高中数学北师大版 (2019)必修 第一册4 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较巩固练习

【精选】4 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较-2练习

一．填空题

1．已知函数，则方程的根的个数为 ________．

2．若关于的方程的两根分别在区间，内，则实数的取值范围为______________________．

3．设区间是函数的定义域D的子集，定义在上的函数记为，若，则关于x的方程恰有4个不同的解时，实数t的取值范围为________.

4．曲线与圆：只有一个公共点，则圆的面积为___________.

5．用“二分法”求函数在区间内的零点时，取的中点，则的下一个有零点的区间是__________．

6．函数的零点个数为_________.

7．已知，函数，若方程恰有两个不同的实数根，则实数k的取值范围是___________．

8．已知函数，若方程在上有8个实数根，则实数的取值范围是_________.

9．已知函数，若存在两个不相等的实数，使得，则实数的取值范围是__________．

10．解的个数为________.

11．已知函数存在个零点，则实数的取值范围是__________.

12．函数的零点是____________

13．已知是周期为4的奇函数，当时，，当时，．若直线与的图象在内的交点个数为m，直线与的图象在内的交点个数为n，且，则a的取值范围是__________．

14．已知函数，若关于的方程恰有两个实数根，则实数的取值范围是_________.

15．函数的图象与函数的图象有且仅有一个公共点，则实数的取值范围为_________.

参考答案与试题解析

1．【答案】4

【解析】分析：作出函数的大致图象，根据与的图象交点个数即可得出结果.

详解：方程的根的个数，

即函数与函数的图象交点个数，

在同一坐标系中作出两个的图象，如下：

由图象可知，方程的根的个数为4.

故答案为：4

2．【答案】

【解析】分析：先求出方程的对应两根或，且，可得且，即可求解.

详解：由可得，

解得：或，且，

因为方程的两根分别位于区间，内，

所以且，解得，

故答案为：

3．【答案】

【解析】分析：根据题意可得题目等价于和有4个交点，画出的函数图象，数形结合即可求出.

详解：由可得，即，

因为，则.

画出函数图像，根据图像知：.

故答案为：.

【点睛】

本题考查函数与方程的综合应用，解题的关键是得出方程等价于和有4个交点，数形结合求解.

4．【答案】

【解析】分析：联立曲线与圆方程，消去，利用换元法以及根与系数的关系解出，可得圆的面积．

详解：联立曲线与圆：，

可得，即

令，则

，且，解得

则圆的面积为

故答案为：

5．【答案】

【解析】分析：计算出．．，利用零点存在定理可得出结论.

详解：，，，，

因此，的下一个有零点的区间是.

故答案为：.

6．【答案】2

【解析】分析：分段求函数零点个数，当时，利用零点存在性定理判断.

详解：当时，，解得：，

当时，单调递增，并且，，，所以在区间内必有一个零点，所以零点个数为2个.

故答案为：2

7．【答案】

【解析】分析：程恰有两个不同的实数根转化为函数的图象与直线在两个不同的交点，作出函数图象与直线后，由图象观察可得结论，其中需要用导数求出在处的切线斜率．

详解：方程恰有两个不同的实数根，即函数的图象与直线在两个不同的交点，作出函数的图象与直线的图象如下，易知直线恒过定点，又，，，，

时，，，即函数的图象在处的切线斜率为，

由图象可得或．

故答案为：．

【点睛】

方法点睛：本题考查了方程的根的分布问题，考查了数形结合思想，分类讨论思想与转化思想的应用．导数的几何意义，属于中档题，解题方法是把方程的根的个数转化为函数的图象与直线的交点个数问题，作出函数图象和直线，结合图象可求解，解题时注意临界位置的取舍．

8．【答案】

【解析】分析：确定在的性质，知在上有4个根，作出的图象，由数形结合思想可得结论．

详解：在上单调递增，在上单调递减，，，

又∵，，

由函数的图象（如图）知，要使得方程在上有8个实根，

在上有4个根，由图可知，实数的取值范围是.

故答案为：．

【点睛】

思路点睛：本题考查方程根的个数问题，解题方法数形结合思想方法，对于一个复杂的方程首先利用换元法，设，求出此函数在上的性质，得时有两个根，从而确定方程在上必须有4个根，作出函数图象，由图象可得结论．

9．【答案】

【解析】分析：根据与交于和点，即可求解结论．

详解：解：因为存在两个不相等的实数，，使得，

故函数不是单调函数，

又因为与交于和点，

故须．

故答案为：．

10．【答案】

【解析】分析：将条件转化为函数与的图像的交点的个数，然后画图分析即可.

详解：的零点个数等价于函数与函数的图像的交点的个数，在同一直角坐标系中作出函数与的图像，如图所示，两函数有一个交点，故解 的个数为.

故答案为：.

11．【答案】

【解析】分析：令可得出，令，，利用导数分析函数与的单调性与极值，数形结合可得出与函数的两个交点的横坐标在区间内，进而可求得实数的取值范围.

详解：令，可得，

令，，

，令，可得，列表如下：

所以，函数在处取得最大值，即.

当时，.

所以，函数的定义域为，

，令，由于，解得，列表如下：

所以，函数在处取得最大值，即，

若使得函数存在个零点，

则直线与函数的图象恰有两个交点，设交点的横坐标分别为．，

作出函数的图如下图所示：

由图象可知，.

作出函数与函数在上的图象如下图所示：

由图象可知，当时，即当时，

直线与函数在上的图象有两个交点，

综上所述，实数的取值范围是.

故答案为：.

【点睛】

思路点睛：对于复合函数的零点个数问题，求解思路如下：

（1）确定内层函数和外层函数；

（2）确定外层函数的零点；

（3）确定直线与内层函数图象的交点个数分别为．．．．，则函数的零点个数为.

12．【答案】

【解析】分析：直接令，求解，即可得出结果.

详解：由得，所以，解得.

即函数的零点是.

故答案为：

13．【答案】

【解析】分析：先根据题意作出在上的图象，根据，得到关于a的不等式，解不等式可得.

详解：依题意可作出在上的图象，如图所示．

因为，所以由图可知，

解得．

故答案为：

【点睛】

数形结合法求零点个数：根据题意转化为，分别做出和的图象，观察交点的个数即为零点的个数．

14．【答案】

【解析】分析：根据题意，能判断出不是方程的实数根，从而得到，将方程有两个根转化为与的图象恰有两个不同的交点，画出函数图象，观察图象得到结果

详解：由题意可得，显然不是方程的实数根，

则，

故关于x的方程恰有两个实数根，

等价于与的图象恰有两个不同的交点.

画出的大致图象，如图所示，

由图象可得.

故答案为：.

【点睛】

方法点睛：该题考查的是有关根据方程根的个数求参数的取值范围的问题，解题方法如下：

（1）观察式子，对其变形；

（2）将方程的根的个数转化为图象交点个数来完成；

（3）画函数图象，得到结果.

15．【答案】

【解析】分析：根据幂函数的性质作出的图象，数形结合即可求解.

详解：

由幂函数的性质作出的图象，由图知当直线与的图象相切时，只有一个公共点，由得，

设切点则，解得，所以，切点为，

因为切点在切线上，所以，解得符合题意，

当直线过点时，此时有个交点，由图知时有一个交点，

故答案为：

【点睛】

关键点点睛：本题的关键点是根据幂函数的性质作出的图象，然后作，当与曲线相切时有一个公共点，利用切点处的导函数值等于，求出的值，当直线过原点时有两个公共点，此时再向下平移有一个公共点，可得.