备战2023数学新中考二轮复习重难突破（江苏专用）专题14 图形的相似

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重点分析
相似多边形的性质是中考考查的热点，其中以相似多边形的相似比、面积比、周长比的关系考查较多．相似三角形的判定、性质及应用是考查的重点，常与方程、圆、四边形、三角函数等相结合，进行有关计算或证明
难点强化
难点一、比例线段
1．比例线段的定义：
在四条线段a，b，c，d中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，即(或a∶b＝c∶d)，那么这四条线段a，b，c，d叫做成比例线段，简称比例线段．
2．比例线段的性质：
(1)基本性质：＝ad＝bc；
(2)合比性质：＝＝；
(3)等比性质：
若＝＝…＝(b＋d＋…＋n≠0)，那么＝.
3．黄金分割：
点C把线段AB分成两条线段AC和BC，如果＝，则线段AB被点C黄金分割，点C叫线段AB的黄金分割点，AC与AB的比叫做黄金比．
难点二、相似多边形
1．定义：
对应角相等、对应边成比例的两个多边形叫做相似多边形．相似多边形对应边的比叫做相似比，相似比为1的两个多边形全等．
2．性质：
(1)相似多边形的对应角相等，对应边成比例；
(2)相似多边形周长的比等于相似比；
(3)相似多边形面积的比等于相似比的平方．
难点三、相似三角形
1．定义：
各角对应相等，各边对应成比例的两个三角形叫做相似三角形．
2．判定：
(1)平行于三角形一边的直线和其他两边(或两边延长线)相交，所构成的三角形与原三角形相似；
(2)两角对应相等，两三角形相似；
(3)两边对应成比例且夹角相等，两三角形相似；
(4)三边对应成比例，两三角形相似；
(5)斜边和一条直角边对应成比例，两直角三角形相似．
3．性质：
(1)相似三角形的对应角相等，对应边成比例；
(2)相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比；
(3)相似三角形周长的比等于相似比；
(4)相似三角形面积的比等于相似比的平方
难点四、图形的位似
1．定义：
如果两个图形仅是相似图形，而且每组对应点所在的直线都经过同一个点，那么这两个图形叫位似图形．这个点叫做位似中心，这时的相似比称为位似比．
2．性质：
位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离之比等于位似比．
3．画位似图形的步骤
(1)确定位似中心点；
(2)连接图形各顶点与位似中心的线段(或延长线)；
(3)按位似比进行取点；
(4)顺次连接各点，所得的图形就是所求图形．
真题演练
1．（2021·江苏连云港·中考真题）如图，中，，、相交于点D，，，，则的面积是（       ）

A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
【分析】
过点C作的延长线于点，由等高三角形的面积性质得到，再证明，解得，分别求得AE、CE长，最后根据的面积公式解题．
【详解】
解：过点C作的延长线于点，

与是等高三角形，












设



，
故选：A．
【点睛】
本题考查相似三角形的判定与性质、正切等知识，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
2．（2020·江苏无锡·中考真题）如图，等边的边长为3，点在边上，，线段在边上运动，，有下列结论：

①与可能相等；②与可能相似；③四边形面积的最大值为；④四边形周长的最小值为．其中，正确结论的序号为（     ）
A．①④ B．②④ C．①③ D．②③
【答案】D
【解析】
【分析】
①通过分析图形，由线段在边上运动，可得出，即可判断出与不可能相等；
②假设与相似，设，利用相似三角形的性质得出的值，再与的取值范围进行比较，即可判断相似是否成立；
③过P作PE⊥BC于E，过F作DF⊥AB于F，利用函数求四边形面积的最大值，设，可表示出，，可用函数表示出，，再根据，依据，即可得到四边形面积的最大值；
④作点D关于直线的对称点D1，作D1D2∥PQ，连接CD2交AB于点P′，在射线P′A上取P′Q′=PQ，此时四边形P′CDQ′的周长为：，其值最小，再由D1Q′=DQ′=D2 P′，，且∠AD1D2=120°，∠D2AC=90°，可得的最小值，即可得解．
【详解】
解：①∵线段在边上运动，，
∴,
∴与不可能相等，
则①错误；
②设，
∵，，
∴，即，
假设与相似，
∵∠A=∠B=60°，
∴，即，
从而得到，解得或（经检验是原方程的根），
又，
∴解得的或符合题意，
即与可能相似，
则②正确；
③如图，过P作PE⊥BC于E，过D作DF⊥AB于F，

