冀教版九年级下册29.5 正多边形与圆优秀课件ppt

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1.观察下面的三幅图片，说说图片中各包含哪些多边形.
2.日常生活中我们经常看到哪些多边形形状的物体?
圆内接正多边形及相关定义
顶点都在同一圆上的正多边形叫做圆内接正多边形.这个圆叫做该正多边形的外接圆.
正n 边形的各角相等，且每个内角为：每个外角为：
下列说法不正确的是(　　)A．等边三角形是正多边形B．各边相等，各角也相等的多边形是正多边形C．菱形不一定是正多边形D．各角相等的多边形是正多边形
等边三角形是正三角形；各边相等，各角也相等的多边形是正多边形；当菱形的四个角相等时才是正多边形(正方形)，所以菱形不一定是正多边形；D说法不正确. 答案：D
正多边形的识别要从两个角度去看，一是边都相等；二是内角都相等．
如图，五边形ABCDE 内接于⊙O，∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝∠E.求证：五边形ABCDE 是正五边形．
根据同圆中相等的圆周角所对的弧相等，得出 利用等式的性质，两边同时减去 ，即可得到 ，根据等弧所对的弦相等，得出BC＝AE.
∵∠A＝∠B＝∠C＝∠D＝∠E，圆周角∠A对 ， 圆周角∠B 对 ，∴ .∴ ，即 .∴BC＝AE. 同理可证其余各边都相等．∴五边形ABCDE 是正五边形．
(1)证正多边形和圆的关系，在图形中找到圆的弧、弦等，利用同(等)弧所对的圆周角相等、所对的弦相等解答．其证明思路如下：角相等⇒弧相等⇒弦相等⇒ ⇒正多边形．(2)证明一个多边形是正多边形的方法：①利用定义，证出各边相等，各角相等；②利用圆内接多边形，证明各边所对的弧相等，即把圆n 等分，依次连接各等分点，所得多边形即为正多边形．
对于三角形，如果三边相等，那么它的三个角一定相等. 反过来， 如果三个角相等，那么它的三边也一定相等. 对于其他多边形，如果去掉 “各边相等”和“各角相等”两个条件中的任意一个，还能保证这个多边形是正多边形吗？请举例说明.
不能．例如：菱形的各边都相等，但不是正多边形．
一个正多边形的边心距与边长的比为 ，求这个正多边形的边数.
连接OA，OB，如图．设OC＝a，则AB＝2a.∴AC＝BC＝a.∴∠AOC＝∠BOC＝45°，∴∠AOB＝90°.∵360°÷90°＝4.∴这个正多边形的边数为4.
下列圆的内接正多边形中，一条边所对的圆心角最大的图形是(　　)A．正三角形 B．正方形C．正五边形 D．正六边形正多边形的一边所对的中心角与该多边形的一个内角的关系为(　　)A．两角互余 B．两角互补C．两角互余或互补 D．不能确定
若正方形的外接圆半径为2，则其内切圆半径为(　　)A． B. C． D．1
一个圆的内接正四边形和外切正四边形的面积的比是(　　)A．1∶ B．1∶2 C．2∶3 D．2∶π
正六边形ABCDEF 内接于⊙O，正六边形的周长是12，则⊙O 的半径是(　　)A． B ．2 C． D．
利用尺规作一个已知圆的内接正六边形.由于正六边形的中心角为60°,因此它的边长就是其外接圆的半径R. 所以，在半径为R 的圆上，依次截取等于R 的弦，就可以六等分圆，进而作出 圆内接正六边形.
用尺规作圆的内接正方形.已知：如图，⊙O.求作：正方形ABCD 内接于⊙O.
作法：(1)如图，作两条互相垂直的直径AC，BD.(2)顺次连接 AB，BC，CD，DA.由作图过程可知，四个中心角都是90°，所以AB=BC= CD=DA.因为AC，BD 都是直径，所以∠ABC = ∠BCD= ∠CDA= ∠DAB=90°.即四边形ABCD 为⊙O 的内接正方形.
解决这类问题通常有两种方法：(1)用量角器等分圆周法；(2)用尺规等分圆周法．
如图，AD 为⊙O 的直径，作⊙O 的内接正三角形ABC，甲、乙两人的作法分别如下：甲：(1)以D 为圆心，OD长为半径画圆弧，交⊙O 于B，C 两点；(2)连接AB，BC，AC. △ABC 即为所求作的三角形．乙：(1)作OD 的中垂线，交⊙O 于B，C 两点；(2)连接AB，AC.△ABC 即为所求作的三角形．对于甲、乙两人的作法，可判断(　　)A．甲对，乙不对 B．甲不对，乙对C．两人都对 D．两人都不对
在如图所示的圆中，画出你喜欢的三个不同的圆内接正多边形(画图工具不限，但要保留画图痕迹)．
如图所示．(答案不唯一)
一个边长为2的正多边形的内角和是其外角和的2倍，则这个正多边形的半径是(　　)A．2 B. C．1 D.
