北师大版 (2019)必修 第一册3.1 对数函数的概念导学案

§3　对数函数

第1课时　对数函数的概念及对数函数y＝log2x的图象和性质

课前篇·自主梳理知识

【主题1】　对数函数的概念

1．对数函数的概念

我们知道，给定正数a，且a≠1，指数函数y＝ax是定义在R上、值域为(0，＋∞)的单调函数，所以对于每一个正数y，都存在唯一确定的实数x，使得y＝ax.由函数的定义，x就是y的函数，称为以a为底的对数函数，记作x＝logay.

习惯上，将自变量写成x，函数值写成y，因此，一般将对数函数写成y＝logax(a>0，且a≠1)，其中a称为底数．由定义可知，对数函数具有以下基本性质：

(1)定义域是________；

(2)图象过定点________．

2．特殊的对数函数

微提醒：对数函数是一个形式定义，只有形如y＝logax(a>0，且a≠1)的函数才是对数函数．

答案：

1．(1)(0，＋∞)　(2)(1,0)

2．10　y＝lg x　无理数e　y＝ln x

【主题2】　反函数

指数函数y＝ax和对数函数y＝logax(a>0，a≠1)之间的关系

原函数,反函数

指数函数y＝ax(a>0，且a≠1),对数函数________(a>0，且a≠1)

对数函数y＝logax(a>0，且a≠1),指数函数________(a>0，且a≠1)

在指数函数y＝ax中，x是自变量，y是x的函数，其定义域是R；在对数函数x＝logay中，y是自变量，x是y的函数，其定义域是________．像这样的两个函数互为________

答案：

y＝logax　y＝ax　(0，＋∞)　反函数

【主题3】　对数函数y＝log2x的图象和性质

函数y＝log2x的图象位于y轴的右边；从靠近y轴最下端的位置逐渐上升，过点________，继续上升，函数值越来越大，直至无穷．

由此得到函数y＝log2x的性质：

函数y＝log2x在区间(0，＋∞)上是________函数，且值域为R.

答案：

(1,0)　增

[自我检测]

1．思维辨析(对的打“√”，错的打“”)

(1)函数y＝3x与函数y＝log3x的图象关于直线y＝x对称．(　　)

(2)函数y＝log2x2和y＝log2x－3都是对数函数．(　　)

(3)f(x)＝ln(x2－1)是偶函数．(　　)

答案：

(1)√　解析：函数y＝3x与函数y＝log3x互为反函数，图象关于直线y＝x对称．

(2)　解析：由对数函数的定义知y＝log2x2和y＝log2x－3都不是对数函数．

(3)√　解析：因为函数的定义域为(－∞，－1)∪(1，＋∞)，且f(－x)＝ln(x2－1)＝f(x)，所以该函数是偶函数．

2．下列函数是对数函数的是(　　)

A．y＝ln x　　　　 B．y＝ln(x＋1)

C．y＝logxe        D．y＝logxx

答案：A　

解析：由对数函数的定义知A正确．

3．函数f(x)＝log2(x－1)的定义域是(　　)

A．[1，＋∞)   B．(1，＋∞)

C．(－∞，1)   D．(－∞，1]

答案：B　

解析：由x－1>0，得x>1，故f(x)的定义域为(1，＋∞)．

4．若对数函数f(x)＝logax的图象过点(2,1)，则f(8)＝________.

答案：3　

解析：依题意，1＝loga2，所以a＝2，

所以f(x)＝log2x，故f(8)＝log28＝3.

课堂篇·重难要点突破

研习1 　对数函数的概念

[典例1]　下列函数中，是对数函数的是________．

①y＝logax3；②y＝log2x－1；③y＝2log5x；

④y＝logxa(x>0，且x≠1)；⑤y＝log4x.

答案：⑤　

解析：①中真数不是自变量x，不是对数函数．

②中对数式后减1，不是对数函数．

③中log5x前的系数是2，而不是1，故不是对数函数．

④中底数是自变量x，而不是常数，故不是对数函数．

⑤为对数函数．

判断一个函数是不是对数函数，必须严格符合形如y＝logax(a＞0，且a≠1)的形式，即满足以下条件：

(1)系数为1；

(2)底数为大于0且不等于1的常数；

(3)对数的真数仅有自变量x.

[练习1]已知下列函数：

①y＝log(－x)(x＜0)；

②y＝2log4(x－1)(x＞1)；

③y＝ln x(x＞0)；

④y＝log(a2＋a)x(x＞0，a是常数)．

其中，是对数函数的是________．(只填序号)

答案：③　

解析：对于①，自变量是－x，故①不是对数函数；

对于②，2log4(x－1)的系数为2，而不是1，且自变量是x－1，不是x，故②不是对数函数；

对于③，ln x系数为1，自变量是x，故③是对数函数；

对于④，底数a2＋a＝2－，

当a＝－时，底数小于0，故④不是对函数．

研习2　求反函数

[典例2]　求下列函数的反函数：

(1)y＝log4x；(2)y＝logx；

(3)y＝9x；(4)y＝x.

解：(1)对数函数y＝log4x，它的底数是4，它的反函数是指数函数y＝4x.

(2)对数函数y＝logx，它的底数是，它的反函数是指数函数y＝x.

(3)指数函数y＝9x，它的底数是9，它的反函数是对数函数y＝log9x.

(4)指数函数y＝x，它的底数是，它的反函数是对数函数y＝logx.

求反函数的步骤

由反函数的概念可以得出求反函数y＝f －1(x)的步骤如下：

(1)解x：由y＝f(x)反解得出x＝φ(y)．

(2)求定义域：求出y＝f(x)的值域，即y＝f －1(x)的定义域．

(3)写结论：将x＝φ(y)改写成y＝f－1(x)，并注明其定义域．

[练习2]写出下列函数的反函数：

(1)y＝logx；(2)y＝ln x；

(3)y＝x；(4)y＝2x－1.

