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    2021-2022学年江苏省淮安市金湖县、洪泽等四校联盟高一(下)第三次学情调查数学试卷(含答案解析)

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    2021-2022学年江苏省淮安市金湖县、洪泽等四校联盟高一(下)第三次学情调查数学试卷(含答案解析)

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    这是一份2021-2022学年江苏省淮安市金湖县、洪泽等四校联盟高一(下)第三次学情调查数学试卷(含答案解析),共16页。
    2021-2022学年江苏省淮安市金湖县、洪泽等四校联盟高一(下)第三次学情调查数学试卷1.  北京2022年冬奥会吉祥物“冰墩墩”和冬残奥会吉祥物“雪容融”很受欢迎,现工厂决定从20只“冰墩墩”,15只“雪容融”和10个北京2022年冬奥会会徽中,采用比例分配分层随机抽样的方法,抽取一个容量为n的样本进行质量检测,若“冰墩墩”抽取了4只,则n(    )A. 3 B. 2 C. 5 D. 92.  已知向量,则实数(    )A.  B.  C. 6 D. 143.  已知,则在复平面内,复数z所对应的点位于(    )A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限4.  在正方体中,点P在线段中点,异面直线CP所成夹角是(    )A.  B.  C.  D. 5.  已知,且均为锐角,则等于(    )A.  B.  C.  D. 6.  已知lm是两条不同的直线,为两个不同的平面,则下面四个命题中,正确的命题是(    )A. ,则 B. ,则
    C. ,则 D. ,则7.  “斗”不仅是我国古代容量单位,还是量粮食的器具,如图所示,其可近似看作正四棱台,上底面是边长为6dm的正方形,下底面是边长为2dm的正方形,高为“斗”的面的厚度忽略不计,则该“斗”的所有侧面的面积之和与下底面的面积之比为(    )A.  B. 16 C.  D. 48.  若圆锥的顶点和底面圆周都在半径为4的同一个球的球面上,两个圆锥的母线长分别为4,则这两个圆锥公共部分的体积为(    )
     A.  B.  C.  D. 9.  中,下列结论正确的是(    )A.
    B.
    C. ,则为等腰三角形
    D. ,则为锐角三角形
     10.  中各角所对得边分别为abc,下列结论正确的有(    )A. ,则为等边三角形
    B. 已知,则
    C. 已知,则最小内角的度数为
    D. ,解三角形有两解
     11.  如图,在中,DEBC的三等分点,且,则(    )A.  B.
    C.  D. 12.  已知甲烷的化学式为,其结构式可看成一个正四面体,其中四个氢原子位于正四面体的四个顶点处,而碳原子恰好在这个正四面体的中心,碳原子与每个氢原子之间均有化学键相连,若我们把每个原子看成一个质点,两个氢原子之间的距离为1,则(    )A. 碳原子与氢原子之间的距离为
    B. 正四面体外接球的体积为
    C. 正四面体的体积为
    D. 任意两个碳氢化学键的夹角的余弦值为13.  已知,则______.14.  一个长方体的长、宽、高分别为983,若在上面钻一个高为3的贯穿上下表面的圆柱形孔后,其表面积没有变化,则孔的半径为______.15.  已知单位向量满足,则______.16.  如图,已知O的重心,且,若,则角A的大小为__________.
     17.  i为虚数单位,,复数
    是实数,求a的值;
    是纯虚数,求
    18.  已知向量满足
    ,求实数的值;
    若设的夹角为,求的大小.19.  在①,②,③,其中S的面积这三个条件中任选一个,补充在下面问题中,并作答问题,在中,角ABC的对边分别是abc,已知,计算的面积
    注:如果选择多个条件分别解答,按第一个解答计分20.  如图,在直三棱柱中,,点DAB的中点.求证:

    平面
    ,求直线与平面所成角的正切值.
    21.  的内角ABC的对边分别为ab已知,点D在边AB上,且
    证明:
    ,求22.  如图,ABCD为圆柱的轴截面,EF是圆柱上异于ADBC的母线.
    证明:平面DEF
    ,当三棱锥的体积最大时,求二面角的余弦值.

    答案和解析 1.【答案】D 【解析】解:根据分层抽样的定义可得:
    解得
    故选:
    根据分层抽样的定义建立比例关系即可.
    本题主要考查分层抽样的应用,根据条件建立比例公式是解决本题的关键.
     2.【答案】D 【解析】【分析】本题考查向量的垂直的判定,属基础题.
    由已知易得的坐标,由成立垂直的充要条件可得关于k的方程,解之即可.【解答】解:


    ,解得
    故选:  3.【答案】B 【解析】解:因为

    所以复数z对应的点在第二象限,
    故选:
    利用复数的运算性质化简复数z,再根据复数z的几何意义即可求解.
    本题考查了复数的运算性质以及几何意义,考查了学生的运算能力,属于基础题.
     4.【答案】A 【解析】解:因为,所以为异面直线CP所成的角,
    又易证为等边三角形,
    ,又点P在线段中点,

