冀教版九年级下册30.2 二次函数的图像和性质优秀课件ppt

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二次函数 y＝ax 2，y＝ax 2＋k 有何位置关系？
二次函数 y＝ax 2向上平移k (k＞0)个单位就得到二次函数 y＝ax 2＋k 的图象是什么？
二次函数 y＝ax 2向下平移k (k＞0)个单位就得到二次函数 y＝ax 2－k 的图象是什么？
前面我们学习了y＝ax 2，y＝ax 2＋k 型二次函数的图象和性质，今天我们将学习另一种类型的二次函数的图象和性质.
二次函数y=a(x-h)2的图象
二次函数y = (x-1)2的图象与二次函数 y = x 2的图象有什么关系？ 类似地，你能发现二次函数y = (x+1)2的图象与二次函数y = (x-1)2的图象有什么关系吗？
画出二次函数 与 的图像，
由图知：对称轴是直线x＝h，顶点坐标是(h，0).
虚线为 的图像
从形状上看，二次函数 与的图像与二次函数 的图像的形状和位置有什么关系?
形状相同，位置不同.
1 抛物线 y＝－5(x－2)2的顶点坐标是(　　) A．(－2，0) B．(2，0) C．(0，－2) D．(0，2)
在下列二次函数中，其图象的对称轴为直线x＝－2的是(　　) A．y＝(x＋2)2 B．y＝2x 2－2 C．y＝－2x 2－2 D．y＝2(x－2)2
对于抛物线 y＝2(x－1)2，下列说法正确的有(　　)①开口向上；②顶点为(0，－1)；③对称轴为直线x＝1；④与x 轴的交点坐标为(1，0)．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
抛物线 的开口方向、对称轴、顶点坐标、增减性和最值?
(2)抛物线 的开口方向、对称轴、顶点坐标、 增减性和最值?
二次函数y＝a(x-h)2的性质
根据图象得出二次函数 y＝a (x－h)2的性质如下表：
负半轴上，所以不与x 轴相交；函数y＝ x 2－1与y＝ (x－1)2的二次项系数相同，所以抛物线的形状相同， 因为对称轴和顶点的位置不同，所以抛物线的位置不同；抛物线y＝ 的顶点坐标为 ；抛物线y＝ 的对称轴是直线x＝－ .
导引：抛物线y＝－ x 2－1的开口向下，顶点在y 轴的
本题运用了性质判断法和数形结合思想，运用二次函数的性质，画出图象进行判断．
在同一直角坐标系中，一次函数 y＝ax＋c 和二次函数 y＝a (x＋c )2的图象可能是(　　)
2 关于二次函数y＝－2(x＋3)2，下列说法正确的是(　　) A．其图象的开口向上 B．其图象的对称轴是直线x＝3 C．其图象的顶点坐标是(0，3) D．当x＞－3时，y 随x 的增大而减小
已知抛物线y＝－(x＋1)2上的两点A (x1，y1)，B (x2，y2)， 如果x1＜x2＜－1，那么下列结论成立的是(　　) A．y1＜y2＜0 B．0＜y1＜y2 C．0＜y2＜y1 D．y2＜y1＜0
二次函数y =a（x-h）2与y =ax 2之间的关系
前面已画出了抛物线y =－ (x+1)2，y =－ (x－1)2，在此坐标系中画出抛物线y =－ x 2 (见图中虚线部分), 观察抛物线y =－ (x+1)2，y =－ (x－1)2与抛物线y =－ x 2有什么关系？
抛物线 与抛物线 有什么关系?
对称轴：y 轴即直线：x =0
在同一坐标系中作出下列二次函数：
例2 二次函数y =－ (x－5)2的图象可有抛物线 y =－ x 2 沿___轴向___平移___个单位得到，它的开口向___， 顶点坐标是_________，对称轴是_________.当x =___时， y 有最____值.当x___5时，y 随x 的增大而增大；当 x___5时，y 随x 的增大而减小.
y =－ (x－5)2的图象与抛物线y =－ x 2的形状相同，但位置不同，y =－ (x－5)2的图象由抛物线y =－ x 2向右平移5个单位得到.
