹角．

18.  一个四棱锥木块如图所示，点O在内，过点O将木块锯开，使截面平行于直线PC和AB，请作出截面，即画出截面与木块表面相交的每条线段，并说明作法及理由．

19.  如图，在三棱柱中，底面ABC，，，，D是棱的中点．
证明：平面平面；
求三棱锥的体积．

20.  记的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且
求A的大小；
若A的角平分线交BC于D，且，求面积的最小值．

21.  如图，在四棱锥中，，，，，，
证明：平面ABCD；
若M为PD的中点，求P到平面MAC的距离．

22.  如图，在正三棱柱中，O为与的交点，M为的中点，
证明：平面；
若G为线段FC上一动点，在平面上是否存在一点N，使得平面恒成立？若存在，请找出点N位置，并证明平面；若不存在，请说明理由．

答案和解析

1.【答案】A 

【解析】解：三棱柱有a个顶点，b条棱，
由三棱柱的结构特征得：，，

故选：
利用三棱柱的结构特征直接求解．
本题考查三棱柱的结构特征等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
 

2.【答案】B 

【解析】解：中，，D为BC的中点，所以，
以AD所在的直线为轴，其余三边旋转半周形成的面围成一个几何体，是圆锥．
故选：
根据圆锥的定义知该旋转体是圆锥．
本题考查了圆锥的定义与应用问题，是基础题．
 

3.【答案】B 

【解析】解：根据不共线的三点确定一个平面，所以三角形可以确定一个平面，故选项A错误，选项B正确．
没有公共点的两条直线可能是平行的共面直线，故选项C错误，
两条异面直线的夹角不可能为钝角，故选项D错误．
故选：
根据平面的基本性质及异面直线及其所成角的定义即可逐一判断．
本题考查了异面直线及其所成角，以及平面的基本性质，属于基础题．
 

4.【答案】D 

【解析】解：由题可知，水平放置的平面四边形ABCD的斜二测直观图为一个上底为1，下底为2，高为10的梯形，该梯形的面积为
由斜二测画法得，四边形ABCD的实际面积为
故选：
根据已知算出直观图的面积，结合，可得答案．
本题考查的知识点是斜二测画法，熟练掌握水平放置的图象，是解答的关键．
 

5.【答案】B 

【解析】解：该几何体为上、下底面周长分别为36cm，28cm的正四棱台，棱台的高为3cm，
由题意可知，该四棱台的上、下底面边长分别为9cm，7cm，
故该香料收纳罐的容积为
故选：
利用台体的体积公式直接计算．
本题考查了台体的体积公式，属于基础题．
 

6.【答案】D 

【解析】解：由，，得，
由，，
又，或l与n相交或l与n异面．
正确的选项是
故选：
由已知可得，进一步得到，再由，可得l与n的关系，则答案可求．
本题考查空间中直线与直线、直线与平面位置关系的判定及应用，考查空间想象能力与思维能力，是基础题．
 

7.【答案】D 

【解析】解：画出该几何体的轴截面，如图所示：
由题意得，该圆柱底面圆的半径为，圆柱的高为，
所以该圆柱的侧面积为
故选：
由题意得出该圆柱底面圆的半径和高，由此计算圆柱的侧面积．
本题考查了圆柱与球的结构特征应用问题，是基础题．
 

8.【答案】B 

【解析】解：如图，连接AD，CF，由正六边形的性质可知，
，，，
所以
，
故选：
连接AD，CF，由正六边形的性质可知，，，，然后根据平面向量基本定理化简即可求解．
本题考查了平面向量基本定理的应用，考查了学生的运算求解能力，属于基础题．
 

9.【答案】ACD 

【解析】

【分析】

本题主要考查向量线性运算的坐标表示，向量数量积的坐标表示，向量垂直的判定，属于基础题．
由题意，利用向量线性运算的坐标表示，向量的数量积的坐标表示，向量垂直的判定，即可计算求得结果．

【解答】

解：由向量，，得，故A正确；
根据，故B错误；
根据，故C正确；
，，
根据，可得，故D正确.
故选

10.【答案】AD 

【解析】解：由，，
，
，
在复平面内对应的点位于第四象限，

故选：
利用复数的周期性、四则运算法则、几何意义即可得出结论．
本题考查了复数的周期性、四则运算法则、几何意义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
 

11.【答案】ACD 

【解析】解：对于A，所在的直线与所在的直线为异面直线，A正确．
对于B，平面，但AC不一定平行于平面内的任意一条直线，如AC与不平行，所以B错误．

对于C，将矩形和沿展开为矩形，则，C正确．
因为平面，所以P到平面的距离为定值，所以三棱锥的体积为定值，D正确．
故选：
对于A，由异面直线的定义判断，对于B，举例判断，对于C，将矩形和沿展开为矩形，再判断，对于D，由于平面，从而可得结论．
本题主要考查异面直线的判定，线面平行的性质，锥体体积的计算，立体几何中的最值问题等知识，属于中等题．
 

12.【答案】ACD 

【解析】解：设与平面相交于点O，如图，

由题可知平面，
又，则，即点P的轨迹是以O为原点，1为半径的圆，
由得，解得，
而O到的距离为，
由P为以O为原点，1为半径的圆上的动点知：的最大值为，最小值为，
所以四面体体积的最大值为，最小值为，
所以四面体的体积的范围为
故选：
由的面积可求出得出动点P的轨迹，根据点P的轨迹求出的最大最小值，利用三棱锥的体积公式可求四面体体积的范围即可求解．
本题考查了四面体的体积计算，属于中档题．
 

