高中数学北师大版 (2019)必修 第一册4 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较同步训练题

这是一份高中数学北师大版 (2019)必修 第一册4 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较同步训练题

【优编】4 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较-1课堂练习一．填空题1．已知方程有两个实根，则的取值范围___________.2．函数y=f(x)，x∈(0，+∞)的图象如图所示，关于x的方程)有4个不同的实数解，则m的取值范围是___________.3．已知方程的根在区间上，第一次用二分法求其近似解时，其根所在区间应为__________．4．函数的零点，则a=___________.5．函数的零点个数为______．6．函数的零点个数为________.7．函数，关于的方程）有4个不同的实数解，则的取值范围是______．8．已知函数，若函数恰有一个零点，则的取值范围是______.9．已知函数，若关于的方程有8个不同的实根，则的取值范围__________.10．已知函数，若方程有三个不同的根分别设为，，，且，则的取值范围为______.11．已知函数，若函数恰有个不同的零点，则的取值范围是______.12．已知函数，若关于的方程有且只有一个实数根，则实数的取值范围是___________.13．已知．．为正整数，方程的两实根为，且，则的最小值为___________.14．已知函数，若，使得成立，请写出一个符合条件的函数的表达式__________.15．函数的零点是________.参考答案与试题解析1．【答案】【解析】分析：设，化简函数的解析式，作出函数的图象，数形结合可得出实数的取值范围.详解：设，则，当时，，由题意可知，直线与函数的图象有两个交点，如下图所示：由图象可知，当时，直线与函数的图象有且只有两个交点，因此，实数的取值范围是.故答案为：.【点睛】方法点睛：已知函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.2．【答案】【解析】分析：用换元法转化为讨论关于t的方程有两个根且两个都在区间上，求m的范围.详解：令，则关于的方程有4个不同的实数解等价于方程有两个根且两个都在区间上，设，由图则有，解得故答案为：【点睛】已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解；(4)二次函数型转化为“根的分布”.3．【答案】【解析】分析：由题意构造函数，求方程的一个近似解，就是求函数在某个区间内有零点，分析函数值的符号是否异号即可．详解：解：令，其在定义域上单调递增，且，，，由f（2.5）f（3）＜0知根所在区间为．故答案为：．4．【答案】3【解析】分析：易知是增函数，再由零点存在定理结合求解.详解：因为均为增函数，所以是增函数，又，所以的零点，又，所以，故答案为：35．【答案】【解析】分析：令，直接求解，结合函数定义域，即可得出函数零点，确定结果.详解：由可得或，因此，，又函数的定义域为，所以，即函数的零点只有个.故答案为：【点睛】方法点睛：判定函数零点个数的常用的方法：（1）直接法：直接求解函数对应的方程，得到方程的根，即可得出结果；（2）数形结合法：先令，将函数零点个数问题，转化为对应方程的根，进而转化为两函数图像交点个数问题，结合图像，即可得出结果.6．【答案】1【解析】分析：令，将函数的零点个数转化为与的交点个数，画出与的图像即可求解.详解：解：令，即，设，，在同一坐标系中画出，的函数图像如下所示：由图可知与的图像有个交点，即函数有个零点.故答案为： .7．【答案】【解析】分析：令，则方程有4个不同的实数解等价于方程有两个根且两个都在区间上，再作出实根分布知识即可求解．详解：作出函数的图象，如图所示： 令，则关于的方程有4个不同的实数解等价于方程有两个不等根且两个根都在区间上，设，由图有解得．故答案为：．【点睛】本题主要考查数形结合和转化思想的应用，解题关键是通过数形结合和换元，将方程有根转化为函数在某区间上有零点，再由数形结合或者实根分布知识建立等价条件，从而求解，属于中档题．