设，
由，，得，即，
∴，
∵∠B=60°，
∴，
∵，∠A =60°，
∴,
则，
，
∴四边形面积为：,
又∵，
∴当时，四边形面积最大，最大值为：，
即四边形面积最大值为，
则③正确；
④如图，作点D关于直线的对称点D1，作D1D2∥PQ，连接CD2交AB于点P′，在射线P′A上取P′Q′=PQ，
此时四边形P′CDQ′的周长为：，其值最小，
∴D1Q′=DQ′=D2 P′，，
且∠AD1D2=180∠D1AB=180∠DAB =120°，

∴∠D1AD2=∠D2AD1==30°，∠D2AC=90°，
在△D1AD2中，∠D1AD2=30°，，
∴，
在Rt△AD2C中，
由勾股定理可得，，
∴四边形P′CDQ′的周长为：


，
则④错误，
所以可得②③正确，
故选：D．
【点睛】
本题综合考查等边三角形的性质、相似三角形的性质与判定、利用函数求最值、动点变化问题等知识．解题关键是熟练掌握数形结合的思想方法，通过用函数求最值、作对称点求最短距离，即可得解．
3．（2019·江苏苏州·中考真题）如图，在中，点为边上的一点，且，，过点作，交于点，若，则的面积为(       )

A． B． C． D．
【答案】B
【解析】
【分析】
先证，利用相似三角形性质得到，即，在直角三角形ABD中易得，从而解出DC，得到△ABC的高，然后利用三角形面积公式进行解题即可
【详解】



易证

即
由题得
解得
的高易得：

故选B
【点睛】
本题主要考查相似三角形的判定和性质、等腰直角三角形的高，本题关键在于找到相似三角形求出DC的长度
4．（2019·江苏·中考真题）如图，在矩形ABCD中，AD＝AB．将矩形ABCD对折，得到折痕MN；沿着CM折叠，点D的对应点为E，ME与BC的交点为F；再沿着MP折叠，使得AM与EM重合，折痕为MP，此时点B的对应点为G．下列结论：①△CMP是直角三角形；②点C、E、G不在同一条直线上；③PC＝MP；④BP＝AB；⑤点F是△CMP外接圆的圆心．其中正确的个数为（   ）

A．2个 B．3个 C．4个 D．5个
【答案】B
【解析】
【分析】
根据折叠的性质得到∠DMC＝∠EMC，∠AMP＝∠EMP，于是得到∠PME+∠CME＝×180°＝90°，求得△CMP是直角三角形；故①正确；根据平角的定义得到点C、E、G在同一条直线上，故②错误；设AB＝x，则AD＝2x，得到DM＝AD＝x，根据勾股定理得到CM＝＝x，根据射影定理得到CP=x，得到，故③错误；由得，求得，故④正确；根据三角形中位线性质，得到CF＝PF，根据直角三角形性质得CF＝PF＝MF，，求得点F是△CMP外接圆的圆心，故⑤正确．
【详解】
解：∵沿着CM折叠，点D的对应点为E，
∴∠DMC＝∠EMC，
∵再沿着MP折叠，使得AM与EM重合，折痕为MP，
∴∠AMP＝∠EMP，
∵∠AMD＝180°，
∴∠PME+∠CME＝180°＝90°，
∴△CMP是直角三角形；故①正确；
∵沿着CM折叠，点D的对应点为E，
∴∠D＝∠MEC＝90°，
∵再沿着MP折叠，使得AM与EM重合，折痕为MP，
∴∠MEG＝∠A＝90°，
∴∠GEC＝180°，
∴点C、E、G在同一条直线上，故②错误；
∵AD＝2AB，
∴设AB＝x，则AD＝2x，
∵将矩形ABCD对折，得到折痕MN；

