备战2023数学新中考二轮复习重难突破（江苏专用）专题05 二元一次方程

重点分析

一元二次方程的解法与一元二次方程的实际应用是中考考查的重点内容，一元二次方程的解法常以选择题、填空题的形式出现，一元二次方程的实际应用多出现在以社会热点为题材的解答题中．

难点解读

难点一、一元二次方程的概念

1．定义

只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程，叫做一元二次方程．

【注】判断一个方程是否是一元二次方程，必须符合以下三个标准：

①     一元二次方程是整式方程，即方程的两边都是关于未知数的整式．

②     一元二次方程是一元方程，即方程中只含有一个未知数．

③     一元二次方程是二次方程，也就是方程中未知数的最高次数是．

2．一般形式

一元二次方程的一般形式：ax2＋bx＋c＝0(a≠0)．

要特别注意对于关于的方程，

当时，方程是一元二次方程；当且时，方程是一元一次方程．

为二次项，其系数为；为一次项，其系数为；为常数项．

难点二、一元二次方程的解法

一、直接开方法解一元二次方程　

1、直接开平方法的理论依据：
　　　 平方根的定义.
2、能用直接开平方法解一元二次方程的类型有两类：
　　　 ①形如关于的一元二次方程，可直接开平方求解.
　　　 　若，则；表示为，有两个不等实数根；
　　　 　若，则；表示为，有两个相等的实数根；
　　　 　若，则方程无实数根．
　　　 ②形如关于x的一元二次方程，可直接开平方求解，两根是
　　　　 。

二、配方法解一元二次方程

用配方法解一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的一般步骤

1、一化：化二次项系数化为1：方程两边都除以二次项系数；

2、二移：移项，使方程左边为二次项与一次项，右边为常数项；

3、三配：

①配方：方程两边都加上一次项系数一半的平方，方程化为 的形式；

②方程左边变形为一次二项式的完全平方式，右边合并为一个常数；

4、四解：

①用直接开平方法解变形后的方程，此时需保证方程右边是非负数。 

②分别解这两个一元二次方程，求出两根。

三、公式法解一元二次方程

1.一元二次方程的求根公式
　一元二次方程，当时，.
2.一元二次方程根的判别式

一元二次方程根的判别式：．
　　　 ①当时，原方程有两个不等的实数根；
　　　 ②当时，原方程有两个相等的实数根；
　　　 ③当时，原方程没有实数根.
3.用公式法解一元二次方程的步骤
　用公式法解关于x的一元二次方程的步骤：
　　　 ①把一元二次方程化为一般形式； ②确定a、b、c的值（要注意符号）；
　　　 ③求出的值；          ④判断

四、十字相乘法解一元二次方程

1、十字相乘法的方法：十字左边相乘等于二次项系数，右边相乘等于常数项，交叉相乘再相加等于一次项系数。

2、十字相乘法的用处：（1）用十字相乘法来分解因式。（2）用十字相乘法来解一元二次方程。

3、十字相乘法的优点：用十字相乘法来解题的速度比较快，能够节约时间，而且运用算量不大，不容易出错。

4、十字相乘法的缺陷：

①有些题目用十字相乘法来解比较简单，但并不适用于每一道题。

②十字相乘法只适用于二次三项式类型的题目。

真题演练

1．（2021·江苏盐城市）若是一元二次方程的两个根，则的值是（    ）

A．2 B．-2 C．3 D．-3

2．（2021·江苏南通市）若m，n是一元二次方程的两个实数根，则的值为___________．

3．（2021·江苏泰州市）关于x的方程x2﹣x﹣1＝0的两根分别为x1、x2则x1+x2﹣x1•x2的值为 ___．

4．（2021·江苏徐州市）若是方程的两个根，则_________．

5．（2021·江苏南京市）设是关于x的方程的两个根，且，则_______．

6．（2021·江苏连云港市）已知方程有两个相等的实数根，则=____．

7．（2021·江苏盐城市）劳动教育己纳入人才培养全过程，某学校加大投入，建设校园农场，该农场一种作物的产量两年内从300千克增加到363千克．设平均每年增产的百分率为，则可列方程为________．

8．（2021·江苏徐州市）解方程：

9．（2021·江苏无锡市）在中，，，，点P是所在平面内一点，则取得最小值时，下列结论正确的是（    ）

A．点P是三边垂直平分线的交点 B．点P是三条内角平分线的交点

C．点P是三条高的交点 D．点P是三条中线的交点

10.（2021·江苏·九年级一模）下列方程中，属于一元二次方程的是（　　）

A．2y＝3x+2 B．3x2﹣1＝2x C．2x2﹣1＝ D．5＝x+3

11．（2021·江苏连云港·九年级一模）已知，是方程2+2x-3=0的两个根，则的值为（　　）

A． B． C．1 D．

12．（2021·江苏九年级一模）关于x的一元二次方程x2-2(m+1)x+m2=0有两个实数根，则m的最小整数值是（    ）．

A．-2 B．-1 C．0 D．1

14．（2021·江苏·九年级一模）下列多项式中，是完全平方式的为（　　　）

A． B． C． D．

15．（2021·江苏·九年级一模）一元二次方程2x2＋6x＋3＝ 0 经过配方后可变形为（　　）

A． B． C． D．

16．已知是关于x的一元二次方程的一个根，则k的值为　　

A．3 B． C．2 D．

17．（2021·江苏）下列关于x的方程有实数根的是（  ）

A．x2－x＋1＝0 B．x2＋x＋1＝0

C．(x－1)(x＋2)＝0 D．(x－1)2＋l＝0

18．（2021·江苏）已知关于的一元二次方程有两个实数根，则的取值范围是（     ）

A． B． C． D．，且

19．关于x的一元二次方程x2﹣2x+m=0有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是（　　）

A．m＜3 B．m＞3 C．m≤3 D．m≥3

20．（2021·江苏）已知关于x的一元二次方程（m﹣2）2x2+（2m+1）x+1＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是（　　）

A．m＞ B．m≥ C．m＞且m≠2 D．m≥且m≠2

21．（2021·江苏·南京）已知一个直角三角形的两条直角边的长恰好是方程x2-3x=4(x-3)的两个实数根，则该直角三角形斜边上的中线长是(　　)

A．3 B．4 C．6 D．2.5