2021-2022学年山西省运城市高一（下）段考数学试卷（3月份）（A卷）（含答案解析）

2021-2022学年山西省运城市高一（下）段考数学试卷（3月份）（A卷）

1.  已知，则(    )

A. 25 B. 1 C. 5 D. 12

2.  对于零向量的理解，下列说法正确的是(    )

A. 零向量的模等于1
B. 规定：零向量与任意向量平行
C. 规定：零向量与任意向量的数量积为零，则零向量与任意向量垂直
D. 零向量与任意非零向量的夹角为0度

3.  已知向量，则(    )

A.  B.  C.  D.

4.  已知中，，，，则的面积为(    )

A. 6 B.  C. 12 D. 3

5.  已知，，则(    )

A.  B.  C. 1 D.

6.  已知向量的夹角为，且，则(    )

A. 49 B. 7 C.  D.

7.  已知中，，D是BC边上的一点，，，，则(    )

A.  B.  C. 5 D.

8.  在中，，D是BC中点，且，则的最大值为(    )

A.  B.  C. 4 D.

9.  点D，E，F分别为的边BC，CA，AB上的中点，且，则有(    )

A.  B.
C.  D.

10.  在中，，，，则的面积可能为(    )

A.  B.  C.  D.

11.  已知函数在区间上是增函数，若函数在上的图象与直线有且仅有一个交点，则的取值可以为(    )

A.  B. 1 C.  D.

12.  设是同一平面内的非零向量，且两两不共线，则下列命题中正确的是(    )

A. 对于给定的向量，总存在单位向量，使
B. 对于给定的向量，总存在实数m和n，使
C. 给定的单位向量和正数，总存在单位向量和实数，使
D. 给定的正数和满足，，总存在单位向量和单位向量，使单位向量

13.  已知向量，则在上的投影向量的模为______.

14.  在中，若，，，则______.

15.  如图，在中，，，，，求______.

16.  已知点P为等边内一点，且满足，若，则______.

17.  如图，为了解某海域海底构造，在海平面内一条直线上的A、B、C三点进行测量．已知，，于A处测得水深，于B处测得水深，于C处测得水深，求的余弦值．

18.  已知向量
若有，求值；
若，向量与的夹角为钝角，求实数m的取值范围．

19.  在中，，，，D是线段BC上一点，且，点M在线段AB上移动包括端点
若，求实数的值；
求的取值范围．

20.  如图，在中，，，点D在AB边上，且，
求；
求BC的长．

21.  如图，平行四边形ABCD中，
若，E为AM中点，求证：点D，E，N共线；
若，求的最小值，以及此时的值．

22.  已知a，b，c分别为锐角三个内角A，B，C的对边，且满足
求B；
若，求锐角的周长l的取值范围．

答案和解析

1.【答案】C 

【解析】解：由，
则，
故选：
由向量对应的坐标求其模即可．
本题考查了向量模的运算，属基础题．
 

2.【答案】B 

【解析】解：对于选项A，零向量的模等于0，即选项A错误；
对于选项B，规定：零向量与任意向量平行，即选项B正确；
对于选项C，规定：零向量与任意向量平行，即选项C错误；
对于选项D，零向量与任意非零向量的夹角为任意的，即选项D错误，
故选：
由零向量的定义逐一判断即可．
本题考查了零向量的定义，属基础题．
 

3.【答案】A 

【解析】解：，
，
故选：
利用平面向量的坐标运算求解即可．
本题考查了平面向量的坐标运算，是基础题．
 

4.【答案】D 

【解析】解：，
故选：
由三角形面积公式即可求解．
本题考查三角形面积公式的应用，属于基础题．
 

5.【答案】D 

【解析】解：，，
则



故选：
由，能求出结果．
本题考查三角函数值的求法，考查二倍角正切公式等基础知识，考查运算运解能力，是基础题．
 

6.【答案】B 

【解析】接：因为向量的夹角为，且，
所以，
所以
故选：
由数量积的运算求出，再由即可求解．
本题主要考查向量数量积的运算，向量模的求法，考查运算求解能力，属于基础题．
 

7.【答案】C 

【解析】解：如图所示，
中，，，，
由余弦定理得，因为，；
在中，，，，所以为等边三角形，所以
故选：
根据余弦定理求出的值，再求的值，即可得到为等边三角形，从而得到AB的长．
本题考查解三角形，考查学生的运算能力，属于中档题．
 

8.【答案】A 

【解析】解：中，由正弦定理得，，
所以，，
所以，其中，，
当时，上式取得最大值
故选：
由已知结合正弦定理先表示AB，BD，然后结合和差角及辅助角公式进行化简，再由正弦函数性质可求．
本题主要考查了正弦定理及和差角公式，辅助角公式在求解三角形中的应用，属于中档题．
 

9.【答案】AD 

【解析】

【分析】

本题考查平面向量的线性运算，属于基础题．
利用平面向量的线性运算法则求解即可．

【解答】

解：点D，E，F分别为的边BC，CA，AB上的中点，且，
，
，
，

故选

10.【答案】BD 

【解析】解：由正弦定理得，，
所以，
因为，
所以，
故或，
当时，，的面积，
当时，的面积
故选：
由已知结合正弦定理求出，然后根据三角形大边对大角求出C，进而可求A，再由三角形面积公式可求．
本TV主要考查了正弦定理，三角形的面积公式的应用，属于基础题．
 

