北师大版 (2019)必修 第一册4.1 一元二次函数学案设计

§4　一元二次函数与一元二次不等式

第1课时　一元二次函数

课前篇·自主梳理知识

【主题】　一元二次函数的图象和性质

一元二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)都可以通过配方化为y＝a2＋＝a(x－h)2＋k，其中，h＝－，k＝.

一元二次函数y＝a(x－h)2＋k的图象是一条抛物线，它可以由y＝ax2的图象经过向左(或向右)平移________个单位长度，再向上(或向下)平移________个单位长度而得到．

一元二次函数y＝a(x－h)2＋k(a≠0)有如下性质：

(1)函数y＝a(x－h)2＋k的图象是一条抛物线，顶点坐标是________，对称轴是直线________．

(2)当a>0时，抛物线开口向上；在区间(－∞，h]上，函数值y随自变量x的增大而________；在区间[h，＋∞)上，函数值y随自变量x的增大而________；函数在x＝h处有最小值，记作ymin＝k.

当a<0时，抛物线开口向下；在区间(－∞，h]上，函数值y随自变量x的增大而________；在区间[h，＋∞)上，函数值y随自变量x的增大而________；函数在x＝h处有最大值，记作ymax＝k.

答案：

|h|　|k|　(1)(h，k)　x＝h　(2)减小　增大　增大　减小

[自我检测]

1．思维辨析(对的打“√”，错的打“”)

(1)一元二次函数y＝3x2的开口比y＝x2的开口要大．(　　)

(2)要得到y＝－(x－2)2的图象，需要将y＝－x2的图象向左平移1个单位．(　　)

(3)一元二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)一定有最小值．(　　)

(4)一元二次函数y＝x2－2x＋2的对称轴为x＝－1.(　　)

(5)一元二次函数y＝－x2＋4x－3在区间[2，＋∞)上，函数值y随x的增大而增大．(　　)

答案：

(1)　解析：比较二次项系数可知3>1，因为二次项系数的绝对值越小，开口越大，所以y＝x2的开口大于y＝3x2的开口．

(2)　解析：要得到y＝－(x－2)2的图象，需要将y＝－x2的图象向右平移2个单位长度．

(3)　解析：二次项的正负不确定，故不正确．

(4)　解析：一元二次函数y＝x2－2x＋2的对称轴为x＝1.

(5)　解析：一元二次函数y＝－x2＋4x－3在区间[2，＋∞)上，函数值y随x的增大而减小．

2．函数y＝2x2＋4x－1的对称轴和顶点分别是(　　)

A．x＝－2，(－2，－1)　　 B．x＝2，(－2，－1)

C．x＝－1，(－1，－3)     D．x＝1，(－2,3)

答案：C　

解析：由y＝2x2＋4x－1＝2(x＋1)2－3得，对称轴是x＝－1，顶点是(－1，－3)．

3．抛物线y＝－2x2不具有的性质是(　　)

A．开口向下　　　　　 B．对称轴是y轴

C．与y轴不相交        D．最高点是原点

答案：C　

解析：－2<0，开口向下，对称轴是y轴，最高点是原点，过(0,0)点，与y轴相交．

4．若函数y＝x2－6x－7，则它在[－2,4]上的最大值、最小值分别是(　　)

A．9，－15        B．12，－15

C．9，－16        D．9，－12

答案：C　

解析：函数的对称轴为x＝3，所以当x＝3时，函数取得最小值为－16，当x＝－2时，函数取得最大值为9.

5．二次函数y＝x2－8x＋c的顶点在x轴上，则c的值为(　　)

A．－16        B．16

C．－4        D．4

答案：B　

解析：因为顶点在x轴上，所以＝0，所以c＝16.

6．如果一元二次函数y＝ax2＋bx＋1图象的对称轴是x＝1，并且通过点A(－1,7)，则a＝________；b＝________.

答案：2　－4　

解析：因为y＝ax2＋bx＋1图象的对称轴是x＝1，所以－＝1①，又图象过点(－1,7)，

所以a－b＋1＝7，即a－b＝6②，由①②解得

课堂篇·重难要点突破

研习1 　一元二次函数图象间的变换

[典例1]　在同一坐标系中作出下列函数的图象．

(1)y＝x2；(2)y＝x2－2；(3)y＝2x2－4x.

并分析如何把y＝x2的图象变换成y＝2x2－4x的图象．

解：列表：

描点、连线即得相应函数的图象，如图所示．

由图象可知，由y＝x2到y＝2x2－4x的变化过程如下．

先把y＝x2的图象向右平移1个单位长度得到y＝(x－1)2的图象，然后把y＝(x－1)2的图象横坐标不变，纵坐标变为原来的2倍，得到y＝2(x－1)2的图象，最后把y＝2(x－1)2的图象向下平移2个单位长度便可得到y＝2x2－4x的图象．

任意一元二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)都可转化为y＝a(x－h)2＋k的形式，都可由y＝ax2的图象经过适当的平移得到，具体平移方法，如图所示．

[练习1]画出一元二次函数y＝x2－6x＋21的图象，并说明它是如何经过y＝x2平移得到的．

解：∵y＝x2－6x＋21＝(x－6)2＋3，

∴抛物线的顶点坐标为(6,3)，对称轴为x＝6.

