2021-2022学年江苏省南通市如皋市高一下学期期初调研测试数学试题（含答案解析）

2021-2022学年江苏省南通市如皋市高一下学期期初调研测试数学试题

1.  已知集合，，则(    )

A.  B.  C.  D.

2.  已知函数是奇函数，当时，，则(    )

A. 1 B.  C. 3 D.

3.  已知函数的部分图象如图所示，则的解析式可能为(    )
 

A.  B.
C.  D.

4.  将函数的图象向左平移个单位后得到的图象关于y轴对称，则正数m的最小值是(    )

A.  B.  C.  D.

5.  德国数学家狄利克雷在1837年时提出：“如果对于x的每一个值，y总有一个完全确定的值与之对应，那么y是x的函数．”这个定义较清楚地说明了函数的内涵．只要有一个法则，使得取值范围中的每一个x，有一个确定的y和它对应就行了，不管这个法则是用公式还是用图象、表格等形式表示，例如狄利克雷函数，即：当自变量取有理数时，函数值为1；当自变量取无理数时，函数值为以下关于狄利克雷函数的性质：①；②的值域为；③为奇函数；④，其中表述正确的个数是(    )

A. 1 B. 2 C. 3 D. 4

6.  已知，，，则(    )

A.  B.  C.  D.

7.  已知角的终边经过点，且，则实数a的值是(    )

A.  B.  C. 或 D. 1

8.  已知函数，则(    )

A. 2019 B. 2021 C. 2020 D. 2022

9.  下列各组函数中，表示同一函数的是(    )

A.
B.
C.
D.

10.  已知是定义在R上的偶函数，且在上单调递增，则下列结论正确的是(    )

A. 在上单调递减
B. 最多有两个零点
C.
D. 若实数a满足，则

11.  下列说法正确的是(    )

A. “”是“”的充分不必要条件
B. “”是“”的必要不充分条件
C. “对任意一个无理数x，也是无理数”是真命题
D. 命题“，”的否定是“，”

12.  已知，，，下列说法中正确的是(    )

A.  B.  C.  D.

13.  若，则__________.

14.  函数在上的最大值和最小值之差为，则a的值为__________.

15.  已知函数满足，当时，，若不等式的解集是集合的子集，则a的取值范围是__________.

16.  已知函数，，且方程有两个不同的解，则实数m的取值范围为__________，方程解的个数为__________.

17.  已知集合，

当时，求；

若，求a的取值范围．

18.  已知函数，其中

若的最小值为1，求a的值；

若存在，使成立，求a的取值范围．

19.  降噪耳机主要有主动降噪耳机和被动降噪耳机两种．其中主动降噪耳机的工作原理是：先通过微型麦克风采集周围的噪声，然后降噪芯片生成与噪声振幅相同、相位相反的反向声波来抵消噪声如图所示已知某噪声的声波曲线是，其中的振幅为2，且经过点

求该噪声的声波曲线的解析式以及降噪芯片生成的降噪声波曲线的解析式；

先将函数图象上各点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，再将所得函数图像向右平移个单位，得到函数的图象．若锐角满足，求的值．

20.  已知二次函数满足，且不等式的解集为

求的解析式；

若函数在时的值域为，求t的取值范围，

21.  已知函数

若的定义域为R，求a的取值范围；

若对恒成立，求a的取值范围．

22.  已知函数的定义域为，且满足：对任意，都有

求证：函数为奇函数；

若当时，，求证：在上单调递减；

在的条件下解不等式：

答案和解析

1.【答案】C 

【解析】

【分析】

本题考查交集运算，属于容易题.
先解一元二次不等式求出集合A，再根据交集运算求出

【解答】

解：因为，，
所以
故选：

2.【答案】D 

【解析】

【分析】

本题考查函数的奇偶性，属于基础题.
利用奇函数的性质即可求解.

【解答】

解：因为函数为奇函数，
所以，
而
所以
故选：

3.【答案】C 

【解析】

【分析】

本题考查含函数的奇偶性、含函数的奇偶性、奇偶函数图象特征的应用、求函数的零点方程的根、函数图象的识别，属于较易题．
由图象可得为奇函数且有多个零点，由此结合排除法判断各个选项，即可得到答案．

【解答】

解：因为函数的图象关于原点对称，所以为奇函数，
因为为偶函数，为偶函数，故排除选项A、D；
因为满足，所以为奇函数，
令，得，即的零点只有一个0，故排除选项
故选：

4.【答案】A 

【解析】

【分析】

本题考查正弦型函数的图象变换以及由正弦型函数的对称性求参数，属于较易题．
由题意结合正弦型函数的图象变换，得到平移后函数图象所对应的解析式，根据由正弦型函数的对称性求出正数m的最小值．