    故选:
    ,可得为异面直线CP所成的角,求解即可.
    本题考查异面直线所成角的求法,属基础题.
     5.【答案】D 【解析】解:由于且均为锐角,且满足,所以
    同理,故

    故选:
    首先利用三角函数的定义求出;进一步利用三角函数中角的恒等变换的应用求出结果.
    本题考查的知识要点:三角函数的定义,三角函数的值的求法,角的恒等变换,主要考查学生的运算能力和数学思维能力,属于中档题.
     6.【答案】D 【解析】解:若,则l不一定和垂直,比如:

    A错误,
    ,则或在平面外,故B错误,
    ,则相交,故C错误,
    ,由垂直与平行的性质可知,故D正确,
    故选:
    根据直线,平面之间的位置关系分别判断即可.
    本题考查了直线,平面之间的位置关系,考查转化思想,是基础题.
     7.【答案】A 【解析】解:由题意可知,四棱台的侧面均为等腰梯形,则其斜高为
    所以“斗”的所有侧面的面积之和为
    下底面的面积为
    所以
    故选:
    先计算正四棱台的斜高,再求出所有侧面的面积之和,进而得到答案.
    本题考查四棱台的结构特征.表面积的计算,考查立体几何知识的实际应用,属于基础题.
     8.【答案】A 【解析】解:易得SO在同一条直线上,过该直线作出截面图如图所示.

    是圆锥底面圆的直径,是圆锥底面圆的直径,两直径都与OS垂直.
    中,,则可得
    中,,则,则
    ,所以点O重合.
    这两个圆锥共顶点且底面平行,故它们的公共部分也是一个圆锥,
    其底面半径为,高为
    所以所求体积为
    故选:
    过圆锥的轴作出截面图求解,两个圆锥共顶点且底面平行,故它们的公共部分也是一个圆锥,求出其底面半径和高,即可得所求体积.
    本题考查与球有关的切接问题,体积的计算,解题的关键是过球心作出截面图.
     9.【答案】BC 【解析】解:错误;
    ,且正确;
    为等腰三角形,正确;
    ,则为锐角,但BC不一定都为锐角,不一定是锐角三角形,错误.
    故选:
    根据向量减法的几何意义即可判断选项A错误;根据向量数量积的计算公式即可判断选项B正确;进行数量积的运算即可得出选项C正确;由只能得出A为锐角,得不出为锐角三角形,即得出D错误.
    本题考查了向量减法的几何意义,向量数量积的运算及计算公式,锐角三角形的定义,考查了计算能力,属于基础题.
     10.【答案】ABC 【解析】解:对于A,若


    因为ABC为三角形内角,
    所以,即为等边三角形,故A正确;
    对于B,由可得
    所以
    因为
    所以,故B正确;
    对于C,因为
    所以
    所以
    所以
    因为
    所以,故C正确;
    对于D,因为
    由正弦定理
    所以
    因为
    所以
    所以三角形只有1解,故D错误;
    故选:
    利用正弦定理、余弦定理一-计算可判断正误.
    本题考查了正余弦定理在解三角形中的应用,属于基础题.
     11.【答案】BCD 【解析】解:对于A,故选项A不正确;
    对于B,由题意得DBE的中点,所以,故选项B正确;
    对于C,取DE的中点GDEBC的三等分点,得GBC的中点,且
    所以
    所以,故选项C正确;
    对于D,由GBC的中点,得,两边平方得
    所以,故选项D正确.
    故选:
    根据平面向量的基本定理和线性运算,逐一判断即可.
    本题考查平面向量的基本定理和线性运算,属于基础题.
     12.【答案】ACD 【解析】解:如图所示,正四面体ABCD中,点O是正四面体的中心,连接OAOBOCOD,于是,设点O在平面BCD内的射影为,连接
    正四面体的棱长为1

    即碳原子与氢原子之间的距离为,故A正确,
    A可知,OA为正四面体外接球的半径为,则正四面体外接球的体积为,故B错误,
    正四面体的体积,故C正确,
    ,其中
    中,由余弦定理得
    即任意两个碳氢化学键的夹角的余弦值为,故D正确,
    故选:
    正四面体ABCD中,点O是正四面体的中心,连接OAOBOCOD,设点O在平面BCD内的射影为,连接,由正四面体的棱长为1可得,从而可判断A,再由球的体积公式可判断B,由三棱锥的体积公式可判断C,在中由余弦定理可判断
    本题主要考查了正四面体的结构特征,考查了正四面体的外接球问题,属于中档题.
     13.【答案】 【解析】解:因为
    所以,可得

