备战2023数学新中考二轮复习重难突破（江苏专用）专题19 与圆有关的计算

重点分析

能运用弧长公式、扇形面积公式进行相关的计算，会借助分割与转化的方法探求阴影部分的面积是中考的热点，利用圆的面积公式、周长公式、弧长公式、扇形的面积公式求圆锥的侧面积和全面积是中考考查的重点，常以选择题、填空题的形式出现．

难点解读

难点一、弧长、扇形面积的计算

1．如果弧长为l，圆心角的度数为n°，圆的半径为r，那么弧长的计算公式为l＝.

2．由组成圆心角的两条半径和圆心角所对弧围成的图形叫做扇形．若扇形的圆心角为n°，所在圆半径为r，弧长为l，面积为S，则S＝或S＝lr.

难点二、圆柱和圆锥

1．圆柱的侧面展开图是矩形，这个矩形的长等于圆柱的底面圆的周长，宽等于圆柱的高h.如果圆柱的底面半径是r，则S侧＝2πrh，S全＝2πr2＋2πrh.

2．圆锥的轴截面与侧面展开图：轴截面为由母线、底面直径组成的等腰三角形．圆锥的侧面展开图是一个扇形，扇形的弧长等于圆锥的底面圆的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．

因此圆锥的侧面积：S侧＝l·2πr＝πrl(l为母线长，r为底面圆半径)；

圆锥的全面积：S全＝S侧＋S底＝πrl＋πr2.

难点三、不规则图形面积的计算

求与圆有关的不规则图形的面积时，最基本的思想就是转化思想，即把所求的不规则的图形的面积转化为规则图形的面积．常用的方法有：

1．直接用公式求解．

2．将所求面积分割后，利用规则图形的面积相互加减求解．

3．将阴影中某些图形等积变形后移位，重组成规则图形求解．

4．将所求面积分割后，利用旋转将部分阴影图形移位后，组成规则图形求解．

5．将阴影图形看成是一些基本图形覆盖而成的重叠部分，用整体和差法求解．

真题演练

1．（2021·江苏镇江·中考真题）设圆锥的底面圆半径为r，圆锥的母线长为l，满足2r+l＝6，这样的圆锥的侧面积（       ）

A．有最大值π B．有最小值π C．有最大值π D．有最小值π

【答案】C

【解析】

【分析】

由2r+l＝6，得出l＝6﹣2r，代入圆锥的侧面积公式：S侧＝πrl，利用配方法整理得出，S侧＝﹣2π(r﹣)2+π，再根据二次函数的性质即可求解．

【详解】

解：∵2r+l＝6，

∴l＝6﹣2r，

∴圆锥的侧面积S侧＝πrl＝πr(6﹣2r)＝﹣2π(r2﹣3r)＝﹣2π[(r﹣)2﹣]＝﹣2π(r﹣)2+π，

∴当r＝时，S侧有最大值．

故选：C．

【点睛】

本题考查了圆锥的计算,二次函数的最值,圆锥的侧面展开图为一扇形,这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长.熟记圆锥的侧面积:是解题的关键．

2．（2021·江苏镇江·中考真题）如图，∠BAC＝36°，点O在边AB上，⊙O与边AC相切于点D，交边AB于点E，F，连接FD，则∠AFD等于（       ）

A．27° B．29° C．35° D．37°

【答案】A

【解析】

【分析】

连接OD，根据切线的性质得到∠ADO＝90°，根据直角三角形的性质得到∠AOD＝90°﹣36°＝54°，根据圆周角定理即可得到结论．

【详解】

解：连接OD，

∵⊙O与边AC相切于点D，

∴∠ADO＝90°，

∵∠BAC＝36°，

∴∠AOD＝90°﹣36°＝54°，

∴，

故选：A．

【点睛】

本题考查了切线的性质，圆周角定理，正确的作出辅助线构造直角三角形是解题的关键．

3．（2019·江苏扬州·中考真题）如图，将四边形ABCD绕顶点A顺时针旋转45°至AB’C’D’的位置，若AB=16cm，则图中阴影部分的面积为_____．

【答案】32π.

【解析】

【分析】

阴影部分面积=扇形BAB′的面积+四边形ABCD的面积-四边形AB′C′D′的面积，求出扇形面积即可求得答案.

【详解】

∵S阴影=S扇形BAB′+S四边形ABCD -S四边形AB′C′D′，

∴S阴影=S扇形BAB′==32π，

故答案为32π.

