高中数学北师大版 (2019)必修 第一册4 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较练习题

这是一份高中数学北师大版 (2019)必修 第一册4 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较练习题

【精品】4 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较-1课时练习一．填空题1．已知函数，若函数在上有两个零点，则的取值范围是___________.2．已知函数，若方程有且只有三个不相等的实数解，则实数k的取值范围是__________.3．已知函数有2个零点，且过点，则常数t的一个取值为______．4．已知函数，若仅有两个不同零点，则实数a的取值范围是_________．5．若函数在其定义域上单增，且零点为2，则满足条件的一个可能是____________.(写出满足条件的一个即可)6．已知函数有三个不同的零点，，，其中，则的值为________．7．已知定义在上的函数满足，且当时，，当时，，则函数在上有_______个零点．8．已知函数，若函数恰有两个不同的零点，则实数的取值范围是______．9．已知函数有五个不同的零点，且所有零点之和为，则实数的值为______．10．函数在上的零点之和为______.11．设函数，若关于的方程有且仅有两个不同的实数根，则实数的取值构成的集合为________．12．设，函数在定义域上有两个零点，，函数有两个零点，，为自然对数的底数，若，则实数的取值范围是___________.13．已知是奇函数，定义域为，当时，（），当函数有3个零点时，则实数的取值范围是__________.14．方程实根的个数为_______．15．已知函数，若方程有四个不同的根．．．，且，则的取值范围是__________.参考答案与试题解析1．【答案】【解析】分析：可得时，有一个零点，所以只需要当时，有一个根，利用“分离参数法”求解即可.详解：因为函数,当时，有一个零点，所以只需要当时，有一个根即可，即有一根,当时，且单调递增，所以，即，故答案为．【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)，求参数取值范围的三种常用的方法：(1)直接法，直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法，先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法，先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．2．【答案】【解析】分析：方程有且只有三个不相等的实数解，可转化为与图象有三个交点，画出函数图象，数形结合求解k的取值范围.详解：方程有且只有三个不相等的实数解，可转化为与图象有三个交点，画出，与图象如图，与相切时，，过点时，，根据图象可知，时，两图象有三个交点，若方程有且只有三个不相等的实数解，则实数的取值范围时，故答案为：【点睛】函数零点的求解与判断方法：(1)直接求零点：令f(x)＝0，如果能求出解，则有几个解就有几个零点．(2)零点存在性定理：利用定理不仅要函数在区间[a，b]上是连续不断的曲线，且f(a)·f(b)＜0，还必须结合函数的图象与性质(如单调性．奇偶性)才能确定函数有多少个零点．(3)利用图象交点的个数：将函数变形为两个函数的差，画两个函数的图象，看其交点的横坐标有几个不同的值，就有几个不同的零点．3．【答案】（不唯一）．【解析】分析：由条件求出的范围，然后取一个值即可.详解：由可得或由可得因为函数有2个零点，且过点，所以故答案为：（不唯一）4．【答案】【解析】分析：画出分段函数的图象，利用函数零点的个数，判断a的范围即可.详解：函数的图象如下：函数仅有两个不同零点，可转化为函数与函数的图象有2个交点，由图可知.故答案为：.【点睛】方法点睛：本题考查已知零点个数求参数的取值范围，处理函数的零点个数问题时一般转化为函数图象的交点个数，然后借助于函数图象解决，考查数形结合思想和转化思想，属于常考题.5．【答案】【解析】分析：根据函数的单调性及零点，写出满足题意的一个函数即可.详解：根据在其定义域上单增，且零点为2，即，可写出一个函数.故答案为：6．【答案】1【解析】分析：令，则原函数会转化为关于的一元二次方程的根，通过韦达定理确保根的情况，同时研究内层函数的图象，数形结合研究零点的范围.