高中数学北师大版 (2019)必修 第一册1.1 集合的概念与表示学案及答案

第一章　预备知识

§1　集　　合

第1课时　集合的概念与表示

课前篇·自主梳理知识

【主题1】　集合的概念

　　答案：A，B，C，…　对象　a，b，c，…

【主题2】　元素与集合的关系

1．元素与集合的关系

(1)如果元素a在集合A中，就说元素a________集合A，记作________．

(2)如果元素a不在集合A中，就说元素a________集合A，记作________．

2．集合中元素的特性

(1)________：一个集合确定后，任何一个对象是或不是这个集合的元素就确定了．

(2)________：一个集合中的任何两个元素都不相同，也就是说，集合中的元素没有重复．

(3)________：一个集合中的元素没有先后顺序，是平等的．

3．常用的数集及表示符号

自然数集：________；正整数集：________；

整数集：________；有理数集：________；

实数集：________；正实数集：________.

答案：

1．(1)属于　a∈A　(2)不属于　a∉A

2．(1)确定性　(2)互异性　(3)无序性

3．N　N＋或N*　Z　Q　R　R＋

[自我检测]

1．思维辨析(对的打“√”，错的打“”)

(1)某单位所有的“帅哥”能构成一个集合．(　　)

(2)本班的全体同学组成一个集合，调整座位后这个集合发生了变化．(　　)

(3)－2∈N.(　　)

答案：

(1)　解析：集合中的元素必须是确定的，“帅哥”标准不明确，不能构成集合．

(2)　解析：集合元素具有无序性．

(3)　解析：自然数包括零和正整数，－2是负数．

2．下列语句中的对象能组成集合的是(　　)

A．著名的科学家   B．留长发的女生

C．小于10的自然数   D．中国的高山

答案：C　

解析：选项A，B，D都因无法确定其组成集合的标准而不能组成集合．

3．所给下列关系正确的个数是(　　)

①π∈R；②∉Q；③0∈N＋；④|－4|∉N＋.

A．1　　　　B．2　　　　C．3　　　　D．4

答案：B　

解析：由于π是实数，不是有理数，0不是正整数，|－4|＝4是正整数，所以应有π∈R，∉Q,0∉N＋，|－4|∈N＋，因此①②正确．

4．英文单词book中的字母组成的集合中元素的个数为________．

答案：3　

解析：单词含四个字母，两个o作为一个元素，共3个元素．

5．已知集合A＝{1，m＋1}，则实数m满足的条件是________．

答案：m≠0　

解析：由集合中的元素满足互异性，知m＋1≠1，即m≠0.

6．给出下列关系：(1)∈R；(2)∈Q；(3)－3∉Z.其中正确的为________．

答案：(1)　

解析：是实数，(1)正确；是无理数，(2)错误；－3是整数，(3)错误．

【主题3】　集合的表示方法

1．集合的表示方法

集合的表示方法常用的有列举法、描述法．

(1)列举法：把集合中的元素________出来写在花括号“{　　}”内表示集合的方法叫作列举法．

(2)描述法：通过描述元素________表示集合的方法叫作描述法．

2．集合的分类

含有________元素的集合叫作有限集；含有________元素的集合叫作无限集．

不含任何元素的集合叫作________，记作________．

答案：

1．(1)一一列举　(2)满足的条件　

2．有限个　无限个　空集　∅

[自我检测]

1．思维辨析(对的打“√”，错的打“”)

(1)列举法可以表示任何集合．(　　)

(2)集合{n|m＝1－n}与{x|y＝1－x}是同一集合．(　　)

(3)∅∈{∅}．(　　)

答案：

(1)　解析：列举法适合表示有限集(当元素个数不太多时)．

(2)√　解析：元素满足的条件相同，虽然代表元素的符号不同，但都代表实数．

(3)√　解析：{∅}表示由∅作为一个元素构成的单元素集合．

2．下列集合的表示法正确的是(　　)

  A．实数集可表示为R

  B．第二、四象限内的点集可表示为{(x，y)|xy≤0，x∈R，y∈R}

  C．集合{1,2,2,5,7}

  D．不等式x－1<4的解集为{x<5}

答案：A　

解析：实数集是用R表示，所以A正确．

B．第二、四象限内的点集可表示为{(x，y)|xy<0，x∈R，y∈R}，所以B错误．

C．根据集合元素的互异性可知，不能有两个元素2，所以C错误．

D．不等式x－1<4的解集为{x|x<5}，所以D错误．

3．用列举法表示集合{x|x2－2x＋1＝0}为(　　)

A．{1,1}   B．{1}

C．{x＝1}   D．{x2－2x＋1＝0}

答案：B　

解析：由x2－2x＋1＝0，即(x－1)2＝0，解得x1＝x2＝1.

