2021-2022学年江苏省姜堰二中、泰兴第一高级中学高一（下）第二次月考数学试卷（含答案解析）

2021-2022学年江苏省姜堰二中、泰兴第一高级中学高一（下）第二次月考数学试卷

1.  在复平面内，复数z对应的点的坐标是，则(    )

A. 2 B. 3 C.  D. 1

2.  设，是两个不同的平面，l，m是两条不同的直线，则下列命题中正确的是(    )

A. 若，，，则
B. 若\(l⊥α\)，\(l⊥β\)，$\(α\begin\{array\}\{l\}\{\begin\{array\}\{l\}\{\begin\{array\}\{l\}/\!/\end\{array\}\}\end\{array\}\}\end\{array\}β\$\)
C. 若，，则
D. 若$\(α\begin\{array\}\{l\}\{\begin\{array\}\{l\}\{\begin\{array\}\{l\}/\!/\end\{array\}\}\end\{array\}\}\end\{array\}β\$\)，且l与\(α\)所成的角和m与\(β\)所成的角相等，则\(l/\!/m\)

3.  如图，平行四边形ABCD中，E是AD的中点，F在线段BE上，且，记，，则(    )

A.  B.  C.  D.

4.  已知，则的值是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  已知正方体的棱长为2，则三棱锥的体积为(    )

A.  B.  C. 4 D. 6

6.  已知，，，那么M，N，P之间的大小顺序是(    )

A.  B.  C.  D.

7.  在三棱锥中，，，，则该三棱锥的外接球的表面积为(    )

A.  B.  C.  D.

8.  已知向量，甲乙丙丁四位同学通过运算得到如下结果：
甲：与反向的单位向量为；
乙：与垂直的单位向量为；
丙：在向量上的投影向量为；
丁：在向量上的投影向量为
其中有且只有一个人计算错误，则的值为(    )

A.  B. 7 C.  D. 1

9.  某中学高一年级有20个班，每班50人；高二年级有30个班，每班45人；高三年级有13个班，每班50人．甲同学就读于高一，乙同学就读于高二．学校计划从这三个年级中共抽取300人进行视力调查，下列说法中正确的有(    )

A. 应该采用分层随机抽样法
B. 高一、高二、高三年级应分别抽取100人、135人和65人
C. 乙同学被抽到的可能性比甲同学大
D. 该问题中的总体是高一、高二、高三年级的全体学生的视力

10.  在中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，以下说法中正确的是(    )

A. 若，则
B. 若，，，则为锐角三角形
C. 若，则一定是等腰三角形
D. 已知，，符合条件的三角形有两个

11.  攒尖是我国古代建筑中屋顶的一种结构形式，宋代称为最尖，清代称攒尖，通常有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖，也有单檐和重檐之分，多见于亭阁式建筑、园林建筑．下面以四角攒尖为例，如图，它的屋顶部分的轮廓可近似看作一个正四棱锥．已知此正四棱锥的侧面与底面所成的锐二面角为，这个角接近，若取，侧棱长为米，则(    )

A. 正四棱锥的高为米 B. 正四棱锥的底面边长为3米
C. 正四棱锥的侧面积为平方米 D. 正四棱锥的表面积为平方米

12.  中国南宋时期杰出数学家秦九韶在《数书九章》中提出了“三斜求积术”，即以小斜幂，并大斜幂，减中斜幂，余半之，自乘于上；以小斜幂乘大斜幂，减上，余四约之，为实；一为从隅，开平方得积．把以上文字写成公式，即为三角形的面积，a、b、c为三角形的三边现有满足，且的面积，则下列结论正确的是(    )

A. 的周长为 B. 的中线CD的长为
C. 的三个内角满足 D. 的外接圆半径为

13.  已知向量，，若，则实数x等于______.

14.  有一块多边形的菜地，它的水平放置的平面图形的斜二测直观图是直角梯形如图，，，，则这块菜地的面积为______.

15.  已知，，则______.

16.  正方体的棱长为1，点M，N分别是棱BC，的中点，动点P在正方形包括边界内运动，且平面AMN，则的长度范围为______.

17.  已知，其中i是虚数单位，m为实数.
当z为纯虚数时，求m的值；
当复数在复平面内对应的点位于第二象限时，求m的取值范围.