【点睛】

本题考查了扇形面积的计算，正确分析图形是解题的关键.

4．（2021·江苏苏州·中考真题）如图，线段，点、在上，．已知点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿着向点移动，到达点后停止移动，在点移动过程中作如下操作：先以点为圆心，、的长为半径分别作两个圆心角均为60°的扇形，再将两个扇形分别围成两个圆锥的侧面．设点的移动时间为（秒）．两个圆锥的底面面积之和为．则关于的函数图像大致是（       ）

A． B．C． D．

【答案】D

【解析】

【分析】

由题意，先求出，，然后利用再求出圆锥的底面积进行计算，即可求出函数表达式，然后进行判断即可．

【详解】

解：根据题意，

∵，，且已知点从点出发，以每秒1个单位长度的速度沿着向点移动，到达点后停止移动，则，

∴，

∴，

由的长为半径的扇形的弧长为：

∴用的长为半径的扇形围成的圆锥的底面半径为

∴其底面的面积为

由的长为半径的扇形的弧长为：

∴用的长为半径的扇形围成的圆锥的底面半径为

∴其底面的面积为

∴两者的面积和

∴图像为开后向上的抛物线，且当时有最小值；

故选：D．

【点睛】

本题考查了扇形的面积公式，二次函数的最值，二次函数的性质，线段的动点问题，解题的关键是熟练掌握扇所学的知识，正确的求出函数的表达式．

5．（2021·江苏连云港·中考真题）如图，正方形内接于，线段在对角线上运动，若的面积为，，则周长的最小值是（       ）

A．3 B．4 C．5 D．6

【答案】B

【解析】

【分析】

利用将军饮马之造桥选址的数学方法进行计算．

【详解】

如图所示，

（1）为上一动点，点关于线段的对称点为点，连接，则，过点作的平行线，过点作的平行线，两平行线相交于点，与相交于点M．

四边形是平行四边形

则

（2）找一点， 连接，则，过点作的平行线，连接则．

此时

（1）中周长取到最小值

四边形是平行四边形

四边形是正方形

，

又，，

又

是等腰三角形

，则圆的半径，

故选：B．

【点睛】

本题难度较大，需要具备一定的几何分析方法．关键是要找到周长取最小值时的位置．

6．（2020·江苏镇江·中考真题）如图，AB是半圆的直径，C、D是半圆上的两点，∠ADC＝106°，则∠CAB等于（　　）

A．10° B．14° C．16° D．26°

【答案】C

【解析】

【分析】

连接BD，如图，根据圆周角定理得到∠ADB＝90°，则可计算出∠BDC＝16°，然后根据圆周角定理得到∠CAB的度数．

【详解】

解：连接BD，如图，

∵AB是半圆的直径，

∴∠ADB＝90°，

∴∠BDC＝∠ADC﹣∠ADB＝106°﹣90°＝16°，

∴∠CAB＝∠BDC＝16°．

故选：C．

【点睛】

本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．

7．（2020·江苏南通·中考真题）如图是一个几体何的三视图（图中尺寸单位：cm），则这个几何体的侧面积为（　　）

A．48πcm2 B．24πcm2 C．12πcm2 D．9πcm2

【答案】B

【解析】

【分析】

先判断这个几何体为圆锥，同时得到圆锥的母线长为8，底面圆的直径为6，然后利用扇形的面积公式计算这个圆锥的侧面积．

【详解】

解：由三视图得这个几何体为圆锥，圆锥的母线长为8，底面圆的直径为6，

所以这个几何体的侧面积＝×π×6×8＝24π（cm2）．

故选：B．

【点睛】

本题考查了圆锥的计算：圆锥的侧面展开图为一扇形，这个扇形的弧长等于圆锥底面的周长，扇形的半径等于圆锥的母线长．也考查了三视图．

8．（2020·江苏徐州·中考真题）如图，是的弦，点在过点的切线上，，交于点．若，则的度数等于（       ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

【分析】

根据题意可求出∠APO、∠A的度数，进一步可得∠ABO度数，从而推出答案.

【详解】

∵，

∴∠APO=70°，

∵，

∴∠AOP=90°，∴∠A=20°，

又∵OA=OB，

∴∠ABO=20°，

又∵点C在过点B的切线上，

∴∠OBC=90°，

∴∠ABC=∠OBC−∠ABO=90°−20°=70°，

故答案为：B.