令x＝0，求得y＝21，它与y轴交点为(0,21)，此交点距顶点太远，画图时利用不上；令y＝0，x2－6x＋21＝0.

∵Δ＜0，方程无实数解，

∴抛物线与x轴没有交点．

因此，画此函数图象，应利用函数的对称性列表，在顶点的两侧适当地选取两对对称点，然后描点、画图即可．

(1)利用一元二次函数的对称性列表：

(2)描点、连线，即得函数y＝x2－6x＋21的图象，如图所示．

把y＝x2的图象向右平移6个单位长度，再向上平移3个单位长度即可得到y＝x2－6x＋21的图象．

研习2 　一元二次函数的解析式

[典例2]　已知一元二次函数y＝ax2＋bx＋c与x轴交于点A(－3，0)，对称轴为x＝－1，顶点M到x轴的距离为2，求此抛物线的解析式．

解：解法一：∵二次函数的对称轴是x＝－1，顶点M到x轴的距离为2，

∴顶点的坐标为M(－1,2)或M′(－1，－2)．

故设二次函数解析式为y＝a(x＋1)2＋2或y＝a(x＋1)2－2，

又抛物线经过点A(－3,0)，

∴0＝a(－3＋1)2＋2或0＝a(－3＋1)2－2，

可得a＝－或a＝，

∴所求函数解析式是y＝－(x＋1)2＋2＝－x2－x＋或y＝(x＋1)2－2＝x2＋x－.

解法二：∵抛物线的对称轴是x＝－1，

又∵图象经过点A(－3,0)，

∴点A(－3,0)关于对称轴x＝－1对称的对称点为A′(1,0)，

∴设函数解析式为y＝a(x＋3)(x－1)，

由题意得抛物线的顶点M的坐标为

(－1,2)或(－1，－2)，

分别代入函数式，得2＝a(－1＋3)×(－1－1)或－2＝a(－1＋3)×(－1－1)，

解得a＝－或a＝.

故所求函数解析式为

y＝－(x＋3)(x－1)＝－x2－x＋

或y＝(x＋3)(x－1)＝x2＋x－.

求一元二次函数解析式的方法及其一般步骤

(1)方法：待定系数法．

(2)步骤：

→

↓

→

↓

→

↓

→

[练习2]一元二次函数的顶点坐标是(2,3)，且经过点(3,1)，求这个一元二次函数的解析式．

解：解法一：设所求一元二次函数为y＝ax2＋bx＋c(a≠0)，

由已知函数图象经过点(2,3)和点(3,1)，函数图象的对称轴是－＝2，得

解这个方程组得

∴一元二次函数解析式为y＝－2x2＋8x－5.

解法二：一元二次函数的顶点式是y＝a(x－h)2＋k，而顶点坐标是(2,3)，故有y＝a(x－2)2＋3.

∵图象经过点(3,1)，∴x＝3，y＝1满足关系式y＝a(x－2)2＋3，从而有1＝a(3－2)2＋3，解得a＝－2.

∴函数解析式为y＝－2(x－2)2＋3，

即y＝－2x2＋8x－5.

研习3 　一元二次函数的最值问题

[典例3]　已知函数y＝x2＋2ax＋2，x∈[－5,5]．

(1)当a＝－1时，求函数y＝x2＋2ax＋2的最大值和最小值；

(2)当a∈R时，求函数y＝x2＋2ax＋2在区间[－5,5]上的最值．

[审题路线图]求最值⇒讨论对称轴与区间[－5,5]的关系．

解：(1)因为a＝－1，

所以y＝x2－2x＋2＝(x－1)2＋1，

所以在[－5,1]上函数值随x的增大而减小，

在[1,5]上函数值随x的增大而增大．

所以当x＝1时，ymin＝1，当x＝－5时，ymax＝37.

(2)函数y＝x2＋2ax＋2＝(x＋a)2＋2－a2的图象开口向上，对称轴为x＝－a.

①当－a≤－5，即a≥5时，在区间[－5,5]上函数值随x的增大而增大，

所以当x＝5时，ymax＝27＋10a，

当x＝－5时，ymin＝27－10a.

②当－5<－a≤0，

即0≤a<5时，函数图象如图1所示．

由图象可得当x＝－a时，ymin＝2－a2，当x＝5时，ymax＝27＋10a.

③当0<－a<5，即－5<a<0时，函数图象如图2所示，由图象可得当x＝－5时，ymax＝27－10a，当x＝－a时，ymin＝2－a2.

④当－a≥5，即a≤－5时，在区间[－5,5]上函数值随x的增大而减小，所以当x＝5时，ymin＝27＋10a，当x＝－5时，ymax＝27－10a.