18.  已知向量，满足，且
求；
记向量与向量的夹角为，求

19.  在中，a，b，c分别为角A，B，C的对边，，，且，
求A角大小；
为BC边上一点，，且______，求的面积．
从①AD为的平分线，②D为BC的中点，这两个条件中任选一个补充在上面的横线并作答．如果都选，以选①计分．

20.  如图所示，在四棱锥中，平面PAD，，E是PD的中点．
求证：；
线段AD上是否存在点N，使平面平面PAB，若不存在请说明理由；若存在给出证明．

21.  如图，在直角梯形ABCD中，，，，E为AB的中点，沿DE将折起，使得点A到点P位置，且，M为PB的中点，N是BC上的动点与点B，C不重合

求证：平面平面PBC；
是否存在点N，使得二面角的余弦值？若存在，确定N点位置；若不存在，说明理由．

22.  在平面向量中有如下定理：已知非零向量，，若，则
拓展到空间，类比上述定理，已知非零向量，，若，则___请在空格处填上你认为正确的结论
若非零向量，，，且
利用的结论求当时，求的值；
利用的结论求当k为何值时，分别取到最大、最小值？

答案和解析

1.【答案】D 

【解析】解：复数z对应的点的坐标是，
，

故选：
根据已知条件，结合复数的几何意义，以及复数模公式，即可求解．
本题主要考查复数的几何意义，以及复数模公式，属于基础题．
 

2.【答案】B 

【解析】解：A选项，若，，，l与m可能相交、平行、异面，所以A错误；
B选项，垂直于同一条直线的两个平面平行，所以B正确；
C选项，若，，则或，所以C错误；
D选项，若$\(α\begin\{array\}\{l\}\{\begin\{array\}\{l\}\{\begin\{array\}\{l\}/\!/\end\{array\}\}\end\{array\}\}\end\{array\}β\$\)，且l与\(α\)所成的角和m与\(β\)所成的角相等，l与m可能相交、异面、平行，所以D错误．
故选：
A，根据面面垂直的性质定理判断；B，根据线面垂直的性质定理判断；C，根据面面垂直的性质定理判断；D，根据面面平行的性质定理判断．
本题考查空间中直线、平面之间的位置关系，是基础题．
 

3.【答案】D 

【解析】

【分析】

本题考查平面向量加减运算及基本定理，考查运算能力，属于基础题．
根据条件可知，结合平行四边形性质可解决此题．

【解答】

解：平行四边形ABCD中，E是AD的中点，F在线段BE上，且，
，，


，
故选：

4.【答案】A 

【解析】解：设
故选：
利用角的变换将所要求解的角转化为已知的角表示，再利用二倍角公式求解即可．
本题考查了三角函数的化简求值问题，主要考查了二倍角公式的运用，解决此类问题的关键是将要求的角转化为已知的角表示，考查了逻辑推理能力与化简运算能力，属于中档题．
 

5.【答案】B 

【解析】

【分析】

本题考查多面体体积的求法，考查数形结合的解题思想方法，考查计算能力，是中档题．
由题意画出图形，可知三棱锥是棱长为的正四面体，求出底面积与高，代入棱锥体积公式求解．

【解答】

解：如图，

由图可知，三棱锥是棱长为的正四面体，
设 在底面的射影为O，可得

三棱锥的体积为
故选：

6.【答案】C 

【解析】解：，
，

可得
故选：
利用诱导公式、两角差和的正弦公式、正切公式化简三个式子，由三角函数的性质、以及特殊角的函数值即可判断得解．
本题考查诱导公式，两角差和的正弦公式、正切公式，三角函数的性质，以及特殊角的函数值，属于中档题．
 

7.【答案】B 

【解析】

【分析】
本题考查了三棱锥的外接球的表面积的计算，属于中档题．
的外接圆的圆心是斜边BC的中点D，连结PD，AD，证明平面ABC，设球心为O，球的半径为R，连结OB，解方程即可得解．
【解答】
解：因为，所以，，
所以的外接圆的圆心是斜边BC的中点D，连结PD，AD，
因为，，PD是公共边，
所以，因为，所以，
所以，，，AD，平面ABC，
所以平面ABC，
所以该三棱锥的外接球的球心在PD上，设球心为O，球的半径为R，连结OB，
由题得，
所以，，
所以该三棱锥的外接球的表面积为