把抛物线 y ＝x 2平移得到抛物线 y ＝(x＋2)2，则这个平移过程正确的是(　　) A．向左平移2个单位长度 B．向右平移2个单位长度 C．向上平移2个单位长度 D．向下平移2个单位长度
对于任何实数h，抛物线 y＝－x 2与抛物线 y ＝－(x－h)2的相同点是(　　) A．形状与开口方向相同 B．对称轴相同 C．顶点相同 D．都有最低点
将函数 y＝x 2的图象用下列方法平移后，所得的图象不经过点A(1，4)的方法是(　　)A．向左平移1个单位长度B．向右平移3个单位长度C．向上平移3个单位长度D．向下平移1个单位长度
对于二次函数 y＝3x 2＋1和 y＝3(x－1)2，以下说法：①它们的图象都是开口向上；②它们图象的对称轴都是 y 轴，顶点坐标都是(0，0)；③当x >0时，它们的函数值 y 都是随着x 的增大而增大；④它们图象的开口的大小是一样的．其中正确的说法有(　　)A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
易错点：函数y＝ax 2＋c 与y＝a (x－h)2的图象与性质区别不清
二次函数 y＝3x 2＋1的图象开口向上，对称轴是 y 轴，顶点坐标是(0，1)，当x >0时，y 随x 的增大而增大；二次函数y＝3(x－1)2的图象开口向上，对称轴是直线x＝1，顶点坐标是(1，0)，当x >1时，y 随x 的增大而增大；二次函数 y＝3x 2＋1和y＝3(x－1)2的图象的开口大小一样．因此正确的说法有2个：①④.故选B.
已知二次函数y＝－2(x＋m)2，当x＜－3时，y 随x 的增大而增大；当x＞－3时，y 随x 的增大而减小，则当x＝1时，y 的值为(　　)A．－12 B．12 C．32 D．－32
平行于x 轴的直线与抛物线y＝a (x－2)2的一个交点坐标为(－1，2)，则另一个交点坐标为(　　)A．(1，2) B．(1，－2)C．(5，2) D．(－1，4)
3 已知抛物线 y＝a (x－h)2的对称轴为x＝－2，且过点(1，－3)． (1)求抛物线的表达式． (2)画出函数的图像． (3)从图像上观察，当x 取何值时，y 随x 的增大而增大？ 当x 取何值时，函数有最大值(或最小值)?
(1)由题意知h＝－2.将点(1，－3)的坐标代入y＝a (x＋2)2 得a＝－ ，所以抛物线的表达式为y＝－ (x＋2)2.(2)图像略．(3)当x<－2时，y 随x 的增大而增大；当x＝ －2时，函数有最大值．
4 已知抛物线 y＝a (x－h)2向右平移3个单位长度后得 到抛物线 y＝ x 2. (1)求a，h 的值； (2)写出抛物线 y＝a (x－h)2的对称轴及顶点坐标．
(1)a＝ ，h＝－3.(2)抛物线 y＝ (x＋3)2的对称轴为x＝－3，顶点坐 标为(－3，0)．
如图，将抛物线 y＝x 2向右平移a 个单位长度后，顶点为A， 与y 轴交于点B，且△AOB 为等腰直角三角形． (1)求a 的值． (2)在图中的抛物线上是否存在点C，使△ABC 为等腰 直角三角形？若存在，直接写出点C 的坐标，并求 S△ABC；若不存在，请说明理由．
(1)依题意将抛物线 y＝x 2平移后为抛物线y＝(x－a)2，即 y＝x 2－2ax＋a 2. 又OA＝OB，点A 的坐标为(a，0)，点B 的坐标为(0，a 2)， ∴a 2＝a. ∵a ≠ 0，∴a＝1.(2)存在．由(1)可得点 A 的坐标为(1，0)，点B 的坐标为 (0，1)，由抛物线的对称性可知，C 点的坐标为(2， 1)，此时可求AB＝AC，∠BAC＝90°. 又易知AB＝AC＝ ， ∴S△ABC＝ AB ·AC＝ × × ＝1.
6 如图，已知二次函数 y ＝(x＋2)2的图像与x 轴交于点A， 与y 轴交于点B. (1)写出点A，点B 的坐标． (2)求S△AOB. (3)求出抛物线的对称轴． (4)在对称轴上是否存在一点P，使以P，A，O，B 为顶 点的四边形为平行四边形？若存在，求出P 点的坐标； 若不存在，请说明理由．
(1)在 y＝(x＋2)2中，令y＝0，得x＝－2；令x＝0，得y ＝4. ∴点A，点B 的坐标分别为(－2，0)，(0，4)．(2)∵点A，点B 的坐标分别为(－2，0)，(0，4)， ∴OA＝2，OB＝4. ∴S△AOB＝ OA·OB＝ ×2×4＝4.(3)抛物线的对称轴为x＝－2.(4)存在．①以OA 和OB 为邻边可作平行四边形P1AOB， 易求得P1(－2，4)；②以AB 和OB 为邻边可作平行 四边形P2ABO，易求得P2(－2，－4)．
二次函数 y＝a (x－h)2的图象和性质
y＝a (x－h)2图象a＞0时，开口向上，最低点是顶点；a＜0时，开口向下，最高点是顶点；对称轴是直线x＝h，顶点坐标是(h，0).
向右平移h 个单位(h＞0)
向左平移h 个单位(h＞0)