解：(1)对数函数y＝logx，它的底数是，它的反函数是y＝x.

(2)对数函数y＝ln x的底数是e，它的反函数为y＝ex.

(3)指数函数y＝x的底数是，它的反函数是y＝logx＝－ln x.

(4)由y＝2x－1，得2x＝y＋1，∴x＝log2(y＋1)，

故它的反函数是函数y＝log2(x＋1)(x>－1)．

研习3 　y＝log2x的图象和性质

[典例3]　根据函数f(x)＝log2x的图象和性质解决以下问题．

(1)若f(a)>f(2)，求a的取值范围；

(2)求y＝log2(2x－1)在x∈[2,14]上的最值．

解：函数y＝log2x的图象如图．

(1)∵y＝log2x是增函数，若f(a)>f(2)，即log2a>log22，则a>2.∴a的取值范围为(2，＋∞)．

(2)∵2≤x≤14，∴3≤2x－1≤27，

∴log23≤log2(2x－1)≤log227.

∴函数y＝log2(2x－1)在x∈[2,14]上的最小值为log23，最大值为log227.

1．画函数y＝log2x的图象的注意事项

(1)分布在第一、四象限．

(2)过点(1,0)和(2,1)且自左向右上升．

(3)当x由1向0变化时，函数y＝log2x的图象逐渐降低，无限靠近y轴，但永远不会相交．

2．函数y＝log2x单调性的应用

提醒：函数y＝log2 x的图象与y轴是没有交点的．

[练习3]设f(x)是奇函数，当x>0时，f(x)＝log2x，则当x<0时，f(x)＝(　　)

A．－log2x      B．log2(－x)

C．logx2        D．－log2(－x)

答案：D

研习4 　对数函数的图象问题

[典例4]　说明函数y＝log2|x＋1|的图象可由y＝log2x的图象经过怎样变换而得到，并由图象指出函数y＝log2|x＋1|的单调性．

[审题路线图]由y＝log2|x|的图象⇒y＝log2|x＋1|的图象，数形结合指出函数的单调性．

解：先作出函数y＝log2x的图象，再作其关于y轴对称的图象，得到函数y＝log2|x|的图象，再将图象向左平移1个单位长度就得到函数y＝log2|x＋1|的图象，如图所示．由图象可得函数y＝log2|x＋1|在(－∞，－1)上单调递减，在(－1，＋∞)上单调递增．

[延伸探究]　(1)若将本例函数改为y＝|log2(1－x)|，应如何解答？

(2)若将本例函数改为y＝loga|x＋1|，试分析此函数的图象恒过哪些定点．

(1)解：先作出函数y＝log2x的图象．再作其关于y轴对称的图象得到y＝log2(－x)的图象．然后向右平移1个单位长度得y＝log2(1－x)的图象，最后将x轴下方的图象翻折到x轴上方，即可得函数y＝|log2(1－x)|的图象，如图所示．

由图象可得，函数y＝|log2(1－x)|在(－∞，0]上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增．

(2)解：无论a为何值，

当x＝0时，总有y＝loga 1＝0，

当x＝－2时，总有y＝loga 1＝0，

所以函数y＝loga|x＋1|的图象恒过点(0,0)和(－2，0)．

与对数函数有关的图象的画法

(1)列表描点法：列表，描点，连线．

(2)平移变换法：左加右减，上加下减．

(3)翻折变换法

(4)对称变换法：①y＝f(x)与y＝f(－x)关于y轴对称；②y＝f(x)与y＝－f(x)关于x轴对称；③y＝f(x)与y＝－f(－x)关于原点对称．

提醒：左右平移变换时，应注意只是自变量本身的变化．例如，y＝loga(－x)的图象向右平移1个单位长度得y＝loga[－(x－1)]＝loga(1－x)的图象．

课后篇·演练提升方案

1．函数y＝的定义域是(　　)

A．(3，＋∞)       B．[3，＋∞)

C．(4，＋∞)        D．[4，＋∞)

答案：D　

解析：由得

∴其定义域为[4，＋∞)，故选D．

2．设f(x)＝3x＋9，则f－1(x)的定义域是(　　)

A．(0，＋∞)        B．(9，＋∞)

C．(10，＋∞)        D．(－∞，＋∞)

答案：B　

解析：反函数f －1(x)的定义域是原函数的值域．

∵3x>0，∴f(x)＝3x＋9>9，

∴值域为(9，＋∞)，故选B．

3．若函数y＝f(x)是函数y＝ax(a>0且a≠1)的反函数且f(2)＝1，则f(x)＝(　　)

A．log2x    B．

C．logx        D．2x－2

答案：A　

解析：函数y＝ax(a>0且a≠1)的反函数是f(x)＝logax，

又f(2)＝1，即loga2＝1，∴a＝2，

故f(x)＝log2x，故选A．

4．已知函数f(x)＝若f(x)＝2，则x＝________.

答案：log32　

解析：当x∈(－∞，1]时，f(x)∈(0,3]；

当x∈(1，＋∞)时，f(x)∈(－∞，－1)．

∵f(x)＝2，∴3x＝2，∴x＝log32.

5．说出下列各组函数之间是否互为反函数，并说明理由．

(1)y＝7x和y＝log7x；

(2)y＝3x和y＝logx；

(3)y＝x和y＝log0.2x；

(4)y＝()x和y＝logx.

解：(1)(3)组是，因为它们的定义域、值域互换，对应关系互逆，符合y＝ax与y＝logax的关系．

(2)(4)组不是，因为它们的底数不同，不符合y＝ax与y＝logax的关系．