故选：  

8.【答案】D 

【解析】解：若甲错误，则乙丙丁正确，由垂直于单位向量，
解得，又由在向量上的投影向量为得到，
在向量上的投影向量为，得到，
此时，不满足，所以不成立；
若乙错误，则甲丙丁正确，与反向的单位向量为，可得，
此时垂直于单位向量，不满足要求；
若丙错误，则甲乙丁正确，由甲乙可得到，由丁：在向量上的投影向量为，可得，此时满足要求，得，，；
若丁错误，则甲乙丙正确，由甲乙可得到，由丙可得，
不满足要求．
故选：
依次分析甲乙丙丁中有且仅有一个人计算错的情况，可知丙错，甲乙丁正确符合要求，计算出x，y，即可得解．
本题考查了单位向量、投影向量、相反向量等向量的相关概念以及向量的垂直关系，属于中档题．
 

9.【答案】ABD 

【解析】

【分析】
本题主要考查了分层随机抽样法的概念，属于基础题．
根据分层随机抽样法的概念逐个判断各个选项即可．
【解答】
解：由于各年级的年龄段不一样，因此应采用分层随机抽样法，故选项A正确，
由于比例为，
所以高一年级1000人中应抽取100人，高二年级1350人中应抽取135人，高三年级650人中应抽取65人，故选项B正确，
因为甲、乙被抽到的可能性都是，故选项C错误，
该问题中的总体是高一、高二、高三年级的全体学生的视力，故选项D正确，
故选：  

10.【答案】ABD 

【解析】解：对于A，，，由正弦定理，，故A正确；
对于B，，，是锐角，故是锐角三角形，B正确；
对于C，，，A，，
即，或，
或是等腰三角形或是直角三角形，故C错误；
对于D，由正弦定理得：，或，故D正确；
故选：
运用正弦定理和余弦定理对每一个选项分析计算可以求解．
本题考查了正余弦定理的应用，属于中档题．
 

11.【答案】AC 

【解析】解：如图，在正四棱锥中，O为正方形ABCD的中心，H为AB的中点，

，，
由二面角的定义得，
设底面边长为2a，
，，，
在中，，，
底面边长为6米，高米，
侧面积平方米，
表面积平方米
故选：
利用已知条件画出图象，设O为正方体ABCD的中心，H为AB的中点，设底面边长为2a，利用二面角定义求出，根据已知条件得到各边的长，进而求出正四棱锥的侧面积即可．
本题考查命题真假的判断，考查正四棱锥的结构特征、侧面积、表面积公式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．
 

12.【答案】ACD 

【解析】解：由正弦定理及，知a：b：：3：，
不妨设，，，
因为，解得，
所以，，，
所以的周长为，即选项A正确；
由余弦定理知，，所以，
因为D为AB的中点，所以，
所以，
所以，即选项B错误；
由余弦定理知，，所以，且为锐角三角形，
又，所以，，
所以，
因为，所以，
所以，即选项C正确；
由正弦定理知，，所以外接圆半径，即选项D正确．
故选：
选项A，不妨设，，，代入面积公式中，可求得m的值，从而知周长；
选项B，先利用余弦定理求得，再由，将其两边平方，结合平面向量的运算法则，得CD的长；
选项C，计算和的值，即可判断；
选项D，由正弦定理，即可得解．
本题考查解三角形，熟练掌握正弦定理，余弦定理，平面向量的运算法则，两角和的正弦公式是解题的关键，考查逻辑推理能力和运算能力，属于中档题．
 

13.【答案】7 

【解析】解：，
，，
解得
故答案为：
，可得，即可得出．
本题考查了向量垂直与数量积的关系，考查了推理能力与计算能力，属于基础题．
 

14.【答案】 

【解析】解：，，
，

故答案为：
求出直观图中，DC，BC，，然后利与用平面图形与直观图形面积的比是，求出平面图形的面积．
本题考查斜二测画法，直观图与平面图形的面积的比例关系的应用，考查计算能力．
 

15.【答案】1 

【解析】解：因为，，
所以，
则
故答案为：
由已知先求出，再由，利用两角和的正切公式求解．
本题主要考查了两角和的正切公式在求解三角函数值的应用，解题的关键是公式的灵活应用，属于中档题．
 