∵∠PMC＝90°，MN⊥PC，
∴CM2＝CN•CP，



，
,故③错误；



,故④正确，
∵CD＝CE，EG＝AB，AB＝CD，
∴CE＝EG，
∵∠CEM＝∠G＝90°，
∴FE∥PG，
∴CF＝PF，
∵∠PMC＝90°，
∴CF＝PF＝MF，
∴点F是△CMP外接圆的圆心，故⑤正确；
故选B．
【点睛】
本题考查了三角形的外接圆与外心，折叠的性质，直角三角形的性质，矩形的性质，正确的识别图形是解题的关键．
5．（2019·江苏·中考真题）在如图所示的象棋盘（各个小正方形的边长均相等）中，根据“马走日”的规则，“马”应落在下列哪个位置处,能使“马”、“车”、“炮”所在位置的格点构成的三角形与“帅”、“相”,“兵”所在位置的格点构成的三角形相似（   ）

A．①处 B．②处 C．③处 D．④处
【答案】B
【解析】
【分析】
确定“帅”、“相”、“兵”所在位置的格点构成的三角形的三边的长，然后利用相似三角形的对应边的比相等确定第三个顶点的位置即可．
【详解】
帅”、“相”、“兵”所在位置的格点构成的三角形的三边的长分别为； 
“车”、“炮”之间的距离为1，“炮”②之间的距离为，“车”②之间的距离为2 ， 
∵
∴马应该落在②的位置，
故选B
【点睛】
本题考查了相似三角形的知识，解题的关键是利用勾股定理求得三角形的各边的长，难度不大．
6．（2019·江苏常州·中考真题）若，相似比为1:2，则与的面积的比为（ ）
A．1:2 B．2:1 C．1:4 D．4:1
【答案】C
【解析】
【详解】
试题分析：直接根据相似三角形面积比等于相似比平方的性质.得出结论：
∵，相似比为1:2，
∴与的面积的比为1:4.
故选C.
考点：相似三角形的性质.
7．（2021·江苏镇江·中考真题）如图，点D，E分别在△ABC的边AC，AB上，△ADE∽△ABC，M，N分别是DE，BC的中点，若＝，则＝__．

【答案】
【解析】
【分析】
根据相似三角形对应中线的比等于相似比求出，根据相似三角形面积的比等于相似比的平方解答即可．
【详解】
解：∵M，N分别是DE，BC的中点，
∴AM、AN分别为△ADE、△ABC的中线，
∵△ADE∽△ABC，
∴＝＝，
∴＝()2＝，
故答案为： ．
【点睛】
本题考查了相似三角形的性质，掌握相似三角形面积的比等于相似比的平方、相似三角形对应中线的比等于相似比是解题的关键．
8．（2021·江苏徐州·中考真题）如图，在中，点分别在边上，且，与四边形的面积的比为__________．

【答案】
【解析】
【分析】
先证明，再根据相似三角形的性质，即可得到，进而即可求解．
【详解】
解：∵，
∴   
∴
∵∠B=∠B，
∴，
∴
∴与四边形的面积的比=．
故答案是：．
【点睛】
本题主要考查相似三角形的判定和性质，掌握相似三角形的面积比等于相似比的平方，是解题的关键．
9．（2021·江苏无锡·中考真题）如图，在中，，，，点E在线段上，且，D是线段上的一点，连接，将四边形沿直线翻折，得到四边形，当点G恰好落在线段上时，________．

【答案】
【解析】
【分析】
过点F作FM⊥AC于点M，由折叠的性质得FG=，∠EFG=，EF=AE=1，再证明，得，，进而即可求解．
【详解】
解：过点F作FM⊥AC于点M，