13.【答案】2 

【解析】解：如图，在长方体中，
M，N分别是EH和FG的中点，
则在三条直线AD，CD，BF中，
AD，BF均与MN异面，MN与CD共面．
在三条直线AD，CD，BF中，
与直线MN是异面直线的共有2条．
故答案为：
利用异面直线的定义直接求解．
本题考查异面直线的判断，考查异面直线的定义等基础知识，考查空间思维能力，是基础题．
 

14.【答案】  5 

【解析】解：因为，
，解得，
故，
为实数，
，解得
故答案为：；
根据已知条件，结合复数相等的条件，复数模公式，实数的定义，即可求解．
本题主要考查复数相等的条件，复数模公式，实数的定义，属于基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：由题意可知，正八面体是由两个完全相同的正四棱锥组成的，
易知正四棱锥的底面是边长为2的正方形，则正四棱锥的高，
故该正八面体的体积为
故答案为：
根据题意，正八面体是由两个完全相同的正四棱锥组成的，然后求解正四棱锥的体积即可得到答案．
本题考查了正八面体的体积计算，属于基础题．
 

16.【答案】 

【解析】解：连接AO，延长AO交BC于D，

由题意得，D为BC的中点，
因为，所以，，
在中，由余弦定理知，，
在中，由余弦定理知，，
因为，
所以，化简得，
由余弦定理知，
故答案为：
连接AO，延长AO交BC于D，结合直角三角形的性质与重心的性质，可得，在和中，均利用余弦定理，根据，推出，再利用余弦定理，得解．
本题考查三角形中的几何计算，熟练掌握余弦定理，重心的性质是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
 

17.【答案】解：根据题意，平面内的三点，，，
则，，
又由向量则有，解得
因为，
所以
又由，，则；
故向量与的夹角为 

【解析】根据题意，由向量平行的坐标表示方法可得关于m的方程，解可得答案；
根据题意，由数量积的计算公式可得，的值，分析可得答案．
本题考查向量数量积的性质以及应用，涉及向量平行的判断方法，属于基础题．
 

18.【答案】解：一个四棱锥木块如图所示，点O在内，过点O将木块锯开，使截面平行于直线PC和AB，
如图，过点O作，分别交PB，BC于点E，F，

过点E作，交PA于点H，过点F作，交AD于点G，连接GH，
截面为四边形EHGF，
理由如下：，，，
，F，G，H四点共面，
，平面EFGH，平面EFGH，平面EFGH，
，平面EFGH，平面EFGH，平面 

【解析】过点O作，分别交PB，BC于点E，F，过点E作，交PA于点H，过点F作，交AD于点G，连接GH，然后由线面平行的判定可证得平面EFGH，平面
本题考查了线面平行的应用，属于中档题．
 

19.【答案】解：证明：平面ABC，平面ABC，
，
又，，AC，平面，
平面，
平面BCD，
平面平面
四边形为矩形，D是棱的中点，，，
，
，
，
 

【解析】根据题设条件可证得平面，结合面面垂直的判定即可得证；
利用等体积法直接求解即可．
本题考查面面垂直的判定以及三棱锥体积的求法，考查逻辑推理能力及运算求解能力，属于中档题．
 

20.【答案】解：的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且
由正弦定理，得，
得，
得，
因为，所以，即
的角平分线交BC于D，且，
因为，
所以
因为，即当且仅当时，等号成立，
所以故面积的最小值为 

【解析】由正弦定理，结合两角和与差的三角函数推出，求解即可．
利用三角形的面积通过结合基本不等式推出，然后求解面积的最小值．
本题考查三角形中的几何计算，正弦定理以及基本不等式的应用，是中档题．
 

21.【答案】解：证明：因为，，
所以，
又，
所以为等边三角形，
所以，，
在中，由余弦定理得
，
所以，所以
因为，且，平面PAC，
所以平面
因为平面PAC，所以
因为，且AB，CD相交，平面ABCD，
所以平面
因为，，，
所以的面积为
因为M为PD的中点，，，
所以三棱锥的高为1，
所以三棱锥的体积为
在中，，，
所以的面积为
记D到平面MAC的距离为d，
则，所以
因为M为PD的中点，所以，
则，
所以P到平面MAC的距离与D到平面MAC的距离相等，
故P到平面MAC的距离为 

【解析】本题考查线面垂直的证明，考查点到平面的距离的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，属于中档题．
推导出，，从而平面PAC，，再由，能证明平面
求出的面积和三棱锥的高，从而求出三棱锥的体积，求出的面积和D到平面MAC的距离，P到平面MAC的距离与D到平面MAC的距离相等，由此能求出P到平面MAC的距离．
 

22.【答案】解：由题意得，O为的中点，
因为M为的中点，所以OM为的中位线，
所以，
又平面，平面，
所以平面；
存在点
理由如下：
如图，延长，使得
因为，所以，所以
又平面，平面，
所以平面；
因为，所以，
又平面，平面，
所以平面
又FN，平面FCN且，
所以平面平面FCN，
因为平面FCN，所以平面 

【解析】由三角形的中位线定理和线面平行的判定定理可得证明；
延长，使得由面面平行的判定定理推得平面平面FCN，再由面面平行的性质定理可得结论．
本题考查线面平行、面面平行的判定和性质，考查转化思想、运算能力和推理能力，属于中档题．