北师大版（2019）高中数学必修第一册1-3-1不等式的性质教案

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第一章预备知识第三节 不等式3.1　不等式的性质 教学设计本节主要学习了不等式的五个基本性质，重点是不等式的基本性质，难点是不等式性质的探索及运用，要将不等式的基本性质与等式的基本性质加以对比，弄清它们之间的相同点与不同点，这样有助于加深理解不等式的基本性质。对于不等式的基本性质，采用通过学生自己动手实践、观察、归纳猜想结论、验证等环节来突破的。并在理解的基础上加强练习，以期达到学生巩固所学知识的目的.教学目标：1.探索并掌握不等式的基本性质；2.理解不等式与等式性质的联系与区别．二. 核心素养数学抽象：如何利用不等式表示不等关系2. 逻辑推理：通过对比不等式的性质和等式的性质，培养学生的求异思维，提高大家的辨别能力．3. 数学运算：证明不等式关系，会比较代数式的大小关系4. 直观想象：利用数轴的比较任意两数的大小关系，引出实数的大小关系，间接引出实数不等式的5个性质6. 数学建模：通过大家对不等式性质的探索，培养大家的钻研精神，学会利用不等式关系表示实际问题教学重点：探索不等式的基本性质，并能灵活地掌握和应用．教学难点：能根据不等式的基本性质进行化简PPT知识引入在初中数学中，可以利用数轴比较任意两个实数啊a,b的大小.关于实数a,b，大小的比较，有以下基本事实:如果a-b是正数，那么如果a>b;如果a-b等于0,那么a = b;如果a-b 是负数，那么ab a-b>0 a=b a-b=0ab，且b>c，那么a>c.分析 要证a>c，只需证a-c>0.证明因为a>b,且b>c，a-b>0 ,b -c >0从而a-c= （a-b)+(b-c）>0，即a>c.性质2 如果a>b，那么a+c>b+c.分析 要证a+c>b+c，需证（a+c） - （b+c）>0.证明 因为a>b，所以a-b>0，所以（a+c）-（b+c） =a-b>0,即 a+c>b+c.性质3如果a>b，c>0，那么 ac>bc; 如果 a>b,c<0,那么 acbc，只需证明 ac-bc>0证明 因为a>b，所以a-b>0.又因为 c>0,所以(a-b)c>0即 ac-bc>0, ac>bc请同学完成c<0的情况证明 例1试比较(x+1)(x+5)与(x+3)2的大小. 解 ：因为 (x+1)(x+5) - (x+3)2=(x2+6x+5) — (x2+6x+9)= —4<0 所以 (x+1) (x+5) <(x+3)2例2试证明:若00,则 证明：因为a0.又b>0,m>0,故 因此： 性质4 如果a>b,c>d,那么a+c>b+d. 证明：因为a>b,所以a+c>b+c.又因为：c>d，b+c>b+d由不等式的性质1,得a+c>b+d.性质 5 如果 a>b>0, c>d>0,那么 ac>bd.; 如果 a>b>0,cb,c>0,所以ac>bc.又因:c>d,b>0,所以bc>bd由不等式的性质1,得ac>bd. 请同学们：完成cb>0时，an>bn ,其中,n≥2例3：（1）已知a>b,ab>0,求证已知a>b,cb-d证明：（1）因为ab>0,所以； 因为a>b,所以有不等式的性质3，得(2) 因为c-d. 又因为a>b，所以有不等式性质4，得a+(-c)>b+(-d),即a-c>b-d 3 题型归类比较两数的大小（1）比较大小：（x﹣3）2　＞　（x﹣2）（x﹣4）．（填写“＞”或“＜”）（2）．（x+1）（x+5）与（x+3）2的大小关系为　（x+1）（x+5）＜（x+3）2　．（3）．已知a，b为实数，则（a+3）（a﹣5）　＜　（a+2）（a﹣4）．（填“＞”“＜”或“＝”）判断不等关系是否成立（1）．已知a＞b，则下列不等式一定正确的是（　C　）A．ac2＞bc2 B．a2＞b2 C．a3＞b3 D．＜（2）．对于任意实数a，b，c，d，下列命题中正确的是（　C　）A．若a＞b，则ac＞bc B．若a＞b，c＞d，则ac＞bd C．若ac2＞bc2，则a＞b D．若a＞b，则（3）．若a，b，c∈R，且a＞b，则下列不等式一定成立的是（　B　）A．a+c≥b﹣c B．（a﹣b）c2≥0 C．ac＞bc D．证明不等关系1. 已知a＞b＞0，c＜0求证：．2.比较（a+3）（a﹣5）与（a+2）（a﹣4）的大小．证明：（1）∵a＞b＞0，∴＞＞0，再由c＜0，可得．故要证的不等式成立；解：（2）∵（a+3）（a﹣5）﹣（a+2）（a﹣4）＝a2﹣2a﹣15﹣（a2﹣2a﹣8）＝﹣7＜0，∴（a+3）（a﹣5）＜（a+2）（a﹣4）．(2)．已知a，b∈R，比较a2+b2与ab+a+b﹣1的大小．解：（a2+b2）﹣（ab+a+b﹣1）＝（2a2+2b2﹣2ab﹣2a﹣2b+2）＝[（a2﹣2ab+b2）+（a2﹣2a+1）+（b2﹣2b+1）]＝[（a﹣b）2+（a﹣1）2+（b﹣1）2]≥0，当且仅当a＝b＝1时，两式相等∴a2+b2≥ab+a+b﹣1(3)．设a＞b＞0，比较与的大小．【解答】解：∵a＞b＞0，∴a﹣b＞0，a2＞b2，∴＞0，＞0．两数作商÷＝＝＝1+＞1，∴＞．本节内容需要学生掌握不等式的基本性质，会判断两数的不等关系，学会利用不等式关表示实际问题。