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初中冀教版29.3 切线的性质和判定获奖课件ppt
展开1.直线和圆有哪些位置关系? 相交、相切、相离2.切线的性质是什么?性质:圆的切线垂直于过切点的半径. 几何语言:如图所示, ∵直线l 切☉O 于T,∴OT⊥l.
如图,在⊙O 中,经过半径 OA 的外端点 A 作直线l⊥OA,则圆心 O 到直线 l 的距离是多少?直线 l 和⊙O 有什么位置关系?
经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线.
例1 如图,已知AB 为⊙O 的直径,点D 在AB 的延长线上, BD=OB,点C 在圆上,∠CAB=30°. 求证:DC 是⊙O 的切线. 因为点C 在圆上,所以连接OC, 证明OC⊥CD,而要证OC⊥CD, 只需证△OCD 为直角三角形.
证明:如图,连接OC,BC. ∵AB 为⊙O 的直径,∴∠ACB=90°. ∵∠CAB=30°,∴BC= AB=OB. 又∵BD=OB,∴BC=BD=OB= OD, ∴∠OCD=90°. ∴DC 是⊙O 的切线.
切线的判定方法有三种:①直线与圆有唯一公共点;②直线到圆心的距离等于该圆的半径;③切线的判定定理.即经过半径的外端并且垂直这条半径的直线是圆的切线.
如图,直线AB 经过⊙O上一点C,并且OA =OB,CA=CB. 直线AB 与⊙O 具有怎样的位置关系?请说明理由.
AB 与⊙O 相切,理由如下:连接OC,因为OA=OB,CA=CB,所以△AOB 是等腰三角形,且OC 是△AOB底边上的中线,所以OC⊥AB.又因为直线AB 经过半径OC 的外端,所以AB 与⊙O 相切.
下列四个命题:①与圆有公共点的直线是圆的切线;②垂直于圆的半径的直线是圆的切线;③到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线;④过直径端点,且垂直于此直径的直线是圆的切线.其中是真命题的是( )A.①② B.②③ C.③④ D.①④
如图,△ABC 是⊙O 的内接三角形,下列选项中,能使过点A 的直线EF 与⊙O 相切于点A 的条件是( )A.∠EAB=∠C B.∠EAB=∠BACC.EF⊥AC D.AC 是⊙O 的直径
切线的性质和判定的应用
如图,已知BC 是⊙O 的直径,AC 切⊙O 于点C,AB 交⊙O于点D,E 为AC 的中点,连接DE.(1)若AD=DB,OC=5, 求切线AC 的长;(2)求证:DE 是⊙O 的切线.
(1)已知BC 是⊙O 的直径,可连接CD,构造直径所对的圆周角,结合AD=DB,可得AC=BC;(2)要证DE 是⊙O 的切线,而点D 在圆上,可联想到连接OD,设法证DE⊥OD 即可.
(1) 连接CD,如图. ∵BC 是⊙O 的直径, ∴∠BDC=90°,即CD⊥AB, ∵AD=DB, ∴AC=BC=2OC=10.
(2) 连接OD,如图.∵∠ADC=90°,E 为AC 的中点,∴DE=EC= AC,∴∠1=∠2,∵OD=OC,∴∠3=∠4,∵AC 切⊙O 于点C,∴AC⊥OC,∴∠1+∠3=∠2+∠4=90°,即DE⊥OD,∴DE 是⊙O 的切线.
看到切线,就想到作过切点的半径,看到直径就想到直径所对的圆周角是直角;看到切线的判定,就想到:①有切点,连半径,证垂直;②无切点,作垂线,证相等.
如图,P 是⊙O 外一点,OP 交⊙O 于点A,OA=AP.甲、乙两人想作一条过点P 且与⊙O 相切的直线,其作法如下:甲:以点A为圆心,AP 长为半径画弧, 交⊙O 于B 点,则直线BP 即为所求.乙:过点A 作直线MN⊥OP,以点O 为圆心,OP 为半径画弧,交射线AM 于点B,连接OB,交⊙O 于点C,直线CP 即为所求.对于甲、乙两人的作法,下列判断正确的是( )A.甲正确,乙错误 B.甲错误,乙正确C.两人都正确 D.两人都错误
如图,在平面直角坐标系中,过格点A,B,C 作一圆弧,点B 与下列格点的连线中,能够与该圆弧相切的是( )A.点(0,3) B.点(2,3) C.点(5,1) D.点(6,1)
如图,已知在△ABC 中,AB=3,AC=4,BC=5,作∠ABC 的角平分线交AC 于D,以D 为圆心,DA 为半径作圆,与射线BD交于点E,F.有下列结论:①△ABC 是直角三角形;②⊙D 与直线BC 相切;③点E 是线段BF 的黄金分割点;④tan ∠CDF=2.其中正确的结论有( )A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
如图,点O 为∠MPN 的平分线上一点,以点O 为圆心的⊙O 与PN相切于点A. 求证:PM 为⊙O 的切线.
易错点:判定直线与圆相切时理由不充分.
如图,连接OA,过点O 作OB⊥PM 于点B.∵PN 与⊙O 相切于点A,∴OA⊥PN.∵点O 在∠MPN 的平分线上, OB⊥PM,∴OB=OA.∴点O 到直线PM 的距离等于⊙O 的半径.∴PM 为⊙O 的切线.