∵将四边形沿直线翻折，得到四边形，当点G恰好落在线段上，
∴FG=，∠EFG=，EF=AE=1，
∴EG=，
∵∠FEM=∠GEF，∠FME=∠GFE=90°，
∴，
∴，
∴=，，
∴AM=AE+EM=，
∴．
故答案是：．
【点睛】
本题主要考查折叠的性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，添加辅助线构造”母子相似三角形“是解题的关键．
10．（2021·江苏宿迁·中考真题）如图，在△ABC中，AB=4，BC=5，点D、F分别在BC、AC上，CD=2BD，CF=2AF，BE交AD于点F，则△AFE面积的最大值是_________．

【答案】
【解析】
【分析】
连接DF，先根据相似三角形判定与性质证明,得到,进而根据CD=2BD，CF=2AF，得到,根据△ABC中，AB=4，BC=5，得到当AB⊥BC时，△ABC面积最大，即可求出△AFE面积的最大值．
【详解】
解：如图，连接DF，
∵CD=2BD，CF=2AF，
∴，
∵∠C=∠C，
∴△CDF∽△CBA，
∴,∠CFD=∠CAB，
∴DF∥BA，
∴△DFE∽△ABE，
∴,
∴,
∵CF=2AF，
∴,
∴,
∵CD=2BD，
∴,
∴,
∵△ABC中，AB=4，BC=5，
∴，当AB⊥BC时，△ABC面积最大，为，
此时△AFE面积最大为．

故答案为：
【点睛】
本题考查了相似三角形的性质与判定，根据相似三角形的性质与判定得到,理解等高三角形的面积比等于底的比是解题关键．
11．（2021·江苏无锡·中考真题）下列命题中，正确命题的个数为________．
①所有的正方形都相似
②所有的菱形都相似
③边长相等的两个菱形都相似
④对角线相等的两个矩形都相似
【答案】1
【解析】
【分析】
根据多边形的判定方法对①进行判断；利用菱形的定义对②进行判断；根据菱形的性质对③进行判断；根据矩形的性质和相似的定义可对④进行判断．
【详解】
解：所有的正方形都相似，所以①正确；
所有的菱形不一定相似，所以②错误；
边长相等的两个菱形，形状不一定相同，即：边长相等的两个菱形不一定相似所以③错误；
对角线相等的两个矩形，对应边不一定成比例，即不一定相似，所以④错误；
故答案是：1．
【点睛】
本题考查了判断命题真假，熟练掌握图形相似的判定方法，菱形，正方形，矩形的性质，是解题的关键．
12．（2021·江苏扬州·中考真题）如图，在中，，矩形的顶点D、E在上，点F、G分别在、上，若，，且，则的长为________．

【答案】
【解析】
【分析】
根据矩形的性质得到GF∥AB，证明△CGF∽△CAB，可得，证明△ADG≌△BEF，得到AD=BE=，在△BEF中，利用勾股定理求出x值即可．
【详解】
解：∵DE=2EF，设EF=x，则DE=2x，
∵四边形DEFG是矩形，
∴GF∥AB，
∴△CGF∽△CAB，
∴，即，
∴，
∴AD+BE=AB-DE==，
∵AC=BC，
∴∠A=∠B，又DG=EF，∠ADG=∠BEF=90°，
∴△ADG≌△BEF（AAS），
∴AD=BE==，
在△BEF中，，
即，
解得：x=或（舍），
∴EF=，
故答案为：．
【点睛】
本题考查了相似三角形的判定和性质，矩形的性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，等边对等角，解题的关键是根据相似三角形的性质得到AB的长．
13．（2021·江苏扬州·中考真题）如图，在中，，点D是的中点，过点D作，垂足为点E，连接，若，，则________．

