数学九年级下册30.2 二次函数的图像和性质一等奖ppt课件

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问题：顶点不在坐标轴上的二次函数又如何呢？
二次函数y =a (x-h)2+k 与y =ax 2之间的关系
二次函数y =a (x-h)2+k 与y =ax 2图像有什么关系?
一般地，抛物线 y＝a (x－h)2＋k 与y＝ax 2形状相同，位置不同．把抛物线 y＝ax 2向上(下)向左(右)平移，可以得到抛物线y＝a (x－h)2＋k.平移的方向、距离要根据h，k 的值来决定．
例1 将抛物线y＝3x 2向上平移3个单位，再向左平移2个单位， 那么得到的抛物线对应的函数关系式为(　　) A．y＝3(x＋2)2＋3　　 B．y＝3(x－2)2＋3 C．y＝3(x＋2)2－3 D．y＝3(x－2)2－3
导引：由“上加下减”的原则可知，将抛物线 y＝3x 2向上平移3 个单位所得抛物线对应的函数关系式为 y＝3x 2＋3；由 “左加右减”的原则可知，将抛物线 y＝3x 2＋3向左平移2 个单位所得抛物线对应的函数关系式为 y＝3(x＋2)2＋3.
将抛物线在平面直角坐标系中平移，关键就是顶点坐标在发生变化，抛物线的形状和大小不变，故紧扣顶点式 y＝a (x－h)2＋k 中h，k 的变化即可．
将抛物线 y＝x 2向右平移2个单位长度，再向上平移1个单位长度，所得抛物线对应的函数表达式是(　　)A．y＝(x＋2)2＋1 B．y＝(x＋2)2－1C．y＝(x－2)2＋1 D．y＝(x－2)2－1
在平面直角坐标系中，如果抛物线 y＝3x 2不动，而把x 轴，y轴分别向上、向右平移3个单位长度，那么在新坐标系下此抛物线对应的函数表达式是(　　)A. y＝3(x－3)2＋3 B. y＝3(x－3)2－3 C. y＝3(x＋3)2＋3 D. y＝3(x＋3)2－3
二次函数 y＝a (x-h)2+k 的图像
画出函数 的图像
导引：抛物线y＝3(x－1)2＋2的开口向上，顶点坐标为 (1，2)，对称轴为直线 x＝1.
例2 抛物线y＝3(x－1)2＋2的开口方向、顶点坐标、对 称轴分别是(　　) A．向下，(1，2)，直线 x＝1　　　 B．向上，(－1，2)，直线 x＝－1 C．向下，(－1，2)，直线 x＝－1 D．向上，(1，2)，直线 x＝1
本题运用了性质判断法，运用二次函数的性质，结合图像进行判断．
抛物线y＝2(x－3)2＋4的顶点坐标是(　　)A．(3，4) B．(－3，4)C．(3，－4) D．(2，4)
2 若抛物线 y＝(x－m)2＋(m＋1)的顶点在第一象限，则m 的取值范围为(　　) A．m＞1 B．m＞0 C．m＞－1 D．－1＜m＜0
3 下列二次函数中，图像以直线 x＝2为对称轴，且经 过点(0，1)的是(　　) A．y＝(x－2)2＋1 B．y＝(x＋2)2＋1 C．y＝(x－2)2－3 D．y＝(x＋2)2－3
二次函数y＝a (x-h)2+k 的性质
观察图像得到：抛物线的开口向下，
对称轴是直线x =－1，
顶点是(－1，－1).
导引： ∵函数的关系式是y＝－(x＋1)2＋a，∴函数图像的 对称轴是直线x＝－1，∴点A关于对称轴的对称点 A′的坐标是(0，y1)，那么点A′，B，C 都在对称轴的 右侧．∵在对称轴右侧，y 的值随x 值的增大而减小， ∴y1 ＞y2 ＞y3.
例3 设A (－2，y1)，B (1，y2)，C (2，y3)是抛物线y＝－(x＋1)2＋a 上的三点，则y1 ，y2 ，y3的大小关系为(　　)　 A．y1 ＞y2 ＞y3　 B．y1 ＞y3 ＞y2　 C．y3＞y2 ＞y1　 D．y3＞y1＞y2
例4 若二次函数y＝(x－m)2－1，当x≤1 时，y 随x 的增大而 减小，则m 的取值范围是(　　) A．m＝1　　　 　B．m＞1　 　　 C．m≥1　　　 　 D．m≤1
二次函数y＝(x－m)2－1的图像开口向上，其对称轴为直线x＝m，顶点坐标为(m，－1)，在对称轴的左侧，y 随x 的增大而减小．因为当x≤1时，y 随x 的增大而减小，所以直线x＝1应在对称轴x＝m 的左侧或与对称轴重合，故m≥1.
如图，在△ABC 中，∠C＝90°，AB＝10 cm，BC＝8 cm，点P 从点A 沿AC 向点C 以1 cm/s的速度运动，同时点Q 从点C 沿CB 向点B 以2 cm/s的速度运动(点Q 运动到点B 停止)，在运动过程中，四边形PABQ 的面积最小值为(　　)A．19 cm2 B．16 cm2C．15 cm2 D．12 cm2
二次函数 y＝－(x－1)2＋5，当m≤x≤n 且 mn<0时，y 的最小值为2m，最大值为2n，则m＋n 的值为(　　)A. B．2 C. D.