    故答案为:
    由已知利用两角差的正弦公式,同角三角函数基本关系式即可求解.
    本题主要考查了两角差的正弦公式,同角三角函数基本关系式在三角函数化简求值中的应用,属于基础题.
     14.【答案】3 【解析】解:正方体被钻掉一个圆柱形孔后,正方体的表面积减少了两个圆柱的底面积大小,同时又增加了圆柱的侧面积,
    因为在上面往下面钻一个圆柱形孔后其表面积没有变化,
    所以圆孔的侧面积与两个底面的面积和相等,
    设圆柱的底面半径为r,则,解得
    故答案为:
    根据在上面往下面钻一个圆柱形孔后其表面积没有变化,可知圆孔的侧面积与两个底面的面积和相等,然后列出等式即可求解.
    本题主要考查了圆柱的底面积公式和侧面积公式,属于基础题.
     15.【答案】 【解析】解:根据题意,设向量的夹角为
    若单位向量满足
    ,所以
    所以

    所以
    故答案为:
    根据题意,设向量的夹角为,由数量积的性质可得,求出的值,再由,代入计算可得答案.
    本题考查向量数量积的计算,涉及向量模的计算,属于基础题.
     16.【答案】 【解析】【分析】本题考查三角形中的几何计算,熟练掌握平面向量的线性运算与数量积的运算,余弦定理是解题的关键,考查逻辑推理能力和运算能力,属于中档题.
    BC的中点D,连接AD,结合直角三角形的性质和重心的性质,可得,由,将其两边平方,并利用余弦定理,即可得解.【解答】解:取BC的中点D,连接AD

    因为O的重心,所以点OAD上,
    ,所以
    ,得
    所以,即①,
    由余弦定理知,②,
    由①②可得,
    因为,即
    所以
    因为,所以
    故答案为  17.【答案】解:
    是实数,
    ,解得

    是纯虚数,
    ,解得
     【解析】根据已知条件,结合复数的运算法则,以及实数的定义,即可求解.
    结合纯虚数的定义,以及复数模公式,即可求解.
    本题主要考查纯虚数的定义,复数模公式,属于基础题.
     18.【答案】解:已知向量满足






    不共线,



    解得





     【解析】先证明不共线,然后令,再求解即可;
    ,结合向量模的运算及向量数量积的运算求解即可.
    本题考查了平面向量数量积的运算,重点考查了向量模的运算及向量夹角的运算,属基础题.
     19.【答案】解:因为
    由正弦定理得
    因为
    所以,即
    又因为,可得
    所以
    若选①,即
    则由余弦定理可得
    ,即
    解得
    的面积
    若选②,即,则
    整理得
    由余弦定理得
    因为,所以
    又因为,所以为等边三角形,
    的面积
    若选③,即
    由余弦定理可得
    的面积

    整理得
    因为,所以
    所以
    所以
    的面积 【解析】根据正弦定理、诱导公式和二倍角的正弦公式可得,求出若选①,根据余弦定理可得,结合三角形面积公式计算即可;若选②,根据余弦定理可得,则为等边三角形,即可求出三角形面积;若选③,根据余弦定理和三角形面积公式求出,则为直角三角形,即可求出三角形面积.
    本题主要考查正弦定理、余弦定理的应用,三角形面积公式等知识,属于中等题.
     20.【答案】证明:在直三棱柱中,平面ABC
    ,又
    平面

    的交点为O,连结OD
    为平行四边形,的中点,又DAB的中点,
    是三角形 的中位线,则
    平面平面平面
    连结平面ABC
    DAB的中点,
    ,则平面
    平面平面
    在平面 上的射影,则为直线与平面 所成的角.

    直线与平面 所成的角的正切值为 【解析】由直三棱柱的性质可得平面ABC,即,又,由线面垂直的判定可得平面,则
    的交点为O,连结OD,可得,由线面平行的判定可得平面
    连结,由平面ABC,得,再由,得平面,可知在平面 上的射影,则为直线与平面 所成的角.求解直角三角形得答案.
    本题考查空间中的直线与直线、直线与平面的位置关系,考查了线面角的求法,属中档题.
     21.【答案】证明:在中,因为,所以
    又因为
    所以,即
    中,根据正弦定理,得

    解:在中,
    又由知,,所以
    中,根据余弦定理,得
    又由已知,,得
    所以


    因为

    所以
     【解析】中,由锐角三角函数,得,代入条件,由正弦定理角化边得,即证;
    由三角形等面积法,得,代入可得;将条件同时代入余弦定理,化简后利用辅助角公式得到,由即可求解.
    本题考查了三角函数与解三角形的综合,属于中档题.
     22.【答案】证明:连接AE
    是圆柱上异于ADBC的母线.
    四边形AEFD是矩形,
    是底面和直径,
    底面圆O底面圆O
    EF平面DEF
    平面DEF
    解:由平面DEF

    当且仅当时取等号,即此时三棱锥的体积最大,
    平面BEF平面BEF
    为二面角的平面角,
    中,由

    二面角的余弦值为 【解析】连接AE,证明,可证平面DEF
    ,可求最大体积,可证为二面角的平面角,进而可求二面角的余弦值.
    本题考查线面垂直的证明,二面角的大小的求法,属中档题.
     

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