【答案】3
【解析】
【分析】
根据直角三角形的性质得到AB=10，利用勾股定理求出AC，再说明DE∥AC，得到，即可求出DE．
【详解】
解：∵∠ACB=90°，点D为AB中点，
∴AB=2CD=10，
∵BC=8，
∴AC==6，
∵DE⊥BC，AC⊥BC，
∴DE∥AC，
∴，即，
∴DE=3，
故答案为：3．
【点睛】
本题考查了直角三角形的性质，勾股定理，平行线分线段成比例，解题的关键是通过平行得到比例式．
14．（2020·江苏宿迁·中考真题）如图，点A在反比例函数y＝（x＞0）的图象上，点B在x轴负半轴上，直线AB交y轴于点C，若＝，△AOB的面积为6，则k的值为_____．

【答案】6
【解析】
【分析】
过点作轴于，则，由线段的比例关系求得和的面积，再根据反比例函数的的几何意义得结果．
【详解】
解：过点作轴于，则，

，
，的面积为6，
，
，
的面积，
根据反比例函数的几何意义得，，
，
，
．
故答案为：6．
【点睛】
本题主要考查了反比例函数的的几何意义的应用，考查了相似三角形的性质与判定，关键是构造相似三角形．
15．（2020·江苏南通·中考真题）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长均为1，△ABC和△DEF的顶点都在网格线的交点上．设△ABC的周长为C1，△DEF的周长为C2，则的值等于_____．

【答案】
【解析】
【分析】
先证明两个三角形相似，再根据相似三角形的周长比等于相似比，得出周长比的值便可．
【详解】
解：∵，
，
，
∴，
∴△ABC∽△DEF，
∴，
故答案为：．
【点睛】
本题主要考查相似三角形的性质与判定，勾股定理，本题关键是证明三角形相似．
16．（2020·江苏盐城·中考真题）如图，且，则的值为_________________．

【答案】
【解析】
【分析】
设AB=a，根据得到△ABC∽△ADE，得到对应线段成比例即可求出AB,再根据相似比的定义即可求解．
【详解】
∵
∴△ABC∽△ADE，
∴
设AB=a,则DE=10-a
故
解得a1=2,a2=8
∵
∴AB=2，
故
故答案为：2．
【点睛】
此题主要考查相似三角形的性质与判定，解题的关键是熟知得到对应线段成比例．
17．（2020·江苏苏州·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点、的坐标分别为、，点在第一象限内，连接、．已知，则_________．

【答案】
【解析】
【分析】
过点C作CD⊥y轴，交y轴于点D，则CD∥AO，先证CDE≌CDB（ASA），进而可得DE＝DB＝4－n，再证AOE∽CDE，进而可得，由此计算即可求得答案．
【详解】
解：如图，过点C作CD⊥y轴，交y轴于点D，则CD∥AO，

∴∠DCE＝∠CAO，
∵∠BCA＝2∠CAO，
∴∠BCA＝2∠DCE，
∴∠DCE＝∠DCB，
∵CD⊥y轴，
∴∠CDE＝∠CDB＝90°，
又∵CD＝CD，
∴CDE≌CDB（ASA），
∴DE＝DB，
∵B（0，4），C（3，n），
∴CD＝3，OD＝n，OB＝4，
∴DE＝DB＝OB－OD＝4－n，
∴OE＝OD－DE
＝n－（4－n）
＝2n－4，
∵A（－4，0），
∴AO＝4，
∵CD∥AO，
∴AOE∽CDE，
∴ ，
∴，
解得：，
故答案为：．
【点睛】
本题综合考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质以及点的坐标的应用，熟练掌握相似三角形的判定与性质是解决本题的关键．
18．（2020·江苏苏州·中考真题）如图，在中，已知，，垂足为，．若是的中点，则_________．

【答案】1
【解析】
【分析】
根据“两边对应成比例，夹角相等的两个三角形相似”证明△ADB∽△EDC，得，由AB=2则可求出结论．
【详解】


为的中点，
，
∴，
，






故答案为：1．
【点睛】
此题主要考查了三角形相似的判定与性质，得出是解答此题的关键．
19．（2020·江苏无锡·中考真题）如图，在中，，，点，分别在边，上，且，连接，，相交于点，则面积最大值为__________．