16.【答案】 

【解析】解：如图，

取的中点E，取的中点F，连接BE、EF、，
由三角形中位线定理可得，再由正方体的结构特征可得，四边形为平行四边形，
则，得到平面平面，
动点P在正方形包括边界内运动，且平面AMN，
在线段EF上，则当P位于EF的中点时，的长度最小为，
当P位于E或F点时，的长度最大为
的长度范围为
故答案为：
由题意画出图形，取的中点E，取的中点F，连接BE、EF、，可得平面平面，由此可得P在线段EF上，则的长度范围可求．
本题考查空间中点、线、面间的距离计算，考查空间想象能力与思维能力，考查运算求解能力，是中档题．
 

17.【答案】解：为纯虚数，
，解得；
在复平面内对应的点位于第二象限，
，解得或
的取值范围是 

【解析】直接由实部为0且虚部不为0列式求解m值；
利用复数代数形式的乘除运算化简，再由实部小于0且虚部大于0联立不等式组求解．
本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，考查复数的代数表示法及其几何意义，是基础题．
 

18.【答案】解：已知，
由
则，
则，
则；
由得，
则 

【解析】本题考查了平面向量数量积运算，重点考查了向量模及夹角的运算.
由平面向量数量积运算结合向量模的运算即可；
由平面向量数量积运算结合向量的夹角运算求解即可．
 

19.【答案】解：，，且，
，
，
，
在三角形ABC中，，
，故；
选①：因为AD为的平分线，所以，
又因为，所以，
即，则，
又由余弦定理可得，即，
所以，即，解得或舍去
所以；
选②：因为D为BC的中点，则，，则，
故有，即，
又由余弦定理可得，解得，
所以 

【解析】利用向量共线的坐标运算可求得，再利用正弦定理可求得，从而可求得角A的大小；
选①：利用，结合三角形面积公式可得，再由余弦定理求得bc，即可求出面积；
选②：利用中点以及，得到，再利用余弦定理求得bc，即可求出面积．
本题考查三角函数的恒等变换和三角形的余弦定理、面积公式的运用，考查方程思想和化简运算能力，属于中档题．
 

20.【答案】解：证明：因为平面PAD，平面ABCD，平面平面，所以；
存在，且当点N是AD的中点时，平面平面下面给出证明：
因为E、N分别是PD、AD的中点，所以，
又平面PAB，平面PAB，所以平面
由知，，又N是AD的中点，，所以，
所以四边形ABCN是平行四边形，从而，
又平面PAB，平面PAB，所以平面
又因为，所以，平面平面 

【解析】由线面平行性质定理可以得证；
存在，且当点N是AD的中点时，平面平面分别证得平面PAB和平面PAB，由面面平行判定定理可证得结论．
本题考查线面平行和面面平行的判定定理，属于基础题．
 

21.【答案】解：证明：由，，，
所以平面EBCD，又平面EBCD，
故，又，故平面PEB，
平面PEB，故，
又等腰三角形PEB，，
，故平面PBC，
又平面EMN，
故平面平面PBC；
以E为原点，EB，ED，EP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，
设，设，，，，，，
，，，
设平面EMN的法向量为，
由，得，
平面BEN的法向量为，
故，
得，
故存在N为BC的中点． 

【解析】根据题意，先证明平面PBC，再利用面面垂直的判定定理，证明结论；
以E为原点，EB，ED，EP分别为x，y，z轴建立空间直角坐标系，设，设，求出平面EMN的法向量，利用夹角公式求出m，得到结论．
考查线面垂直，面面垂直的判定定理与性质定理，考查向量法求二面角的余弦值，考查了空间想象能力和数学运算能力，中档题．
 

22.【答案】解：由类比推理，得非零向量，，
若，则
当时，向量，，，
由，得，即，
由，得，即，
两边平方得，

由，得，即，
由，得，即，
两边平方，得，
化简，得，
当时，方程无解；
当时，，
，，解得，
时，，
当时， 

【解析】利用类比推理求解．
由向量的坐标，再根据的结果，两式平方结合两角和与差的三角函数求解．
本题考查简单的归纳推理、向量垂直的性质、三角函数恒等变换、同角三角函数关系式等基础知识，考查运算求解能力，是中档题．