【点睛】

本题考查的是圆切线的运用，熟练掌握运算方法是关键.

9．（2020·江苏常州·中考真题）如图，是的弦，点C是优弧上的动点（C不与A、B重合），，垂足为H，点M是的中点．若的半径是3，则长的最大值是（       ）

A．3 B．4 C．5 D．6

【答案】A

【解析】

【分析】

根据直角三角形斜边中线定理，斜边上的中线等于斜边的一半可知MH=BC，当BC为直径时长度最大，即可求解．

【详解】

解：∵

∴∠BHC=90°

∵在Rt△BHC中，点M是的中点

∴MH=BC

∵BC为的弦

∴当BC为直径时，MH最大

∵的半径是3

∴MH最大为3．

故选：A．

【点睛】

本题考查了直角三角形斜边中线定理，数形结合是结题关键．

10．（2020·江苏淮安·中考真题）如图，点、、在圆上，，则的度数是（     ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

【分析】

先由圆周角定理得到∠AOB,再利用等腰三角形的性质求解即可．

【详解】

∵在圆O中，∠ACB=54º，

∴∠AOB=2∠ACB=108º，

∵OA=OB，

∴∠OAB=∠OBA==36º，

故选：C．

【点睛】

本题考查了圆周角定理、等腰三角形的性质，熟练掌握圆周角定理，会用等边对等角求角的度数是解答的关键．

11．（2020·江苏扬州·中考真题）如图，由边长为1的小正方形构成的网格中，点A，B，C都在格点上，以AB为直径的圆经过点C、D，则的值为（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

【分析】

首先根据圆周角定理可知，∠ABC＝，在Rt△ACB中，根据锐角三角函数的定义求出∠ABC的正弦值．

【详解】

∵和∠ABC所对的弧长都是，

∴根据圆周角定理知，∠ABC＝，

∴在Rt△ACB中，AB=

根据锐角三角函数的定义知，sin∠ABC＝，

∴=，

故选A．

【点睛】

本题主要考查锐角三角函数的定义和圆周角的知识点，解答本题的关键是利用圆周角定理把求的正弦值转化成求∠ABC的正弦值，本题是一道比较不错的习题．

12．（2020·江苏南京·中考真题）如图，在平面直角坐标系中，点在第一象限，⊙P与x轴、y轴都相切，且经过矩形的顶点C，与BC相交于点D，若⊙P的半径为5，点的坐标是，则点D的坐标是（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

【分析】

在Rt△CPF中根据勾股定理求出PF的长，再根据垂径定理求出DF的长，进而求出OB，BD的长，从而求出点D的坐标．

【详解】

设切点分别为G，E，连接PG，PE，PC，PD，并延长EP交BC与F，则PG=PE=PC=5，四边形OBFE是矩形．

∵OA=8，

∴CF=8-5=3，

∴PF=4，

∴OB=EF=5+4=9．

∵PF过圆心，

∴DF=CF=3，

∴BD=8-3-3=2，

∴D(9，2)．

故选A．

【点睛】

本题考查了矩形的性质，坐标与图形的性质，勾股定理，以及垂径定理等知识，正确做出辅助线是解答本题的关键．

13．（2020·江苏泰州·中考真题）如图，半径为的扇形中，，为上一点，，，垂足分别为、．若为，则图中阴影部分的面积为（ ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

【分析】

本题可通过做辅助线，利用矩形性质对角线相等且平分以及等面积性，利用扇形ABC面积减去扇形AOC面积求解本题．

【详解】

连接OC交DE为F点，如下图所示：

由已知得：四边形DCEO为矩形．

∵∠CDE=36°，且FD=FO，

∴∠FOD=∠FDO=54°，△DCE面积等于△DCO面积．

．

故选：A．

【点睛】

本题考查几何面积求法，在扇形或圆形题目中，需要构造辅助线利用割补法，即大图形面积减去小图形面积求解题目，扇形面积公式为常用工具．

14．（2020·江苏苏州·中考真题）如图，在扇形中，已知，，过的中点作，，垂足分别为、，则图中阴影部分的面积为（   ）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】

【分析】

连接OC，易证，进一步可得出四边形CDOE为正方形，再根据正方形的性质求出边长即可求得正方形的面积，根据扇形面积公式得出扇形AOB的面积，最后根据阴影部分的面积等于扇形AOB的面积剪去正方形CDOE的面积就可得出答案．

