高中数学北师大版 (2019)必修 第一册4 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较测试题

这是一份高中数学北师大版 (2019)必修 第一册4 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较测试题

【优选】4 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较-1课堂练习一．填空题1．已知实数，函数，若对任意，总存在，使得，则a的最大值为___________.2．已知方程有两个不相等实根，则的取值范围为______．3．已知，函数的零点分别为（），函数的零点分别为（），则的最小值为___.4．已知函数()与的图象上存在关于轴对称的点，其中为自然对数，则实数的取值范围是______.5．已知，，若方程有四个不等实根，则a的取值范围为___________.6．若函数的一个零点为，则______.7．定义在上的函数满足，当时，，则函数的图象与的图象的交点个数为___________.8．函数的零点个数是________.9．已知函数，若关于的方程在上有个不相等的实数根，则实数的取值范围是___________.10．函数零点的一个近似值为_________.（误差不超过0. 25）备注：自然对数的底数.11．已知函数．若存在，使得，则m的取值范围是________．12．若方程有两个不同实数解，则实数的取值范围为________.13．若存在两个不相等的正实数，，使得成立，则实数的取值范围是________.14．设函数的零点为？？，若？？成等比数列，则实数的值为___________.15．记，已知+有4个零点，则这4个零点之和为______参考答案与试题解析1．【答案】【解析】分析：把对任意，总存在，使得，转化为在成立，结合一次函数与基本不等式分别求得函数的最小值，列出不等关系式，即可求解.详解：由题意，对任意，总存在，使得，等价于在成立，根据函数在上为单调递减函数，所以，即，即，当时，可得；当时，可得，所以当时，化简，又由，当且仅当，即时等号成立，所以，所以，即，即，所以a的最大值.故答案为：.【点睛】方法点拨：把对任意，总存在，使得，转化为在成立，结合函数的性质和基本不等式分别求得函数的最小值是解答的关键.2．【答案】【解析】分析：令，则方程在由两个不相等的实数根，令，则在时有两个零点，则，解得即可；详解：解：令，因为，所以，方程，即，因为有两个不相等实根，所以方程在由两个不相等的实数根，令，则在时有两个零点，所以，解得，故答案为：【点睛】二次函数．二次方程与二次不等式统称“三个二次”，它们常结合在一起，有关二次函数的问题，数形结合，密切联系图象是探求解题思路的有效方法．一般从：①开口方向；②对称轴位置；③判别式；④端点函数值符号四个方面分析．3．【答案】8【解析】分析：画出的函数图像如图所示，可得则可得，，利用基本不等式，即可求出最小值.详解：的函数图像如图所示则可得，当且仅当时，即时取等号此时，即最小值为8故答案为：8【点睛】关键点点睛：由函数的图像，把方程的解转化为函数图像的交点问题是常用的方法.本题考查了画图能力，计算能力和逻辑推理能力，属于一般题目.4．【答案】【解析】分析：由题意，将题干条件转化为，即在上有解，设函数，则求在上存在零点即可，分和两种情况讨论，结合函数的单调性，即可求得答案.详解：由题意，存在，使，即在上有解，令，则在定义域上为增函数，且时，，若时，定义域为，时，，故在上有解，当时，定义域为，上有解可转化为，所以，解得，综上：，故答案为：5．【答案】【解析】分析：两边同除，换元令，将原方程四个不等式实根转化成一元二次方程根的情况，给出约束条件求出结果.详解：，两边除以得，即，令，则令，，则，当，，当时，由的单调性可知，若原方程有四个不等实根，则只需式在上有两个不等实根，令，则，.故答案为：【点睛】关键点点睛：在方法一中关键是将其转化为一元二次方程根的情况，并能够找出其约束条件进行求解，这种转化的思想需要掌握；方法二中需要注意取等条件.6．【答案】【解析】分析：利用零点定义可知，将代入，结合，求解即可详解：因为函数的一个零点为，故即，解得，又，所以，，故答案为：7．【答案】7【解析】分析：由题设可知的周期为2，结合已知区间的解析式及，可得两函数图象，即知图象交点个数.详解：由题意知：的周期为2，当时，，∴．的图象如下：即与共有7个交点，故答案为：7.【点睛】结论点睛：有的周期为.8．【答案】2【解析】分析：根据，分和时，令求解.详解：当时，由解得，当时，由解得，所以函数的零点个数是2故答案为：29．【答案】【解析】分析：数形结合，由条件得在上有个不相等的实数根，结合图象分析根的个数列不等式求解即可.详解：作出函数图象如图所示：由，得，所以，且，若，即在上有个不相等的实数根，则 或，解得.故答案为：【点睛】方法点睛：判定函数的零点个数的常用方法：（1）直接法：直接求解函数对应方程的根，得到方程的根，即可得出结果；（2）数形结合法：先令，将函数的零点个数，转化为对应方程的根，进而转化为两个函数图象的交点个数，结合图象，即可得出结果.10．【答案】（可填中的任一实数）【解析】分析：按照二分法求零点近似值的步骤可求得结果.详解：因为，，，所以在内有零点，此时，不满足精确度，因为，，所以在内有零点，此时，不满足精确度，因为，，所以在内有零点，此时，符合精确度，所以函数零点的一个近似值为，故答案为：（可填中的任一实数）11．【答案】【解析】分析：设，则且有解等价于有解，利用根分布可求m的取值范围.详解：函数，若存在，使得，则，即，设，则，方程可化为，即关于t的方程在上有解，令，则或，解得，故答案为：．【点睛】方法点睛：与指数有关的方程的解的存在性问题，可利用换元法将其转化为一元二次方程的解的问题，注意换元时对应的范围.12．【答案】【解析】分析：由可得出，由题意可知，直线与函数的图象有两个交点，数形结合可得出关于实数的不等式，由此可解得实数的取值范围.详解：由可得出，令，当时，，由题意可知，直线与函数的图象有两个交点，如下图所示： 由图象可知，当时，即当时，直线与函数的图象有两个交点，因此，实数的取值范围是.故答案为：.【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.13．【答案】.【解析】分析：构造新函数，由时，，可得函数不单调，转化为时，有解，结合指数函数的性质，即可求解.详解：由存在两个不相等的正实数，，使得成立，可得成立，构造新函数，由时，，可得函数不单调，又由，可得当时，有解，即时，有解，因为当时，，所以，即实数的取值范围是.故答案为：.14．【答案】【解析】分析：原问题等价于与有三个不同的交点，且交点的横坐标分别为？？，结合余弦函数图象，由对称性知，，，又，联立即可求解出，进而可求出的值.详解：解：原问题等价于与有三个不同的交点，且交点的横坐标分别为？？，结合余弦函数图象，由对称性得，，，又，∴，∴，∴，故答案为：.【点睛】关键点点睛：将原问题等价转化为与有三个不同的交点，且交点的横坐标分别为？？，结合余弦函数图象，由对称性得，，是本题解题的关键.15．【答案】10【解析】分析：令．知关于对称，关于对称且，得．交点必在两侧，由函数性质，有4个零点相当于与．各有两个交点，即可求4个零点之和.详解：令，，可知关于对称，关于对称，且，∴联立．，在上有交点横坐标为，在上有交点横坐标为，+有4个零点，即直线与有4个交点，∴必与．各有两个交点， 所以根据它们的对称性知4个零点之和为.故答案为：10.【点睛】关键点点睛：由有4个零点相当于与有4个交点，由新定义函数性质，结合．的对称性，知与．的交点情况，进而由对称性求零点的和.