易错点：误认为正多边形的边心距是正多边形的半径.
错解：B诊断：设正多边形的边数为n. 因为正多边形的内角和为(n－2)·180°，正多边形的外角和为360°，根据题意得(n－2)·180°＝360°×2，解得n＝6，故正多边形为正六边形．边长为2的正六边形可以分成六个边长为2的正三角形，所以正多边形的半径等于2.产生错误的原因是认为正多边形的边心距是正多边形的半径，计算得出错误的结果 ，最后导致错选B.
如图，正六边形ABCDEF 内接于⊙O，若直线PA 与⊙O 相切于点A，则∠PAB 等于(　　)A．30° B．45°C．150° D．30°或150°
以半径为1的圆的内接正三角形、正方形、正六边形的边心距为三边作三角形，则该三角形的面积是(　　)A. B. C. D.
如图，⊙O 是正五边形ABCDE 的外接圆，这个正五边形的边长为a，半径为R，边心距为r，则下列关系式错误的是(　　)A．R 2－r 2＝a 2 B．a＝2R sin 36°C．a＝2r tan 36° D．r＝R cs 36°
4 如图，点G，H 分别是正六边形ABCDEF 的边BC，CD上的 点，且BG＝CH，AG 交BH 于点P. (1)求证：△ABG ≌ △BCH； (2)求∠APH 的度数．
(1)证明：∵六边形ABCDEF 为正六边形，∴AB＝BC，∠ABC ＝∠C＝120°.在△ABG 与△BCH 中， ∴△ABG ≌ △BCH.(2)解：由(1)知△ABG ≌ △BCH，∴∠BAG＝∠HBC. ∴∠APH ＝∠ABP＋∠BAG＝∠ABP＋∠HBC＝∠ABC＝120°.
5 作图与证明： 如图，已知⊙O 和⊙O上的一点A，请完成下列任务： (1)作⊙O 的内接正六边形ABCDEF； (2)连接BF，CE，判断四边形BCEF 的形 状并加以证明．
解：(1)如图①，首先作直径AD，然后分别 以A，D 为圆心，OA长为半径画弧，分 别交⊙O 于点B，F，C，E，连接AB， BC，CD，DE，EF，AF，则正六边形 ABCDEF 即为所求作的图形．
(2)四边形BCEF 是矩形．证明：如图②，连接OE. ∵六边形ABCDEF 是正六边形，∴AB＝AF＝DE＝DC＝FE＝BC. ∴BF＝CE.∴四边形BCEF 是平行四边形．∵∠EOD＝ ＝60°，OE＝OD，∴△EDO 是等边三角形．∴∠ODE＝60°.∴∠EDC＝∠FED＝2∠ODE＝120°.∵DE＝DC，∴∠DEC＝∠DCE＝30°.∴∠CEF＝∠DEF－∠DEC＝90°.∴四边形BCEF 是矩形．
如图，在⊙O 的内接四边形ABCD 中，AB＝AD，∠C＝120°， 点E 在 上． (1)求∠AED 的度数； (2)连接OD，OE，当∠DOE＝90°时，AE 恰 好是⊙O 的内接正n 边形的一边，求n 的值．
解：(1)如图，连接BD.∵四边形ABCD 是⊙O 的内接四边形， ∴∠BAD＋∠C＝180°.∵∠C＝120°，∴∠BAD＝60°. ∵AB＝AD，∴△ABD 是等边三角形．∴∠ABD＝60°. ∵四边形ABDE 是⊙O 的内接四边形， ∴∠AED＋∠ABD＝180°.∴∠AED＝120°. (2)如图，连接OA. ∵∠ABD＝60°，∴∠AOD＝2∠ABD ＝120°. 又∵∠DOE＝90°，∴∠AOE＝∠AOD－∠DOE＝30°， ∴n＝ ＝12.
7 如图①、②、③、④分别是⊙O 的内接正三角形、正四边 形、正五边形、正n 边形，点M，N 分别从点B，C 开始以 相同的速度在⊙O 上逆时针运动，AM 与BN 相交于点P. (1)图①中，∠APN＝______； (2)图②中，∠APN＝______，图③中，∠APN＝______； (3)试探索∠APN 的度数与正多边形边数n 的关系(直接写答案)．
正多边形：各边相等、各角也相等的多边形叫做 正多边形. 把一个圆n (n≥3)等分，顺次连接各等分点，就得 到一个正n 边形. 我们把这个正n 边形叫做圆的内 接正n 边形.