8．【答案】【解析】分析：依题意画出函数图象，函数的零点转化为函数与的交点，数形结合即可求出参数的取值范围；详解：解：因为，函数图象如下所示，令，得，即函数与的交点，结合函数图象可知，，解得，即故答案为：【点睛】函数零点的求解与判断方法：(1)直接求零点：令，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且，还必须结合函数的图象与性质(如单调性．奇偶性)才能确定函数有多少个零点．(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．9．【答案】【解析】分析：先讨论，结合函数解析式，确定显然不满足题意；再讨论，画出的图象，利用数形结合的方法，即可求出结果.详解：若，当时，恒成立；当时，由得；即仅有一个根；所以由可得，则；即方程仅有一个实根；故不满足有8个不同的实根；若时, 画出的大致图象如下，由可得，，，又有8个不同的实根，由图象可得，显然有三个根，显然有两个根，所以必有三个根，而，，为使有三个根，只需，解得；综上可知，.故答案为：.【点睛】方法点睛：已知函数零点个数(方程根的个数)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.10．【答案】【解析】分析：根据已知条件画出函数图像，结合图像求解即可.详解：画出函数的图像，由方程有三个不同的根分别设为，，，且，可得，，所在的位置如图所示，则，关于轴对称，所以，，，则，所以，则的取值范围为.故答案为：.【点睛】关键点睛：利用数形结合法解决根的个数问题是解决本题的关键.11．【答案】【解析】分析：由题意可知，对任意的，，且为函数的一个零点，构造函数，，可知，函数与的图象有个交点，分和两种情况讨论，数形结合可求得实数的取值范围.详解：由题意可知，对任意的，，且为函数的一个零点，令，，则函数与的图象有个交点.当时，函数的零点为，如下图所示： 此时，函数与的图象有个交点，合乎题意；当时，函数的零点为，则函数与在轴左侧的图象没有交点，所以，函数与在轴右侧的图象必有个交点，则直线与有两个交点，联立，可得，则方程在上有两个不等的实根，可得，解得.综上所述，实数的取值范围是.故答案为：.【点睛】方法点睛：判定函数的零点个数的常用方法：（1）直接法：直接求解函数对应方程的根，得到方程的根，即可得出结果；（2）数形结合法：先令，将函数的零点个数，转化为对应方程的根，进而转化为两个函数图象的交点个数，结合图象，即可得出结果.12．【答案】【解析】分析：首先将方程等价为方程，画出与的函数图象，联立，根据，再结合图象即可得到答案.详解：方程.画出与的函数图象如图所示：因为直线过，联立得，由，得.又过与两点的直线的斜率，由图知：当直线过点时，为函数与有两个交点的临界点，此时，由图可知，若关于的方程有且只有一个实数根，则实数的取值范围为.故答案为：【点睛】方法点睛：方程根的个数判别方法：（1）直接法：直接求出方程的解，（2）图象法：根据函数图象的交点个数得到根的个数.13．【答案】．【解析】分析：依题意从而可得，，则有结合，，为正整数可求得最小值详解：依题意，可知，从而可知，，所以有，故，又，，为正整数，取，则，所以，所以．又，所以，因此有最小值为9.故答案为：9【点睛】方法点睛：二次方程的根的分布常从以下几个方面考虑：（1）抛物线的开口方向；（2）对称轴的问题；（3）判别式的大小；（4）与坐标轴的交点位置；（5）端点函数值的大小. 要结合已知条件灵活分析解答.14．【答案】（答案不唯一）【解析】分析：由知，，变形得，由对称性画出的图象，找出一个能与之有交点的函数图象即可详解：由，使得可得，由与图象关于原点对称可得与图像关于原点对称，如图：取时，在第三象限显然有一交点，故取符合，故答案为：【点睛】本题考查函数与零点的综合应用，能有效利用对称性作图是解题关键，对于函数的对称性问题，有以下结论：①与关于轴对称；②与关于轴对称；③与关于原点对称.15．【答案】【解析】分析：令，解方程即可．详解：解：令，则或，且，得，即函数的零点是．故答案为：．【点睛】易错点睛：解分式方程或含对数式的方程，要注意分式的分母不为零，对数的真数部分大于零．