2021-2022学年江苏省泰州中学高一下学期第一次月度检测数学试题（含答案解析）

2021-2022学年江苏省泰州中学高一下学期第一次月度检测数学试题

1.  等于(    )

A. 0 B.  C.  D. 1

2.  已知向量，满足，，则(    )

A. 4 B. 3 C. 2 D. 0

3.  若，则(    )

A.   B.  C.  D.

4.  在平面直角坐标系中，已知两点，，则的值是(    )

A.  B.  C.  D. 1

5.  已知，，则(    )

A.  B.  C.  D.

6.  如图所示，在中，，，，AD为BC边上的高，M为AD的中点，若，则的值为(    )

A.  B.  C.  D.

7.  如图，梯形ABCD中，，，，，若点M为边AB上的动点，则的最小值是(    )
 

A. 1 B.  C.  D.

8.  骑自行车是一种能有效改善心肺功能的耐力性有氧运动，深受大众喜爱，下图是某一自行车的平面结构示意图，已知图中的圆前轮，圆后轮的半径均为，，，均是边长为4的等边三角形，设点 P为后轮上的一点，则在骑动该自行车的过程中，的最大值为(    )

A. 24 B.  C.  D. 48

9.  下列等式成立的是(    )

A.  B.
C.  D.

10.  已知是边长为2的等边三角形，D，E分别是AC，AB上的点，且，，BD与CE交于点O，则(    )

A.
B.
C.
D. 在方向上的投影向量为

11.  下列四个等式中正确的是(    )

A.
B.
C. 已知函数，则的最小正周期是
D. 已知，，则的最小值为

12.  下列说法中，错误的有(    )

A. 若向量，则存在实数，使得
B. 非零向量，若满足，则
C. 与向量，夹角相等的单位向量
D. 已知，若对任意，，则一定为锐角三角形

13.  已知，则__________.

14.  已知，是夹角为的两个单位向量，，若，则实数k的值为__________

15.  当时，函数取得最大值，则__________.

16.  在平面四边形ABCD中，，，，，则的最小值为__________.

17.  已知，向量，
若向量与平行，求k的值；
若向量与的夹角为锐角，求k的取值范围.

18.  已知，为锐角，，

求的值；

求的值．

19.  如图，有一壁画，最高点A处离地面6米，最低点B处离地面3米．若从离地高2米的C处观赏它，视角为
若时，求C点到墙壁的距离．
当C点离墙壁多远时，视角最大？

20.  如图，M为的中线AD的中点，过点M的直线分别交两边于点，设，，请求出x、的关系式，并记；

求函数的表达式；

设的面积为，的面积为，且，求实数k的取值范围．

参考：三角形的面积等于两边长与这两边夹角正弦乘积的一半．

21.  扇形AOB的中心角为，所在圆半径为，它按如图两种方式有内接矩形

矩形CDEF的顶点C、D在扇形的半径OB上，顶点E在圆弧上，顶点F在半径OA上，设；

点M是圆弧的中点，矩形CDEF的顶点D、E在圆弧上，且关于直线OM对称，顶点C、F分别在半径OB、OA上，设；

试研究两种方式下矩形面积的最大值，并说明：两种方式中哪一种矩形面积的最大值更大？

22.  在如图所示的平面直角坐标系中，已知点和点，，且，其中点O为坐标原点.

若，设点D为线段OA上的动点，求的最小值；

若，向量，，求的最小值及对应的值.

答案和解析

1.【答案】D 

【解析】

【分析】

本题考查两角和与差的正弦公式，属于基础题.
利用两角和的正弦公式即可求出答案.

【解答】

解：
故选：

2.【答案】B 

【解析】

【分析】

本题考查平面向量的数量积运算，属于基础题.
由平面向量的运算法则求解即可.

【解答】

解：
故选

3.【答案】C 

【解析】

【分析】

本题考查同角三角函数的基本关系、二倍角公式及其应用，属于基础题.
直接根据二倍角公式化简再平方即可得出答案.

【解答】

解：，
即，两边平方可得，
整理可得 ，得，即，
故答案选

4.【答案】D 

【解析】

【分析】

本题考查向量模的坐标运算，两角和与差的余弦公式进行化简求值，属于基础题.
根据向量模的坐标表示，把已知两个点的坐标代入，利用两角和与差的余弦公式进行化简，进而求出向量模．

【解答】

解：，，


故选

5.【答案】B 

【解析】

【分析】

本题考查二倍角公式及同角三角函数关系式，考查推理能力和计算能力，属于基础题.
解法一：利用二倍角公式及同角三角函数关系式即可求解；
解法二：利用二倍角公式及同角三角函数关系式得到，再通过构造直角三角形，结合三角函数的定义即可求解.