4．方程的解集为{x|(x－1)(x＋2)＝0}，用列举法表示为________．

答案：{－2,1}　

解析：方程(x－1)(x＋2)＝0的解为x1＝－2，x2＝1，故其解集为{－2,1}．

5．用适当的方法表示大于1且小于6的实数组成的集合为________．

答案：{x|1<x<6}　

解析：大于1且小于6的数可表示为1<x<6，故大于1且小于6的实数组成的集合可表示为{x|1<x<6)．

【主题4】　区间

1．区间的概念与记法

设a，b是两个实数，且a＜b.

(1)集合{x|a≤x≤b}也可以用符号________表示，称为闭区间．数轴表示为：

(2)集合{x|a＜x＜b}也可以用符号________表示，称为开区间．数轴表示为：

(3)集合{x|a≤x＜b}也可以用符合________表示，称为左闭右开区间．数轴表示为：

(4)集合{x|a＜x≤b}也可以用符号________表示，称为左开右闭区间．数轴表示为：

这里的实数a，b称为区间的________．

2．无穷大

实数集R可以用区间表示为________，“∞”读作“无穷大”，“－∞”读作“负无穷大”，“＋∞”读作“正无穷大”.

　　答案：

1．(1)[a，b]　(2)(a，b)　(3)[a，b)　(4)(a，b]　端点

2．(－∞，＋∞)　[a，＋∞)　(a，＋∞)　(－∞，b]　(－∞，b)

[自我检测]

1．思维辨析(对的打“√”，错的打“”)

(1)区间表示数集，数集一定能用区间表示．(　　)

(2)区间[a－1,2a)中a的取值范围是{a|a≥－1}．(　　)

答案：(1)　解析：根据区间的概念，只有所含元素是“连续不间断”的实数的集合，才适合用区间表示．

(2)　解析：在区间[a－1,2a)中隐含着2a>a－1，即a>－1，故a的取值范围是{a|a>－1}．

2．集合{x|－1≤x<0}用区间表示为________．

答案：[－1,0)　

解析：结合区间的定义知，集合{x|－1≤x<0}用区间表示为[－1,0)．

3．使有意义的所有实数x取值的集合用区间表示为________．

答案：(－∞，2)　

解析：使有意义，则2－x>0，故x<2，用区间表示为(－∞，2)．

课堂篇·重难要点突破

研习1.　集合的概念

[典例1]　(1)(2020·呼和浩特高一检测)下列选项中元素的全体可以组成集合的是(　　)

A．学校篮球水平较高的学生

B．校园中长得高的树木

C．出席2019年大阪G20峰会的所有代表

D．中国经济发达的城市

(2)下列每组对象能组成一个集合的有________．

①所有的好人；

②正三角形的全体；

③方程x2＝2的实数解；

④不等式x＋1>0的所有实数解．

(3)判断下列说法是否正确，并说明理由．

①1,0.5，，组成的集合含有4个元素；

②方程x2＋2x＋1＝0的解集中有2个元素；

③组成单词china的字母组成一个集合．

[审题路线图]集合的确定⇒元素的三个特性．

(1)答案：C

(2)答案：②③④

(3)解：①不正确．对一个集合，它的元素必须是互异的．由于0.5＝，在这个集合中只能作为一个元素，故这个集合含有3个元素．

②不正确．因为方程虽有两个相等的实根，但其解集中只有一个元素－1.

③正确．因为组成单词china的字母是确定的．

[延伸探究]　若将本例(3)②中的方程改为x2＋2x＋a＝0的解集中有两个元素，则a的取值范围是________．

答案：{a|a<1}

判断一组对象组成集合的依据及切入点

(1)依据：元素的确定性是判断的依据．如果考察的对象是确定的，就能组成集合，否则不能组成集合．

(2)切入点：解答此类问题的切入点是集合元素的特性，即确定性、互异性和无序性．

[练习1]判断下列各组对象能否构成集合．

(1)某中学身高较高的同学；

(2)某中学身高超过1.75米的同学；

(3)第25届世界大学生运动会中的所有比赛项目；

(4)大于4且小于8的偶数；

(5)的近似值的全体．

解：(1)中“较高”没有明确的界限；

(2)中研究的对象显然符合确定性；

(3)中比赛项目是确定的；

(4)中只有一个元素6，可列举出来；

(5)中“的近似值”没有明确精确度．

所以(2)(3)(4)能构成集合，(1)(5)不能构成集合．

研习2　集合中元素的性质

[典例2]　设A＝{x－2,2x2＋5x,12}，若－3∈A，求实数x.

