北师大版 (2019)必修 第一册2.2 全称量词与存在量词第1课时教学设计

                           2.2 全称量词与存在量词

第1课时  全称量词命题与存在量词命题

学习目标:[来源%:中~#&教*网]

1.理解全称量词与存在量词的含义.

2.理解并掌握全称量词命题和存在量词命题的概念.

3.能判定全称量词命题和存在量词命题的真假并掌握其判断方法. [ww@w.zzstep.&%com*#]

4.体会抽象概括的过程,加强逻辑推理能力素养的培养.

教学重点、难点

重点：全称量词命题与存在量词命题的概念.

难点：辨析命题是全称量词命题还是存在量词命题.

教学方法

    情景教学法

教学过程[中国教育*出&@^#版网]

【问题思考】

一、全称量词命题

【问题思考】

1.某个城市有一位理发师,他的广告词是这样写的:“本人的理发技艺十分高超,誉满全城.我将为本城所有不给自己刮脸的人刮脸,我也只给这些人刮脸.我对各位表示热诚欢迎!”来找他刮脸的人络绎不绝,自然都是那些不给自己刮脸的人.可是,有一天,这位理发师从镜子里看见自己的胡须长了,他本能地抓起了剃刀,你们说他能不能给他自己刮脸呢?如果他不给自己刮脸,他就属于“不给自己刮脸的人”,他就要给自己刮脸.而如果他给自己刮脸呢?他又属于“给自己刮脸的人”,他就不该给自己刮脸.

这就是著名的“罗素理发师悖论”问题. [来@源:z%zstep.&^co*m]

(1)文中理发师说:“我将为本城所有不给自己刮脸的人刮脸”.对“所有”这一词语,你还能用其他词语代替吗?

(2)上述词语都有什么含义?

提示:(1)任意一个,全部,每个.

(2)表示某个范围内的整体或全部.

2.全称量词命题

(1)在给定集合中,断言所有元素都具有同一种性质的命题叫作全称量词命题.

(2)在命题中,诸如“所有”“每一个”“任意”“任何”“一切”这样的词叫作全称量词.用符号“∀”表示,读作“对任意的”.

3.想一想:在全称量词命题中,量词是否可以省略?一个全称量词命题的表述是否唯一?

提示:在有些全称量词命题中,全称量词是可以省略的,如“平行四边形的对角线互相平分”实际应解读为“所有平行四边形的对角线都互相平分”.一个全称量词命题的表述不唯一.对于一个全称量词命题,由于自然语言的不同,可以有不同的表述方法,只要形式正确即可.

二、存在量词命题 [来源#:*中国教%育出~&版网]

【问题思考】 [来#%源&:~中教网^]

1.观察下列语句:

①存在一个x∈R,使2x+1=3; [w*&ww.zzste^~p.c@om]

②至少有一个x∈Z,x能被2和3整除.

(1)语句①②是命题吗?若是命题,判断其真假.

(2)语句①②中的“存在一个”“至少有一个”有什么含义?

(3)你能写出一些与问题(2)中具有相同意义的词语吗?

提示:(1)是命题,都为真命题.

(2)表示总体中“个别”或“一部分”.

(3)某些,有的,有些.

2.存在量词命题 [来源%:*中国~教&育出版网#]

(1)在给定集合中,断言某些元素具有一种性质的命题叫作存在量词命题.

(2)在命题中,诸如“有些”“有一个”“存在”这样的词叫作存在量词,用符号“∃”表示,读作“存在”.

3.做一做:命题“有的质数是奇数”中的量词是　　　　　.  [中%&国教#育出^版*网]

答案:有的

【思考辨析】

判断下列说法是否正确,正确的在它后面的括号里画“√”,错误的画“×”.

(1)“有些”“某个”“有的”等短语不是存在量词.(  ×  )

(2)全称量词的含义是“任意性”,存在量词的含义是“存在性”.

(  √  ) [w~ww.zzs^&te#p.com*]

(3)全称量词命题中一定含有全称量词,存在量词命题中一定含有存在量词.(  ×  )

(4)命题“有些菱形是正方形”是全称量词命题.(  ×  ) [来源:中%教网@#~*]

合作探究·释疑解惑

探究一  全称量词命题的判断

例1. 下列命题是不是全称量词命题,如果是,请指出全称量词,并判断真假.