[延伸探究]　把本例函数换成“y＝x2－2x”，求该函数在[－2，a]上的最小值．

解：因为函数y＝x2－2x＝(x－1)2－1，所以对称轴为直线x＝1，

因为x＝1不一定在区间[－2，a]内，

所以应进行讨论，

当－2<a≤1时，在[－2，a]上函数值随x后增大而减小，则当x＝a时，y取得最小值，即ymin＝a2－2a；

当a>1时，在[－2,1]上函数值随x后增大而减小，在[1，a]上函数值随x的增大而增大，则当x＝1时，y取得最小值，即ymin＝－1.

综上，ymin＝

一元二次函数在闭区间[m，n]上的最值的求法

对于一元二次函数y＝a(x－h)2＋k(a>0)在区间[m，n]上的最值可作如下讨论，

 [练习3]求函数y＝x2－2x＋3在区间[0，a]上的最值，并求此时x的值．

解：函数图象的对称轴为直线x＝1，抛物线开口向上，

当0<a≤1时，在[0，a]上函数值随x的增大而减小，

∴当x＝0时，ymax＝3；当x＝a时，ymin＝a2－2a＋3.

当1<a<2时，在[0,1]上函数值随x的增大而减小，在[1，a]上函数值随x的增大而增大，

∴当x＝1时，ymin＝2；当x＝0时，ymax＝3.

当a≥2时，在[0,1]上函数值随x的增大而减小，在[1，a]上函数值随x的增大而增大，

∴当x＝1时，ymin＝2；

当x＝a时，ymax＝a2－2a＋3.

课后篇·演练提升方案

1．二次函数y＝x2＋x＋1的图象的开口方向和顶点坐标分别为(　　)

A．向下，(1,1)        B．向上，(1,1)

C．向下，     D．向上，

答案：D

2．将函数y＝x2的图象向右平移2个单位长度，再向下平移1个单位长度后，所得函数的解析式为(　　)

A．y＝(x＋2)2＋1        B．y＝(x－2)2＋1

C．y＝(x－2)2－1        D．y＝(x＋2)2－1

答案：C

3．如图所示，当ab＞0时，函数y1＝ax2与y2＝ax＋b的图象是(　　)

答案：D

4．如图所示，函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的对称轴为直线x＝3，则a，b，c应满足的条件是(　　)

A．ab＋c＜0

B．2a＋b＋c＞0

C．a＞b＞c

D．a＜

答案：A　

解析：由已知a>0，c<0，－＝3，

∴ab＋c＝－6a2＋c<0.故选A．

5．函数y＝x2－mx＋4(m＞0)在(－∞，0]上的最小值是(　　)

A．4        

B．－4

C．与m的取值有关      

D．不存在

答案：A　

解析：y＝2＋4－，对称轴x＝>0，

∴在(－∞，0]上函数值随x的增大而减小，

∴当x＝0时，ymin＝4.

6．已知0≤x≤1，a＞0，求函数y＝－x2＋2ax的最值．

解：由题意得，y＝－x2＋2ax＝－(x－a)2＋a2，

显然其对称轴方程是x＝a，顶点坐标是(a，a2)，图象开口向下，由a>0，有x＝a>0，其对称轴在y轴的右侧．

当0<a<时，函数的最大值在x＝a时取得，

ymax＝a2，最小值在x＝1时取得，ymin＝2a－1；

当a＝时，函数的最大值在x＝时取得，ymax＝，最小值在x＝0或x＝1时取得，ymin＝0；

当<a<1时，函数的最大值在x＝a时取得，ymax＝a2，最小值在x＝0时取得，ymin＝0；

当a≥1时，函数的最大值在x＝1时取得，ymax＝2a－1，最小值在x＝0时取得，ymin＝0.

[误区警示]　忽略二次函数的对称轴在区间中的不同位置致误

[典例]　已知一元二次函数y＝－4x2＋4ax－4a－a2在区间[0,1]内有最大值－5，则a＝________.

[解析]　y＝－4x2＋4ax－4a－a2＝－42－4a，对称轴为x＝.

(1)当<0①，即a<0时，

当x＝0时，函数取得最大值，ymax＝－4a－a2＝－5，

解得a＝1或a＝－5，又因a<0，故a＝－5.

(2)当0≤≤1①，即0≤a≤2时，当x＝时，函数取得最大值，ymax＝－4a＝－5，解得a＝.

(3)当>1①，即a>2时，当x＝1时，函数取得最大值，ymax＝－4－a2＝－5，解得a＝1或a＝－1，又因a>2，故此时a不存在．

所以a＝－5或.

[答案]　－5或

[错因分析]　本题容易得出错误答案为a＝，错因是认为函数的最大值在对称轴处取得，忽略了①处对称轴与区间不同位置关系的讨论，从而导致错误．

[防范措施]　(1)图象的利用

在二次函数求区间上的最值时，必不可少的辅助工具——图象，用图象解题，可以避免取值的错误．如本例中，当<0，即a<0时，结合函数图象可知函数值在[0,1]上随x增大而减小，当x＝0时，函数取得最大值．

(2)记住特殊情况

在一元二次函数求最值时，有两种特殊情况：“轴定区间动”和“轴动区间定”，需要对对称轴与给定的区间的关系进行讨论．如本例，函数的对称轴x＝“动”，而区间[0,1]“定”，是“轴动区间定”的类型，需要讨论．