11.【答案】BCD 

【解析】解：函数在区间上是增函数，，
若函数在上的图象与直线有且仅有一个交点，则，即
综上，，
故选：
由题意，利用正弦函数的单调性和最值，求得的取值范围，从而得出结论．
本题主要考查正弦函数的单调性和最值，属于中档题．
 

12.【答案】BD 

【解析】

【分析】

本题考查的知识要点：平面向量基本定理的应用，主要考查学生对基础知识的理解，属于基础题．
根据平面向量基本定理逐项判断即可．

【解答】

解：对于A：根据平面向量基本定理对于给定的向量，总存在单位向量，存在有序实数对m，n，使，故A错误；
对于B：对于给定的向量，根据平面向量基本定理，总存在实数m和n，使，故B正确；
对于C：根据平面向量基本定理，向量不一定为单位向量，故C错误；
对于D：根据平面向量基本定理，给定的正数和满足，，总存在单位向量和单位向量，使单位向量，故D正确．
故选：

13.【答案】0 

【解析】解：因为向量，
所以，
则在上的投影向量的模为
故答案为：
利用投影公式，求解投影向量的模即可．
本题主要考查投影向量的模的求法，考查运算求解能力，属于基础题．
 

14.【答案】1 

【解析】解：在中，，，，
则由正弦定理得：，即，解得，又，
所以，
所以为等腰三角形，
故，
故答案为：
在中，利用正弦定理可求得，从而可得答案．
本题考查正弦定理的应用，考查运算求解能力，属于基础题．
 

15.【答案】 

【解析】解：由题得，
设，所以，，
在直角三角形PBC中，，
在中，由正弦定理得，
，
故答案为：
设，求出，再在中利用正弦定理得解．
本题考查了正弦定理在解三角形中的应用，属于基础题．
 

16.【答案】 

【解析】解：如图所示，
中，，
中，，
所以，
所以，
即
又因为，
所以
故答案为：
用，，代入中求出，得出用、表示，再计算的值．
本题考查了平面向量的数量积运算和线性表示应用问题，解题的关键是用基底、表示向量，是中档题．
 

17.【答案】解：如图作交BE于N，交CF于
，
，

在中，由余弦定理的变形公式，得
 

【解析】先利用勾股定理分别求得DF，DE和EF，进而利用余弦定理求得的值．
本题主要考查了解三角形问题的实际应用．综合考查了三角形问题中勾股定理，余弦定理的灵活运用．
 

18.【答案】解：由题可得：向量
则，，
因为，所以有，
所以，解得，
则有；
故；
，
若向量与的夹角为钝角，
首先满足，得：，所以，
其次当与反向时，有，所以；
所以且，即m的取值范围是且 

【解析】根据题意，用表示的坐标，由，结合向量数量积的计算公式求出的值，即可得的坐标，由此计算可得答案；
根据题意，若向量与的夹角为钝角，首先满足，排除与反向的情况，即可得答案．
本题考查向量数量积的计算，涉及向量夹角的计算，属于基础题．
 

19.【答案】解：由可得；……分
……分
所以，故……分
根据条件得
点M在线段AB上移动包括端点，
则设，……分
，，……分
所以，……分
所以的取值范围为……分 

【解析】由平面向量基本定理易得，进一步可求得x，y，由此得解；
设，把所求向量都用t和，表示出来，再利用二次函数的性质即可得解．
本题考查平面向量的综合运用，考查函数思想及运算求解能力，属于中档题．
 

20.【答案】解：由图知，
因为，
所以，
所以
由上问可得，
在三角形ACD中，利用正弦定理可得：，
在三角形ABC中，，利用余弦定理可得：，
所以 

【解析】由题意可得，利用同角三角函数基本关系式可求，进而根据两角差的余弦公式即可求解．
由利用同角三角函数基本关系式可求，在三角形ACD中，利用正弦定理可求AD的值，在三角形ABC中，，利用余弦定理即可求解BC的值．
本题主要考查了同角三角函数基本关系式，两角差的余弦公式，正弦定理，余弦定理在解三角形中的综合应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
 

21.【答案】证明：，分
，分
所以，分
所以D，E，N三点共线．                                 分
解：，分
设，
因为，
所以，分
，
所以，分
当，即时，取得最小值分 

【解析】根据已知条件求得，即可得到结论，
把所求向量进行转化，再利用基本不等式可解决此问题．
本题考查平面向量数量积性质及运算、基本不等式、向量的线性运算，考查数学运算能力，属于中档题．
 

22.【答案】解：由
可得：



，
所以，
因为，
利用正弦定理得：，
所以，
所以，
所以，
因为是锐角三角形，所以，
所以，
所以
所以，
所以三角形周长的范围为 

【解析】利用正弦定理化边为角，根据角的三角函数值再结合角的取值范围定出角的大小；
利用正弦定理化边为角，将周长l表示为角A的函数，求其值域．
本题考查正弦定理及解三角形，考查学生的运算能力，属于中档题．