(1)所有的质数都是偶数;

(2)任意x∈R,(x-1)2+1≥1;

(3)任何无理数的平方还是无理数.

解:(1)是全称量词命题,“所有”是全称量词,因为3是质数,但不是偶数,所以该命题是假命题;

(2)是全称量词命题,“任意”是全称量词,是真命题;

(3)是全称量词命题,“任何”是全称量词,因为是有理数,所以该命题是假命题.

点睛：判定一个语句是全称量词命题的三个步骤

(1)判定语句是不是命题,如果不是命题,那么当然不是全称量词命题. [中~国^&教育出#*版网]

(2)量词判断:若是命题,再分析命题中所含的量词,含有全称量词的命题是全称量词命题. [来源:中@教网*&^%]

(3)语意判断:当命题中不含量词时,要注意理解命题含义的实质.

变式1. 下列命题是不是全称量词命题,如果是,请指出全称量词,并判断真假. [来源:~%中#国@教&育出版网]

(1)对任意实数x,都有x2≥0;

(2)菱形的对角线相等.

解析: (1)是全称量词命题,“任意”是全称量词,是真命题;

(2)是全称量词命题,省略全称量词“所有”,是假命题.

探究二  存在量词命题的判断

例2：指出下列命题中,哪些是存在量词命题,并判断真假. [来源:中国%教育出@版~#&网]

(1)存在一个x∈R,使

(2)存在一个实数,它的相反数等于它本身;

(3)每一条线段的长度都能用正有理数表示;

(4)存在一个实数x,使等式x2+x+8=0成立.

分析：先判断命题的类型,全称量词命题通过推理判断,存在量词命题通过举特例判断.

解: (1)(2)(4)是存在量词命题;(3)是全称量词命题.

(1)因为不存在x0∈R,使           成立,所以该命题是假命题.

(2)存在一个实数零,它的相反数等于它本身,所以该命题是真命题.

(3)如:边长为1的正方形的对角线长为        ,它的长度就不是有理数,所以该命题是假命题.

(4)因为该方程的判别式Δ=-31<0,所以该方程无实数解,所以该命题是假命题. [来@源:^中国教~%育出版#网]

点睛：判断一个命题是全称量词命题还是存在量词命题时,需要注意以下两点

(1)若命题中含有量词,则直接判断所含量词是全称量词还是存在量词;

(2)若命题中不含有量词,则要根据命题的实际意义进行判断.

变式2. 下列命题为存在量词命题的是(　　)

A.自然数都是正整数

B.存在x=1,使方程x2+x-2=0

C.对任意x∈{x|x>-1},3x+4>0都成立

D.对顶角相等

解: A,D中命题都省略了全称量词“所有”,所以A,D都是全称量词命题;C中含有全称量词“任意”,是全称量词命题,B中命题含有存在量词“存在”,所以B是存在量词命题,故选B.[中~^#国教育出版网&%]

答案:B [来源@:*zzstep&.c%om^]

探究三  根据全称(存在)量词命题求参数范围

例3 . 若命题“∃x∈R,使得x2+2x+a-1<0”是真命题,求实数a的取值范围.

分析：先把问题转化为二次函数的图象与x轴的交点问题→利用判别式构造不等式→解不等式得结论.[来源:*中@^~教网#]

解：因为∃x∈R,使得x2+2x+a-1<0,所以二次函数y=x2+2x+a-1的图象与x轴有两个公共点,所以Δ=22-4(a-1)>0,解得a<2.

故实数a的取值范围是(-∞,2). [www.z@%#z&st*ep.com]

拓展：[中*@国&%教育出版~网]

1.把本例中“真命题”改为“假命题”,其他条件不变,则结果是什么? [来源:#*中国教%育出~&版网]

解: 由题意,可知Δ=22-4(a-1)≤0,解得a≥2.

故实数a的取值范围是[2,+∞). [中#国*教育%出&版网@]

2. 若把本例条件改为“∀x∈[-1,+∞),x2+2x+a-1>0”,其他条件不变,则a的取值范围是什么?

解: “∀x∈[-1,+∞),x2+2x+a-1>0”恒成立,等价于1-a<x2+2x在区间[-1,+∞)上恒成立,

即1-a<(x2+2x)min,x∈[-1,+∞),

又当x∈[-1,+∞)时,y=x2+2x=(x+1)2-1≥-1,

即(x2+2x)min=-1.故1-a<-1,解得a>2.