易错点：对二次函数 y＝a (x－h)2＋k 在指定条件下的最值理解不透而致错
将抛物线y＝2(x－4)2－1先向左平移4个单位长度，再向上平移2个单位长度，平移后所得抛物线对应的函数表达式为(　　)A．y＝2x 2＋1 B．y＝2x 2－3C．y＝2(x－8)2＋1 D．y＝2(x－8)2－3
将二次函数 y＝x 2的图像先向下平移1个单位长度，再向右平移3个单位长度，得到的图像与一次函数 y＝2x＋b 的图像有公共点，则实数b 的取值范围是(　　)A．b＞8 B．b＞－8 C．b≥8 D．b≥－8
二次函数 y＝a (x＋m)2＋n 的图像如图所示，则一次函数y＝mx＋n 的图像经过(　　)A．第一、二、三象限 B．第一、二、四象限C．第二、三、四象限 D．第一、三、四象限
如图，已知抛物线的顶点为A(1，4)，抛物线与 y 轴交于点 B (0，3)，与x 轴交于C，D 两点，点P 是x 轴上的一个动点． (1)求此抛物线的表达式； (2)当PA＋PB 的值最小时，求点P 的坐标．
(1)设抛物线的表达式为 y＝a (x－1)2＋4，　 由抛物线过点B (0，3)， 得3＝a (0－1)2＋4.解得a＝－1. ∴此抛物线的表达式为 y＝－(x－1)2＋4.
把二次函数 y＝a (x－h)2＋k 的图像先向左平移2个单位长度， 再向上平移4个单位长度，得到二次函数 y＝ (x＋1)2－1的图像． (1)试确定a，h，k 的值； (2)指出二次函数 y＝a (x－h)2＋k 图像的开口方向、对 称轴和顶点坐标．
(1)把二次函数 y＝a (x－h)2＋k 的图像先向左平移2个单 位长度，再向上平移4个单位长度．得到 y＝a (x－h ＋2)2＋k＋4.即－h＋2＝1，解得h＝1，k＋4＝－1， 解得 k＝－5.所以a＝ ，h＝1，k＝－5.(2)二次函数 y＝a (x－h)2＋k 图像的开口向上，对称轴为 直线 x＝1，顶点坐标为(1，－5)．
如图，排球运动员站在点O 处练习发球，将球从O 点正上方2 m的A 处发出，把球看成点，其运行的高度y (m)与运行的水平距离 x (m)满足关系式 y＝a (x－6)2＋h.已知球网与O 点的水平距离为9 m，高度为2.43 m，球场的边界距O 点的水平距离为18 m． (1)当h＝2.6时，求y 与x 的关系式(不要求写出自变量x 的取值范围)． (2)当h＝2.6时，球能否越过球网？ 球会不会出界？请说明理由． (3)若球一定能越过球网，又不出边界，求h 的取值 范围．
(1)∵球从O 点正上方2 m 的A 处发出， ∴抛物线 y＝a (x－6)2＋h 过点(0，2)．　 又∵h＝2.6，∴2＝a (0－6)2＋2.6.解得a＝－ . 故y 与x 的关系式为y＝－ (x－6)2＋2.6.(2)当x＝9时，y＝－ ×(9－6)2＋2.6＝2.45＞2.43， 所以球能越过球网． 当 y＝0时，－ (x－6)2＋2.6＝0， 解得x1＝6＋2 ，x2＝6－2 (舍去)． ∵6＋2 ＞18， ∴球会出界．
(另解：将x＝18代入抛物线表达式得 y＝－ ×(18－ 6)2＋2.6＝0.2＞0，此时球仍在空中运行，故会出界)(3)将x＝0，y＝2代入 y＝a (x－6)2＋h，得a＝ 若球一定能越过球网，则当x＝9时，y＝ ·(9－ 6)2＋h＝ ＞2.43①； 若球不出边界，则当x＝18时，y＝ ·(18－6)2＋ h＝8－3h≤0②，由①②得h≥
7 如图，已知抛物线 y＝a (x－h)2＋k 与x 轴的一个交点 为A (3，0)，与y 轴的交点为B (0，3)，对称轴为直线x＝1. (1)求抛物线的表达式； (2)已知点M 为y 轴上的一个动点，当△ABM 为等腰 三角形时，求点M 的坐标．
(1)由题意可知h＝1，则 y＝a (x－1)2＋k. 将点(3，0)，(0，3)的坐标分别代入上式， 得 解得 故抛物线的表达式为y＝－(x－1)2＋4.(2)①当MA＝MB 时，M (0，0)； ②当AB＝AM 时，M (0，－3)； ③当AB＝BM 时，M (0，3＋3 )或M (0，3－3 )．　 所以点M 的坐标为(0，0)，(0，－3)，(0，3＋3 ) 或(0，3－3 )．
抛物线 y =a (x－h)2+k 有如下特点：
(1)当a>0时， 开口向上；
当a<0时，开口向下；
(2)对称轴是直线x =h；
(3)顶点是(h，k ) .