易错总结:利用切线的判定定理需满足两个条件:(1)经过半径外端,(2)与这条半径垂直,这两个条件缺一不可.证明一条直线是圆的切线时,当直线和圆未明确是否有公共点时,应“作垂线,证半径”,而本题易错解为“连半径,证垂直”.
如图所示,PA 与⊙O 相切于点A,PO 交⊙O 于点C,点B 是优弧CA 上一点,若∠P=26°,则∠ABC 的度数为( )A.26° B.64° C.32° D.90°
如图,点P 在⊙O 的直径BA 延长线上,PC 与⊙O 相切,切点为C,点D 在⊙O上,连接PD、BD,已知PC=PD=BC.下列结论:①PD 与⊙O 相切;②四边形PCBD 是菱形;③PO=AB;④∠PDB=120°.其中,正确的有( )A.4个 B.3个 C.2个 D.1个
如图,AB 是⊙O 的直径,线段BC 与⊙O 的交点D 是BC 的中点,DE⊥AC 于点E,连接AD,则下列结论中正确的个数是( ) ①AD⊥BC;②∠EDA=∠B;③OA= AC;④DE 是⊙O 的切线.A.1 B.2C.3 D.4
如图,△ABD 是⊙O 的内接三角形,E 是弦BD 的中点,点C 是⊙O 外一点且∠DBC=∠A,连接OE 并延长与圆相交于点F, 与BC 相交于点C. (1)求证:BC 是⊙O 的切线; (2)若⊙O 的半径为6,BC=8,求弦BD 的长.
(1)证明:连接OB,如图所示. ∵E 是弦BD 的中点, ∴BE=DE,OE⊥BD, ∴∠BOE=∠A,∠OBE+∠BOE=90°. ∵∠DBC=∠A,∴∠BOE=∠DBC. ∴∠OBE+∠DBC=90°. ∴∠OBC=90°, 即BC⊥OB.∴BC 是⊙O 的切线.(2)解:∵OB=6,BC=8,BC⊥OB, ∴OC= =10. ∵△OBC 的面积= OC·BE= OB·BC, ∴BE= =4.8. ∴BD=2BE=9.6,即弦BD 的长为9.6.
如图,在Rt△ABC 中,∠ACB=90°,∠BAC 的平分线交BC 于点O,OC=1,以点O 为圆心,OC 为半径作半圆. (1)求证:AB 为半圆O 的切线; (2)如果tan∠CAO= ,求cs B 的值.
(1)证明:如图,作OM⊥AB 于点M, ∵AO 平分∠BAC,OC⊥AC,OM⊥AB, ∴OC=OM. 又∵OC 是⊙O 的半径, ∴AB 是⊙O 的切线.
(2)解:∵∠ACB=90°,∴AC 是⊙O 的切线. 易得AC=AM. 在Rt△ACO 中,tan∠CAO= ∴AC=AM=3. 设BM=x,OB=y,则y 2-x 2=1①. ∵cs B= ,∴ ∴x 2+3x=y 2+y ②. 由①②可以得到y=3x-1,∴(3x-1)2-x 2=1. ∴x= (x=0不合题意,舍去). ∴y= . ∴cs B=
如图,已知⊙O 是△ABC 的外接圆,AD 是⊙O 的直径,且 BD=BC,延长AD 到E,且有∠EBD=∠CAB. (1)求证:BE 是⊙O 的切线; (2)若BC= ,AC=5,求⊙O 的直径 AD 及切线BE 的长.
(1)证明:如图①,连接OB,∵BD=BC, ∴∠CAB=∠BAD.∵∠EBD=∠CAB, ∴∠BAD=∠EBD. ∵AD 是⊙O 的直径,∴∠ABD=90°. ∵OA=OB,∴∠BAD=∠ABO.∴∠EBD=∠ABO. ∴∠OBE=∠EBD+∠OBD=∠ABO+∠OBD= ∠ABD=90°.∵点B 在⊙O上,∴BE 是⊙O 的切线.
(2)解:如图②,设⊙O 的半径为R,连接CD 交OB 于点F, ∵AD 为⊙O 的直径,∴∠ACD=90°. ∵BC=BD,∴OB⊥CD.∴OB∥AC. ∵OA=OD,∴OF= AC= . ∵四边形ACBD 是圆内接四边形, ∴∠BDE=∠ACB. 又∵∠EBD=∠CAB, ∴△EBD∽△BAC. ∵∠OBE=∠OFD=90°,∴DF∥BE. ∴AD=2R=6.
7 如图,AN 是⊙M 的直径,NB∥x 轴,AB 交⊙M 于点C. (1)若点A (0,6),N (0,2),∠ABN =30°,求点B 的坐标; (2)若D 为线段NB 的中点, 求证:直线CD 是⊙M 的切线.
(1)解:∵A (0,6),N (0,2),∴AN=4. ∵∠ABN=30°,又易知∠ANB=90°, ∴AB=2AN=8. ∴由勾股定理得NB= =4 . ∴B (4 ,2).
(2)证明:如图,连接MC,NC.∵AN 是⊙M 的直径, ∴∠ACN=90°.∴∠NCB=90°. 在Rt△NCB 中,D为NB 的中点, ∴CD= NB=ND. ∴∠CND=∠NCD. ∵MC=MN,∴∠MCN=∠MNC. ∵∠MNC+∠CND=90°, ∴∠MCN+∠NCD=90°, 即MC⊥CD. ∴直线CD 是⊙M 的切线.
切线和圆只有一个公共点
圆心到切线的距离等于半径
圆的切线垂直于过切点的半径
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