详解：设，，当时，；当时，，故在上单调递增，在上单调递减，且时，；时，，∴，作出的图象，如图要使有三个不同的零点，，其中令，则需要有两个不同的实数根（其中）则，即或，且若，则，∵，∴，则∴，则，且∴=若，则，因为，且，∴，故不符合题意，舍去综上故答案为：1【点睛】数形结合的思想来确定零点所在的区间，以及零点之间的关系，进而求得结果。7．【答案】7【解析】分析：先确定函数的奇偶性和周期，再作图象，数形结合即可得解．详解：由，即，所以函数是奇函数，又由当时，，所以在上是周期为1的周期函数，令，可得，结合当时，，作出函数和的大致图象，如图所示，数形结合可知函数和的图象在上有7个交点，即函数在上有7个零点．故答案为：.【点睛】解后反思 解决本题需注意以下几点：（1）会转化，即会将函数子．零点问题转化为曲线的交点问题；（2）会作图，即会作出函数和的大致图象；（3）会观察，即会利用数形结合思想观察，得到函数在上的零点个数．8．【答案】【解析】分析：先根据条件得到的单调区间和最值，作出的图象，根据函数恰有两个不同的零点，得到与图象有且仅有两个交点，数形结合即可求解.详解：函数在上单调递减，在上单调递增，令，可得当时 ，当时，，在单调递减，在单调递增，的图象，如图所示若函数恰有两个不同的零点，得到与图象有且仅有两个交点，故，故答案为【点睛】方法点睛：已知函数有零点(方程有根)求参数值(取值范围)常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解9．【答案】【解析】分析：将换为，可得，则的图象关于直线对称，由题意可得，解得，再由，根据对称性得，代入求得的值．详解：解：函数，将换为，可得，则的图象关于直线对称，则中间的一个零点为由所有零点之和为，则可得，解得，则，由的图象关于直线对称，可得有个一零点为，即，得，解得.故答案为：．【点睛】关键点点睛：本题关键点为利用函数的对称性，利用对称性及零点的和求出的值，从而得出有一个零点为，代入即可求得所求结果.10．【答案】【解析】分析：令，得，再根据，得到范围求解.详解：，令得，，因为，所以，则或或或，解得或或或，所以.故答案为：11．【答案】【解析】分析：将方程的解转化为两个函数交点问题求解.详解：由得有两个不同的解， 令，的顶点在上，而与的交点坐标为，联立得，由，解得或，数形结合，要使得有两个不同的解，则实数的取值范围是或或.故答案为：12．【答案】【解析】分析：分别令和，可得到所求零点即为，和的交点，又与交于点，画出图像，可得到满足条件的关系式.详解：由题意可知，令，可得，即，令，可得，即，且，是的一个根因为与交于点，所以若，只需满足且，所以，则实数的取值范围是.故答案为：.【点睛】思路点睛：（1）求函数的零点，经常将所求函数拆分成两个函数的交点.（2）多个函数零点的比较，可以将函数拆分成多个函数与同一个函数相交，然后比较交点的位置.13．【答案】【解析】分析：首先根据函数 的单调性和端点值画出函数的图象，再根据函数的性质画出函数的图象，根据数形结合求的取值范围.详解：当时，易知函数单调递减，且时，，时，，其大致图象如下，在的大致图象如下，又函数是定义在上的奇函数，故函数的图象如下，要使函数有3个零点，只需函数的图象与直线有且仅有3个交点，由图象可知，．故答案为：．【点睛】方法点睛：本题考查根据方程实数根的个数求参数的取值范围，一般可采用1.直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；（3）数形结合：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后观察求解，此时需要根据零点个数合理寻找“临界”情况，特别注意边界值的取舍.14．【答案】1【解析】分析：运用转化法．数形结合法进行判断即可.详解：方程实根的个数可以转化为函数图象的交点的个数，在同一直角坐标系内，两函数的图象如下图所示：通过图象可知只有一个交点，故答案为：115．【答案】【解析】分析：作出函数的图象，计算得出，利用二次函数图象的对称性得出，求出的取值范围，可求得的取值范围，由此求得结果.详解：作出函数的图象如下图所示：方程有四个不同的实根，等价于直线与函数的图象有四个交点，不妨设，由图可知，只有当时，直线与函数的图象有四个交点.当时，，由图可知，，，所以，，即，即，所以，，当时，，表示对称轴为直线，开口向上的抛物线，，，所以，，，且，则，所以，，所以，，因此，.故答案为：.【点睛】思路点睛：已知函数的零点或方程的根的情况，求解参数的取值范围问题的本质都是研究函数的零点问题，求解此类问题的一般步骤：（1）转化，即通过构造函数，把问题转化成所构造函数的零点问题；（2）列式，即根据函数的零点存在定理或结合函数的图象列出关系式；（3）得解，即由列出的式子求出参数的取值范围．