【解答】

解：解法一：，
，

，
且，

又，
 

负值舍去
故选

解法二：，
 

又，
，
，

如图，构造直角三角形，易知故选

6.【答案】D 

【解析】

【分析】

本题考查向量的三角形法则、平面向量的基本定理，属于中档题.
通过解直角三角形得到，利用向量的三角形法则表示出，结合平面向量基本定理即可求出，值．

【解答】

解：因为在中，，，，
AD为BC边上的高，
所以在中，，
又
所以，
，
为AD的中点，
，
，
，

故选

7.【答案】D 

【解析】

【分析】

本题考查平面向量在几何中的应用，向量数量积的坐标运算，属于中档题.
建立平面直角坐标系，根据题设条件，并求出的表达式即可求解.

【解答】

解：以B为原点，BC，BA所在直线分别为x，y轴，建立如图所示的平面直角坐标系，
 

则，，，

设，则，，

因为，

所以，解得，即，

设，，则，，

所以，当且仅当时等号成立，

所以的最小值为
故选

8.【答案】B 

【解析】

【分析】

本题考查向量的数量积和平面向量的坐标运算，三角函数的图象与性质，属于中档题.
以A为坐标原点，AD所在直线为x轴，过A且垂直于AD的直线为y轴，建立平面直角坐标系，可得，，则，其中，即可求解.

【解答】

解：如图，以A为坐标原点，AD所在直线为x轴，过A且垂直于AD的直线为y轴，建立平面直角坐标系，

则，，设，
则，，
，其中，
当时，的最大值为
故选
 

9.【答案】AC 

【解析】

【分析】

本题重点考查三角恒等变换，属于基础题.
利用二倍角公式，诱导公式和两角和的正弦公式即可判断.

【解答】

解：对于A、，正确；
对于B、，故错误；
对于C、，正确；
对于D、因为，故错误；
故本题选

10.【答案】BD 

【解析】

【分析】

本题考查了向量线性运算的坐标表示，向量数量积的坐标运算，涉及等边三角形的性质，属于常考题．
以AB的中点E为原点，AB所在直线为x轴建立平面直角坐标系，则可得A，B，C，E，D的坐标，设出点O的坐标，利用向量共线求出点O的坐标，然后再针对各个选项求出对应的坐标，利用平面向量的相关知识即可求解．

【解答】

解：如图所示，以AB的中点E为坐标原点建立平面直角坐标系，

因为，可得，，，，，
设，其中，
因为B，O，D三点共线，则，
又由，所以，解得，
即O是CE的中点，所以，所以 A错误；

在中，由点E是AB的中点，可得，所以，所以B正确；
由，
所以，所以C错误；
因为，
可得在方向上的投影向量的模为，
在方向上的投影向量为，所以D正确.
故选：

11.【答案】AB 

【解析】

【分析】

本题主要考查两角和与差的三角函数，需要学生具有较强的综合能力，属于中档题.
对于A，结合两角和的正切函数公式，即可求解，对于B，利用正切化正弦、余弦，然后通分，利用两角和的正弦函数公式、二倍角公式化简，最后利用诱导公式求出结果，即可求解；对于C，验证知，即可求解；对于D，将，整理可得
，将整理为，应用均值不等式，验证知等号成立的条件不成立，即可求解.

【解答】

解：对于A，，
则，故A正确；
对于B，，故B正确；
对于C，，故C错误；
对于D，，即，



，
当且仅当时，等号成立，
但此时，，两式联立的方程组无解，故等号无法取得，故D错误.
故选

12.【答案】ACD 

【解析】

【分析】

本题综合考查了向量共线定理、向量垂直与数量积的关系、向量的夹角等基础知识与基本技能方法，属于中档题．
对于A，为非零向量，为零向量时结论不成立；
对于B，，即可得出；
对于C，与向量，夹角相等的单位向量或；
对于D，由，结合向量的几何意义可判断出为直角.

【解答】

解：对于A，若为非零向量，为零向量时，这样的不存在，故A不正确；
对于B，非零向量，若满足，则，
，B正确；
对于C，与向量，夹角相等的单位向量或，因此C不正确；
对于D，对任意成立，
结合向量的几何意义知，只有时才能满足条件，即一定是直角三角形，D选项错误.
综上，错误的选项是
 

13.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查二倍角公式，同角三角函数的基本关系，属于基础题.

首先根据同角三角函数的基本关系求出，再利用二倍角公式及同角三角函数的基本关系将弦化切，最后代入计算可得.

【解答】

解：因为，所以，所以

故答案为：

14.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查向量的数量积公式、向量的运算律、向量模的平方等于向量的平方，属于基础题.
利用向量的数量积公式求出，利用向量的运算律求出，列出方程求出

【解答】

解：，是夹角为的两个单位向量，
，

，
解得
故答案为

15.【答案】 

【解析】

【分析】

本题主要考查了辅助角公式，诱导公式，两角和与差的三角函数公式的应用，属于中档题.
利用辅助角公式得出，分析可得出，利用诱导公式及两角和的正切公式可求解.