【详解】

连接OC

点为的中点

在和中

又

四边形CDOE为正方形

由扇形面积公式得

故选B．

【点睛】

本题考查了扇形面积的计算、正方形的判定及性质，熟练掌握扇形面积公式是解题的关键．

15．（2020·江苏连云港·中考真题）10个大小相同的正六边形按如图所示方式紧密排列在同一平面内，、、、、、均是正六边形的顶点．则点是下列哪个三角形的外心（       ）．

A． B． C． D．

【答案】D

【解析】

【分析】

根据三角形外心的性质，到三个顶点的距离相等，可以依次判断．

【详解】

答：因为三角形的外心到三角形的三个顶点的距离相等，所以由正六边形性质可知，点O到A，B，C，D，E的距离中，只有OA=OC=OD．

故选：D．

【点睛】

此题主要考查了三角形外心的性质，即到三角形三个顶点的距离相等．

16．（2019·江苏镇江·中考真题）如图，四边形是半圆的内接四边形，是直径，．若，则的度数等于（       ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

【分析】

连接AC，根据圆内接四边形的性质求出∠DAB，根据圆周角定理求出∠ACB、∠CAB，计算即可．

【详解】

连接AC，

∵四边形ABCD是半圆的内接四边形，

∴∠DAB=180°-∠C=70°，

∵，

∴∠CAB=∠DAB=35°，

∵AB是直径，

∴∠ACB=90°，

∴∠ABC=90°-∠CAB=55°，

故选A．

【点睛】

本题考查的是圆内接四边形的性质、圆周角定理，掌握圆内接四边形的对角互补是解题的关键．

17．（2019·江苏宿迁·中考真题）如图，正六边形的边长为2，分别以正六边形的六条边为直径向外作半圆，与正六边形的外接圆围成的6个月牙形的面积之和（阴影部分面积）是（　　）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】

【分析】

图中阴影部分面积等于6个小半圆的面积和﹣（大圆的面积﹣正六边形的面积）即可得到结果．

【详解】

解：6个月牙形的面积之和，

故选A．

【点睛】

本题考查了正多边形与圆，圆的面积的计算，正六边形的面积的计算，正确的识别图形是解题的关键．

18．（2019·江苏无锡·中考真题）如图，PA是⊙O的切线，切点为A，PO的延长线交⊙O于点B，若∠P=40°，则∠B的度数为 （       ）

A．20° B．25° C．40° D．50°

【答案】B

【解析】

【分析】

连接OA，由切线的性质可得∠OAP=90°，继而根据直角三角形两锐角互余可得∠AOP=50°，再根据圆周角定理即可求得答案.

【详解】

连接OA，如图：

∵PA是⊙O的切线，切点为A，

∴OA⊥AP，

∴∠OAP=90°，

∵∠P=40°，

∴∠AOP=90°-40°=50°，

∴∠B=∠AOB=25°，

故选B.

【点睛】

本题考查了切线的性质，圆周角定理，正确添加辅助线，熟练掌握切线的性质定理是解题的关键.

19．（2021·江苏淮安·中考真题）若圆锥的侧面积为18π，底面半径为3，则该圆锥的母线长是___．

【答案】6

【解析】

【分析】

根据圆锥的侧面积＝πrl，列出方程求解即可．

【详解】

解：∵圆锥的侧面积为18π，底面半径为3，

3πl＝18π．

解得：l＝6，

故答案为：6．

【点睛】

本题考查了圆锥的侧面积，解题关键是熟记圆锥的侧面积公式，列出方程进行求解．

20．（2021·江苏淮安·中考真题）如图，AB是⊙O的直径，CD是⊙O的弦，∠CAB＝55°，则∠D的度数是___．

【答案】35°

【解析】

【分析】

根据直径所对的圆周角是直角推出∠ACB＝90°，再结合图形由直角三角形的性质得到∠B＝90°﹣∠CAB＝35°，进而根据同圆中同弧所对的圆周角相等推出∠D＝∠B＝35°．

【详解】

解：∵AB是⊙O的直径，

∴∠ACB＝90°，

∵∠CAB＝55°，

∴∠B＝90°﹣∠CAB＝35°，

∴∠D＝∠B＝35°．

故答案为：35°．

【点睛】

本题主要考查了直径所对的圆周角是直角，同弧所对的圆周角相等，解题的关键在于能够熟练掌握相关知识进行求解.