高中数学北师大版 (2019)必修 第一册1 对数的概念教案

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4．1 对数的概念一、【学习目标】二、【学习重难点】重点：1．指数式与对数式之间的互相转化关系；2．对数的定义及相关概念，常用对数、自然对数的概念；难点：熟练掌握对数的运算三、【新知探究】情境引入“对数”(logarithm)一词是纳皮尔首先创造的，意思是“比数”．他最早用“人造的数”来表示对数．俄国著名诗人莱蒙托夫是一位数学爱好者，传说有一次他在解答一道数学题时，冥思苦想没法解决，睡觉时做了一个梦，梦中一位老人提示他解答的方法，醒后他真的把此题解出来了，莱蒙托夫把梦中老人的像画了出来，大家一看竟是数学家纳皮尔，这个传说告诉我们：纳皮尔在人们心目中的地位是多么地高！那么，“对数”到底是什么呢？学完本节内容就明白了！新知探究1．对数的定义一般的，如果a(a>0,且a≠1)的b次幂等于N，即ab=N，那么b叫作以a为底N的对数，记作logaN=b读作：以a为底N的对数等于b其中，a叫做对数的，N叫作．2．对数恒等式（1）alogaN=N；（2）logaa=1；3．常用对数与自然对数(1)常用对数：通常我们将以__10__为底的对数叫做常用对数，并把log10N记为__lgN__．(2)自然对数：在科学技术中常使用以无理数e＝2．71828…为底数的对数，以e为底的对数称为自然对数，并把logeN记为__lnN__．【基础过关】1．把下列指数式化为对数式：（1）；（2）；（3）；【详解】；（2）；（3）；2．对数式loga8＝3改写成指数式为 (　D　)A．a8＝3 B．3a＝8C．83＝a D．a3＝8[解析]　根据指数式与对数式的互化可知，把loga8＝3化为指数式为a3＝8，故选D．3．若logeq \f(x－1,2)＝1，则x＝__5__．[解析]　∵logeq \f(x－1,2)＝1，∴eq \f(x－1,2)＝2，∴x＝5．四、【经典例题】题型一指数式与对数式的互化例1．(1)logeq \f(1,5)＝－1；(2) eq log\s\do8(\f(1,2)) 16＝－4；(3)log125＝6；(4)26＝64．[思路分析]　先判断出是指数式还是对数式，再利用指对数的关系转化求解．[解析]　(1)∵logeq \f(1,5)＝－1，∴5－1＝eq \f(1,5)．(2)∵ eq log\s\do8(\f(1,2)) 16＝－4，∴(eq \f(1,2))－4＝16．(3)∵log125＝6，∴(eq \r(5))6＝125．(4)∵26＝64，∴log264＝6．题型二对数定义与性质的应用例2 求下列各式中的x：(1)log3(log2x)＝0；　　　(2)log3(log7x)＝1；(3)lg(lnx)＝1； (4)lg(lnx)＝0．[思路分析]　利用指数式与对数式的互化进行解答．[解析]　(1)由log3(log2x)＝0得log2x＝1，∴x＝2；(2)log3(log7x)＝1，log7x＝31＝3，∴x＝73＝343；(3)lg(lnx)＝1，lnx＝10，∴x＝e10；(4)lg(lnx)＝0，lnx＝1，∴x＝e．题型三对数恒等式的应用例3 计算：(1)71－log75；(2)4；(3)alogab·logbc (a，b均为不等于1的正数，c＞0)．[解析]　(1)原式＝eq \f(7,7log75)＝eq \f(7,5)．(2)原式＝2(log29－log25)＝eq \f(2log29,2log25)＝eq \f(9,5)．(3)原式＝(alogab)logbc＝blogbc＝c．五、【课堂达标】1．logbN＝a(b>0，b≠1，N>0)对应的指数式是（）A．ab＝N B．ba＝NC．aN＝b D．bN＝a2．有下列说法： ①零和负数没有对数；②任何一个指数式都可以化成对数式；③以10为底的对数叫做常用对数；④以e为底的对数叫做自然对数．其中正确命题的个数为(　　)A．1 B．2 C．3 D．43．若，则下列各式正确的是（）A． B． C． D．4．________．5．把下列指数式化为对数式，把对数式化为指数式（且）：（1）；（2）；（3）；（4）．1．B【解析】【分析】利用指数式与对数式的互化即可求解．【详解】由logbN＝a(b>0，b≠1，N>0)，则ba＝N故选：B【点睛】本题考查了指数式与对数式的互化，属于基础题．2．C【解析】【分析】①利用对数的概念即可判断；②当底数是负数时不可以，比如：（﹣2）3；③根据常用对数的概念即可判断；④利用自然对数的定义即可判断．【详解】对于①，零和负数没有对数，正确；对于②，任何一个指数式都可以化成对数式，错误，当底数是负数时不可以，比如：（﹣2）3；对于③，以10为底的对数叫做常用对数，正确；对于④，以e为底的对数叫做自然对数，正确．综上所述，正确命题的个数为3个，故选C．【点睛】本题考查命题的真假判断与应用，着重考查对数的概念，属于基础题．3．B【解析】【分析】由题意可得，从而可选出正确答案．【详解】解：由得，从而由可知，即．故选:B．【点睛】本题考查了对数式和指数式的互化．4．8【解析】【分析】把对数式转化为指数式，利用指数的运算法则即可得到结果．【详解】设，则,，，t＝8．故答案为8．【点睛】本题考查了指数与对数的互化，考查指数的运算性质，属于基础题．5．（1）；（2）；（3）；（4）．【解析】【分析】直接利用指数式与对数式的互化，写出结果即可．【详解】（1），则化为对数式为．（2）, 则化为对数式为．（3），则化为指数式为．（4），则化为指数式为．【点睛】本题考查指数式与对数式的互化，考查计算能力，属于基础题．六、【小结】1．向量是既有大小又有方向的量，从其定义可以看出向量既有代数特征又有几何特征，因此借助于向量，我们可以将某些代数问题转化为几何问题，又将几何问题转化为代数问题，故向量能起到数形结合的桥梁作用．2．共线向量与平行向量是一组等价的概念．两个共线向量不一定要在一条直线上．当然，同一直线上的向量也是平行向量．3．注意两个特殊向量——零向量和单位向量，零向量与任何向量都平行，单位向量有无穷多个，起点相同的所有单位向量的终点在平面内形成一个单位圆．七、【作业】课本习题1．理解对数的概念和运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数．2．通过具体实例，了解对数函数概念，掌握对数函数的图象与性质3．掌握不同类型增长函数的比较．