【答案】
【解析】
【分析】
作DG∥AC，交BE于点G，得到，进而得到，求出面积最大值，问题得解．
【详解】
解：如图1，作DG∥AC，交BE于点G，
∴，

∵ ,
∴
∵
∴
∴
∵AB=4，
∴
∴若面积最大，则面积最大，
如图2，当点△ABC为等腰直角三角形时，面积最大，为，
∴ 面积最大值为


故答案为：
【点睛】
本题考查了三角形面积最大问题，相似等知识点，通过OD与CD关系将求面积转化为求面积是解题关键
20．（2020·江苏无锡·中考真题）二次函数的图像过点，且与轴交于点，点在该抛物线的对称轴上，若是以为直角边的直角三角形，则点的坐标为__________．
【答案】或
【解析】
【分析】
先求出点B的坐标和抛物线的对称轴，然后分两种情况讨论：当∠ABM=90°时，如图1，过点M作MF⊥y轴于点F，易证△BFM∽△AOB，然后根据相似三角形的性质可求得BF的长，进而可得点M坐标；当∠BAM=90°时，辅助线的作法如图2，同样根据△BAE∽△AMH求出AH的长，继而可得点M坐标．
【详解】
解：对，当x=0时，y=3，∴点B坐标为（0，3），
抛物线的对称轴是直线：，
当∠ABM=90°时，如图1，过点M作MF⊥y轴于点F，则，
∵∠1+∠2=90°，∠2+∠3=90°，
∴∠1=∠3，
又∠MFB=∠BOA=90°，
∴△BFM∽△AOB，
∴，即，解得：BF=3，
∴OF=6，
∴点M的坐标是（，6）；

当∠BAM=90°时，如图2，过点A作EH⊥x轴，过点M作MH⊥EH于点H，过点B作BE⊥EH于点E，则，
同上面的方法可得△BAE∽△AMH，
∴，即，解得：AH=9，
∴点M的坐标是（，﹣9）；

综上，点M的坐标是或．
故答案为：或．
【点睛】
本题考查了抛物线与y轴的交点和对称轴、直角三角形的性质以及相似三角形的判定和性质等知识，属于常考题型，正确分类、熟练掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键．
21．（2019·江苏淮安·中考真题）如图，，直线a、b与、、分别相交于点A、B、C和点D、E、F，若，，，则__．

【答案】4
【解析】
【分析】
根据，由平行线分线段成比例定理得到成比例线段，代入已知数据计算即可得到答案．
【详解】
∵，
∴，
又，，，
∴，
故答案为4．
【点睛】
本题考查平行线分线段成比例定理，掌握定理的内容、找准对应关系是解题的关键．
22．（2019·江苏常州·中考真题）如图，在矩形中，，点是的中点，点在上，，点、在线段上．若是等腰三角形且底角与相等，则_____．

【答案】6或
【解析】
【分析】
分两种情况：①MN为等腰△PMN的底边时，作于，则，由矩形的性质得出，
，，得出，，证明，得出，求出，证出，由等腰三角形的性质得出，，证出，得出，求出，即可得出答案；
②MN为等腰△PMN的腰时，作PF⊥BD于F，设MN=PN=x，则FN=3-x，在Rt△PNF中，由勾股定理得出方程，解方程即可．
【详解】
分两种情况：①MN为等腰△PMN的底边时，作于，如图所示：

则，
四边形是矩形，
，，，
，，
点是的中点，
，
，
，
，即，
解得：，
，
，
，
，
是等腰三角形且底角与相等，，
，，
，
，
，
，
；
②MN为等腰△PMN的腰时，作PF⊥BD于F，如图所示，

由①得：，，
设，则，
在中，，
解得：，即，
综上所述，MN的长为6或.
【点睛】
本题考查了矩形的性质、等腰三角形的性质、相似三角形的判定与性质、勾股定理等知识；熟练掌握矩形的性质和等腰三角形的性质，证明三角形相似是解题的关键．