【解答】

解：把函数的图象向左平移个单位长度，
所得到的图象对应的函数解析式为，
因为所得到的图象关于y轴对称，
所以，即，
所以当时，
故选：

5.【答案】C 

【解析】

【分析】

本题考查函数的新定义，函数定义域与值域，函数的奇偶性，属于中档题．
①②可以直接根据题意得到，③④可以利用题意进行推导出．

【解答】

解：因为是无理数，所以，①正确；
的函数值是1或0，所以的值域为，②正确；
若x是有理数，则是有理数，则，若x是无理数，则是无理数，则，
综上：是偶函数，③错误；
若x是有理数，则是有理数，则，若x是无理数，则是无理数，，④正确．
所以表述正确个数为
故选：

6.【答案】A 

【解析】

【分析】

本题考查利用函数单调性比较大小，属于基础题.
利用正弦函数、指数函数和对数函数的单调性即可比较.

【解答】

解：因为，
所以，
故选：

7.【答案】B 

【解析】

【分析】

本题主要考查任意角的三角函数的定义，考查计算能力，属于基础题．
由题意可得，且，解出a的值即可．

【解答】

解：角的终边经过点，且，
且，即，
，解得或舍去
故实数a的值为
故选：

8.【答案】B 

【解析】

【分析】

本题考查求函数值，属于一般题.
利用即可求解.

【解答】

解：因为，
且，
所以


所以.
故选

9.【答案】ABD 

【解析】

【分析】

本题考查函数的基本概念，属于基础题.
两个函数是同一个函数，当且仅当这两个函数具有相同的定义域、对应关系、值域，由此对选项判断即可.

【解答】

解：对应关系和定义域显然相同，故A正确；
B选项中，因为，所以B正确；
C选项中，的定义域为的定义域为 R，故C不正确；
D选项中，显然的定义域都为，又，，故D正确.
故选：

10.【答案】ACD 

【解析】

【分析】

本题考查函数的奇偶性、单调性、零点问题，涉及指数函数和对数函数的性质，属于中档题.
利用奇偶性和单调性，结合零点的定义和指数函数和对数函数的性质逐个判断即可.

【解答】

解：因为是定义在R上的偶函数，且在上单调递增，
所以在上单调递减，故A正确；
因为无法确定函数在处的函数值，因此最多有三个零点，故B错误；

，因为，所以，故C正确；
若实数a满足，即，则，解得，故D正确；
故选：

11.【答案】AD 

【解析】

【分析】

本题考查充分条件和必要条件，全称量词命题、存在量词命题的否定及真假判定，考查逻辑推理能力，属于基础题．
利用充分条件和必要条件的应用判断AB的结论；直接利用赋值法判定C的结论；利用命题的否定的应用判定D的结论．

【解答】

解：对于A，若，则，
若，因为，所以，所以“”是“”的充分不必要条件，故A正确；
对于B，“”是“”的既不充分也不必要条件，故B错误；
对于C：取为无理数，则为有理数，故C错误；
对于D：命题“，”的否定是“，”故D正确．
故选：

12.【答案】BC 

【解析】

【分析】

本题考查由基本不等式求取值范围以及对数式的化简求值，属于中档题.
利用指数函数的性质可得，取特殊值可得，即可判断A；利用和基本不等式求出的取值范围，即可判断B；利用对数式的化简求值和基本不等式求出的取值范围，即可判断C；利用基本不等式求出的取值范围，即可判断

【解答】

解：对于A，因为，，且，所以，所以，
又，所以，所以，
所以当时，，故A不正确；
对于B，因为，，且，
所以，所以，
当且仅当时，等号成立，故B正确；
对于C，因为，，且，
所以，
当且仅当时，等号成立，故C正确；
对于D，因为，所以，
当且仅当时，等号成立，故D不正确.
故选：

13.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查三角函数化简求值，属于基础题.
化简，再代入求值即可.