[审题路线图]求集合中的参数值⇒元素的确定性与互异性．

解：∵－3∈A，

∴x－2＝－3或2x2＋5x＝－3.

若x－2＝－3，则x＝－1，此时2x2＋5x的值为－3，集合A＝{－3，－3,12}，不满足集合元素的互异性，

故x≠－1；

若2x2＋5x＝－3，则x＝－或x＝－1，

而当x＝－1时，上面已验证知不合要求，

当x＝－时，A＝满足要求．

∴x＝－.

集合中元素性质问题的求解策略

(1)解决含有字母的问题，常用到分类讨论的思想，在进行分类讨论时，务必明确分类标准．

(2)涉及含参数的集合问题，切忌忽视集合元素的互异性，务必将求得的参数取值代入，验证是否满足集合中元素的互异性，进而对结果进行取舍．

[练习2]已知x2∈{1,0，x}，求实数x的值．

解：由于x2是集合A＝{1,0，x}中的元素，所以有3种可能，讨论如下：

(1)若x2＝1，则x＝±1.当x＝1时，不符合集合中元素的互异性，不合题意；当x＝－1时，A＝{1,0，－1}符合题意．

(2)若x2＝0，则x＝0，不符合集合中元素的互异性，也不合题意．

(3)若x2＝x，则x＝0或x＝1，由(1)(2)可知，此时也不合题意．

综合上述情况可知，实数x的值为－1.

研习3　集合的表示方法

[典例3]　用适当的方法表示下列集合．

(1)化简式子＋(x，y为非零实数)所得结果构成的集合；

(2)所有奇数组成的集合；

(3)直角坐标系内第二象限的点组成的集合；

(4)方程(x－1)(x2－5)＝0的根组成的集合．

[审题路线图]列举法表示集合⇒明确元素特性，找出元素．描述法表示集合⇒明确元素⇒明确元素的性质．

解：(1)根据x，y值的符号，两项分别可得1或－1，化简的结果有3种情形，用列举法表示为{0,2，－2}．

(2)奇数的表达式为2k＋1(k∈Z)，由于有无数个元素，用描述法表示为{x|x＝2k＋1，k∈Z}．

(3)代表元素是有序数对(x，y)，用描述法表示为{(x，y)|x＜0且y＞0}．

(4)方程有3个根，用列举法表示为{－，1，}．

1．用描述法表示集合，首先应弄清楚集合的属性，是数集、点集，还是其他的类型．一般地，数集用一个字母代表其元素，而点集则用一个有序数对来表示．

2．对于元素个数确定的集合或元素个数不确定但元素间存在明显规律的集合，可采用列举法．

[练习3](1)集合A＝{1，－3,5，－7,9，…}用描述法可表示为(　　)

A．{x|x＝2n±1，n∈N}

B．{x|x＝(－1)n(2n－1)，n∈N}

C．{x|x＝(－1)n(2n＋1)，n∈N}

D．{x|x＝(－1)n－1(2n＋1)，n∈N}

(2)设集合B＝{x∈N.

①试判断元素1,2与集合B的关系；

②用列举法表示集合B.

(1)答案：C　

解析：观察规律，其绝对值为奇数排列，且正负相间，且第一个为正数，故应选C.

(2)解：①当x＝1时，＝2∈N；

当x＝2时，＝∉N，所以1∈B,2∉B.

②∵∈N，x∈N，∴2＋x只能取2,3,6.

∴x只能取0,1,4，∴B＝{0,1,4}．

研习4　集合表示方法的应用

[典例4]'已知集合A＝{x|x2－ax＋b＝0}，若A＝{2,3}，求a，b的值．

[审题路线图]集合相等⇒元素相同⇒元素性质相同．

解：由A＝{2,3}知，方程x2－ax＋b＝0的两根为2,3，由根与系数的关系得因此a＝5，b＝6.