【解答】

解：利用辅助角公式得，
其中，
当时，函数取得最大值，则，
所以，
所以
又，
所以
故答案为：

16.【答案】 

【解析】

【分析】

本题考查平面向量的几何运用.
以点A为坐标原点，的方向为x轴正方向，建立平面直角坐标系，得到点A，B的坐标，设出点C，D坐标，根据条件找到点的坐标之间的关系式，再根据向量模的坐标运算以及基本不等式，即可求得的最小值．

【解答】

解：以点A为原点，的方向为x轴正方向，建立平面直角坐标系，
则，，
由，可知D在线段AB的中垂线上，
设，，则，，，
由，，可以得到
所以，
则，
而，当且仅当时取得等号，
所以的最小值为，
故答案为

17.【答案】解：依题意，，，则，
又，得，即，
解得或1；
与的夹角为锐角，则且与不平行，
即，即，解得，
由知，当时，与平行，，
综上k的取值范围是 

【解析】本题考查向量的运算，考查平面向量坐标运算法则、向量平行的性质等基础知识，考查运算求解能力，是基础题．
先求出，再由，得，由此能求出k；
与的夹角为锐角，则且与不平行，由此能求出结果．
 

18.【答案】解：因为，
所以
因为，为锐角，且，可得，
所以，
，
又由且，可得，
 
，
因为，为锐角，可得，
所以 

【解析】本题考查同角三角函数关系、两角和差的正弦公式及二倍角公式，考查运算求解能力，属于中档题．

利用二倍角的正切公式求解，即可得；
利用同角三角函数的基本关系，二倍角公式，以及两角差的正弦公式求解，即可得．

19.【答案】解：设C点到墙壁的距离米，
在中，米，则，
在中，米，则，
所以，
因为，所以，解得，
所以当时，C点到墙壁的距离为2米．
由知，
所以，
当且仅当，即时取等号，
所以的最大值为，
所以当C点离墙壁为2米时，视角最大． 

【解析】本题考查两角差的正切公式以及由基本不等式求最值，属于中档题．
设C点到墙壁的距离，由题意解直角三角形求出、关于x的表达式，由两角差的正切公式求出，结合求出x的值．
由知，利用基本不等式求出的最大值，从而确定C点距离墙壁的距离多远时视角最大．
 

20.【答案】解：为BC的中点，M为AD的中点，

，

又三点共线，
，

故，消去得：，

当Q与C重合时，，此时，

设的面积为，

则的面积，

令，则   ，    
，

，，

当时，；
当或3时，，
 

【解析】本题考查平面向量基本定理的应用、函数解析式和值域的求解问题，及到平面向量基本定理的应用、对勾函数的性质的应用，属于中档题.
利用表示可知；由三点共线可知，由此得到，从而构造方程消掉变量即可得到所求函数表达式；设，则，由中结论可表示为关于x的函数；利用，结合换元法可将问题转化为对号函数值域的求解问题，通过参数t的范围，结合对勾函数单调性可确定最值，进而得到所求范围.
 

21.【答案】解：如图所示，在直角中，，则，，

又由，       

所以

当，即时，矩形CDEF的面积最大，最大值为

如图所示，令ED与OM的交点为N，FC与OM的交点为P，则，

于是，

又由，   

所以，

当时，即时，矩形CDEF的面积最大，最大值为，

因为，所以两种方式下矩形面积的最大值为，方式中矩形面积的最大值更大

【解析】本题考查在实际问题中建立三角函数模型，求解问题的关键是根据图形建立起三角模型，将三角模型用所学的三角恒等变换公式进行化简，属于中档题．
用所给的角得到矩形的面积，结合三角函数的性质，求得最大值；

用所给的角得到矩形的面积，结合三角函数的性质，求得最大值，然后比较两个面积的最大值，即可得到结果.

22.【答案】解：设点，则，

因为，，
所以，

所以，

所以，
所以当时，取得最小值

因为点、，

所以，
又，

所以，

因为，所以，

所以当，即时，取得最大值1，即取得最小值

所以的最小值为，此时

【解析】本题考查求正弦型函数的最值、向量模的坐标表示、任意角的三角函数的定义、向量数量积的坐标运算、三角恒等变换的综合应用、二次函数的最值，属于中档题.
设点，由向量线性运算的坐标表示和向量模的坐标表示求出关于t的表达式，利用二次函数的性质求出其最小值.
由向量线性运算的坐标表示和向量数量积的坐标运算求出关于的表达式，利用二倍角正弦和余弦公式和辅助角公式化简的表达式，根据正弦型函数的值域求出的最小值以及的值.