【解答】

解：
，
所以
故答案为：

14.【答案】2或 

【解析】

【分析】

本题考查指数函数和对数函数的综合应用，属于一般题.
对a进行分类讨论，利用指数函数和对数函数的性质即可求解

【解答】

解：①当时，函数都是增函数，
所以函数在上单调递增，则，
则有，得；
②当时，函数都是减函数，
所以函数在上单调递减，则，
则有，得，
综上所述，a的值为2或
故答案为：2或

15.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查利用函数的单调性解决参数问题、函数的对称性、绝对值不等式，属于中档题．
根据的对称性和单调性结合集合的子集关系，得到关于a的不等式组，解不等式组可得a的取值范围．

【解答】

解：因为，所以关于对称．
①当时，，
则在上单调递减，且，
由，得，则
当时，，
则在上单调递增，且，
②由，得，则，
所以不等式的解集为，
若不等式的解集是集合的子集，
则，解得，
故a的取值范围是
故答案为：

16.【答案】

4

【解析】

【分析】

本题考查函数零点问题，涉及分段函数，复合函数，函数图象的应用，属于较难题.
先画出函数和的图象，然后根据图象可知，；
再令，由可知有三个t满足，设为，分别写出他们的范围，
然后再对应到函数图象上，得到总共四个解.

【解答】

解：函数图象如下：方程有两个不同的解，
则函数与直线有两个不同的交点，故，即m的取值范围为

方程中，设，
即，即问题转化为函数与直线的交点问题，
图象如下：

故结合图象可知，函数与有3个交点，
即有三个根，其中
，
再结合图象可知，方程有2个不同的根；
方程有1个根；
方程有1个根.
综上，方程方程解的个数为
故答案为：；

17.【答案】解：由题意得
，或，
，

，
当时，，符合题意，
当时，由，得，
故a的取值范围为 

【解析】本题考查集合的运算，由集合关系求参数范围，属于基础题.
时，求出集合A、B，再根据补集和并集的定义得出结果;
由，分类讨论，列不等式求解即可.
 

18.【答案】解：函数，其中
令，则，，
当时，，解得
存在，使成立，等价于时，，
由可知，，
当时，，解得
所以a的取值范围为 

【解析】本题考查指数函数的性质，考查二次函数的最值的求法，不等式成立的条件，属于中档题.
令，则，，可得时有最小值，即可求得a；
将问题转化为时，，求出的最大值，即可求出答案.
 

19.【答案】解：因为振幅为2，所以，
所以，
因为经过点，所以，
所以，所以，
又，所以，
所以该噪声的声波曲线的解析式
因为函数与的图像关于x轴对称，
所以降噪芯片生成的降噪声波曲线的解析式
先将函数图象上各点的横坐标变为原来的倍，纵坐标不变，
得到函数的图象，
再将所得函数图象向右平移个单位，
得到函数的图象，
所以，所以，
因为为锐角，所以，
所以 

【解析】本题考查正弦型函数的图象变换、由部分图象求三角函数解析式、函数的对称性、由一个三角函数值求其他三角函数值，属于中档题．
由题意求出该噪声的声波曲线的解析式，根据函数的对称性求出降噪芯片生成的降噪声波曲线的解析式
由的解析式结合正弦型函数的图象变换求出的值，利用同角三角函数基本关系求出的值．
 

20.【答案】解：根据题意，为二次函数，设，
，则，①
若不等式的解集为，即方程的两个根为和4，
则有，
联立①②③，解可得，，，
故；
由的结论，，
时，取得最小值，
若，即，
解可得或，
若函数在时的值域为，必有，即t的取值范围为 

【解析】本题考查函数与方程的关系，涉及二次函数的解析式以及性质的应用，属于中档题．
根据题意，设，分析可得关于a、b、c的方程组，求出a、b、c的值，即可得答案；
由的结论，，由此可得和，结合二次函数的性质分析可得答案．
 

21.【答案】解：因为函数的定义域为R，
所以恒成立，
则，解得，
故a的取值范围是
因为，
所以，即，
因为，所以，
因为，
当且仅当，即时，等号成立，
所以，
故a的取值范围为 

【解析】本题考查对数型函数的定义域、利用对数函数的图象与性质求参、一元二次不等式恒成立问题、由基本不等式求取值范围，属于中档题．
由题意结合对数型函数的定义域可得恒成立，根据判别式求出a的取值范围．
利用分离参数法将原不等式转化为，利用基本不等式求出的取值范围，从而得到a的取值范围．
 

22.【答案】解：证明：对，令，可得：，
设，则，
，即，
函数是奇函数；
证明：对，且，则，
由，得，，
又，，
，由时，，知，
即即，故在上单调递减．

由和知函数为奇函数，且在上单调递减，
则不等式等价于：
，
                                                  
，解得，
故原不等式的解集为 

【解析】本题考查抽象函数，函数的奇偶性，函数的单调性，考查不等式的求解及不等式的证明，考查分析与计算能力，属于较难题.
令，可得，令，可得，所以函数是奇函数；
设，则有，证明，结合已知得，则所以
在上单调递减;
结合函数的奇偶性和单调性可得，解出即可.