[延伸探究]　(1)在本例中，若A＝{1}，其他条件不变，求a，b的值．

(2)在本例中，若已知a＝2，A＝∅，其他条件不变，求b的范围．

(1)解：若A＝{1}，则方程x2－ax＋b＝0的两相等根为1.由根与系数的关系得因此a＝2，b＝1.

(2)解：若a＝2时，A＝∅，则方程x2－2x＋b＝0没有实数解，因此Δ＝4－4b<0，解得b>1.

识别集合含义的两个步骤

(1)一看代表元素：例如{x|p(x)}表示数集，{(x，y)|y＝p(x)}表示点集．

(2)二看条件：即看代表元素满足什么条件(公共特性)．

课后篇·演练提升方案

1．由a2,2－a,4组成一个集合A，A中含有3个元素，则实数a的取值可以是(　　)

A．1   B．－2

C．6   D．2

答案：C　

解析：根据集合中元素的互异性，验证四个数值，只有a＝6时满足题意．故选C.

2．集合{x∈N＋|x＜5}的另一种表示法是(　　)

A．{0,1,2,3,4}

B．{1,2,3,4}

C．{0,1,2,3}

D．{1,2,3,4,5}

答案：B　

解析：集合中的元素为小于5的正整数．故选B.

3．下列各组集合中，表示同一集合的是(　　)

A．M＝{(3,2)}，N＝{(2,3)}

B．M＝{3,2}，N＝{2,3}

C．M＝{(x，y)|x＋y＝1}，N＝{y|x＋y＝1}

D．M＝{1,2}，N＝{(1,2)}

答案：B　

解析：要看集合中元素是什么，由集合中元素的无序性知{3,2}＝{2,3}．故选B.

4．下列各组对象能否构成集合？

(1)小于18的既是奇数又是质数的数；

(2)方程(x2－1)(x2＋2x＋1)＝0的解；

(3)平面直角坐标系内所有第三象限的点；

(4)方程组的解；

(5)血压很高的人；

(6)2018年世界杯足球赛参赛的所有运动员．

解：(1)小于18的质数有2,3,5,7,11,13,17，其中只有2为偶数，所以能形成集合．

(2)能，注意集合中元素的互异性，集合中的元素是－1,1.

(3)第三象限的点的横坐标和纵坐标都小于0，能形成集合．

(4)由于x2－x＋1＝0的判别式Δ＝－3＜0，方程无实根，能形成集合．

(5)由于不能确定元素，故不能形成集合．

(6)确定集合中的元素的标准明确，能构成集合．

5．已知集合A＝{a＋2，(a＋1)2，a2＋3a＋3}，若1∈A，求实数a的值．

解：因为1∈A，则a＋2，(a＋1)2，a2＋3a＋3必有一个为1.

若a＋2＝1，则a＝－1，所以A＝{1,0,1}，与集合中元素的互异性矛盾，应舍去．

若(a＋1)2＝1，则a＝0或a＝－2.

当a＝0时，A＝{1,2,3}，满足题意；

当a＝－2时，A＝{0,1,1}，与集合中元素的互异性矛盾，应舍去．

若a2＋3a＋3＝1，则a＝－1(舍去)或a＝－2(舍去)．

综上所述，a＝0.

 [误区警示]　忽视元素互异性致误

 [典例]　已知集合M是由－2,3x2＋3x－4，x2＋x－4构成的集合，若2∈M，求x的值．

[错解]　当3x2＋3x－4＝2时，3x2＋3x－6＝0，

∴x2＋x－2＝0，解得x＝－2或x＝1；

当x2＋x－4＝2时，x2＋x－6＝0，

解得x＝－3或x＝2.

∴x＝－2或x＝1或x＝－3或x＝2.

[错因分析]　本题错解的原因在于没有验证所求解的x的值是否满足集合中元素的互异性，事实上，当x＝－2时，3x2＋3x－4＝2，x2＋x－4＝－2不满足元素的互

异性；当x＝1时，3x2＋3x－4＝2，x2＋x－4＝－2也不满足元素的互异性．

[正解]　当3x2＋3x－4＝2时，

3x2＋3x－6＝0，

∴x2＋x－2＝0，解得x＝－2或x＝1.

经检验，x＝－2，x＝1均不合题意．

当x2＋x－4＝2时，x2＋x－6＝0，

解得x＝－3或x＝2.

经检验，x＝－3或x＝2均合题意．

∴x＝－3或x＝2.