点睛：1.全称量词命题的常见题型是“恒成立”问题,其为真时,转化为相应的数学问题(如函数、方程、不等式等),再利用相应知识构建方程或不等式求解.

2.存在量词命题的常见题型是以适合某种条件的结论“存在” “不存在”“是否存在”等语句表述,解答该类问题时,一般先对结论作出存在的假设,转化为相应的数学问题求解,再结合条件看求解是否合理,否则否定假设. [来&源:z*zstep.c@~om%]

变式3. 若“∀x∈[-1,1],m≤x2+1”为真命题,则实数m的最大值为　　　　　. 

解析：“∀x∈[-1,1],m≤x2+1”为真命题,

当x∈[-1,1]时,1≤x2+1≤2,

所以m≤1,故实数m的最大值为1.

答案:1

易  错  辨  析

忽视全称量词命题与存在量词命题的含义致误

典例：已知两个函数：y=x2-2x和y=ax+2(a>0),且对[-1,2], ，使，则实数a的取值范围是（）

A.（0, ]       B.[ ,3）   C. [3，+）  D.（0，3）

错解  由题意,知函数y=ax+2(a>0)(x∈[-1,2])的值域是y=x2-2x (x∈[-1,2])的值域的子集,而函数y=x2-2x(x∈[-1,2])的值域为 [-1,3],y=ax+2(a>0)(x∈[-1,2])的值域为[2-a,2+2a],

所以，解得，

又，所以.

答案  A

以上解答过程中都有哪些错误?出错的原因是什么?你如何改正?你如何防范?

提示: 没有理解全称量词命题与存在量词命题的本质含义.

正解: 设y=f(x)=x2-2x(x∈[-1,2]),y=g(x)=ax+2(a>0)(x∈[-1,2]),

由于函数f(x)在定义域[-1,2]内是任意取值的,且必存在x0∈ [-1,2]使得f(x1)=g(x0),

因此问题等价于函数f(x)的值域是函数g(x)值域的子集.

函数f(x)的值域是[-1,3],函数g(x)的值域是 [2-a,2+2a](a>0),[来源:zzst@e%p.#co*&m]

则有2-a≤-1,且2+2a≥3,即a≥3,

又a>0,故实数a的取值范围为a≥3. [来@%源:中~国教育出^版网#]

答案:C

警示：正确理解全称量词命题与存在量词命题的本质含义,特别是全称量词命题中元素的任意性和存在量词命题中元素的存在性.

变式：已知，若命题“R，”是真命题，则实数a 的取值范围是（）

A.    B.    C.    D .

解析：由题意，可得解得.

答案：B

随  堂  练  习

1.下列说法正确的个数是(　　)

①命题“所有的四边形都是矩形”是存在量词命题; [来@源:中教^网#&%]

②命题“∀x∈R,x2+2<0”是全称量词命题;

③命题“∃x∈R,x2+4x+4≤0”是存在量词命题.

A.0 B.1 C.2 D.3

解析:只有②③正确.

答案:C [中国~教^&育出*@版网]

2.下列命题既是存在量词命题又是真命题的是(　　)

A.锐角三角形的内角是锐角或钝角

B.至少有一个实数x,使x2≤0

C.两个无理数的和必是无理数

D.存在一个负数x,使

解析:B,D是存在量词命题,但D是假命题,故选B.

答案:B

3.下列语句是存在量词命题的是(　　)

A.整数n是2和7的倍数

B.存在整数n0,使n0能被11整除

C.若4x-3=0,则

D.∀x∈M,p(x)成立

解析:B中含存在量词“存在”.

答案:B

4.下列命题,是全称量词命题的是　　　　　;是存在量词命题的是　　　　　.(填序号) 

①正方形的四条边相等;

②有两个角是45°的三角形都是等腰直角三角形;

③正数的平方根不等于0;

④至少有一个正整数是偶数.

解析:①②③都是省略了全称量词的全称量词命题.④是存在量词命题.

答案:①②③　④

5.判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题,并判断其真假:

(1)∃x,x-2≤0;

(2)三角形两边之和大于第三边;

(3)有些整数是偶数.

解:(1)存在量词命题.x=1时,x-2=-1≤0,[www&.%zzste~p*.c@om]

故存在量词命题“∃x,x-2≤0”是真命题.

(2)全称量词命题.三角形中,任意两边之和大于第三边.

故全称量词命题“三角形两边之和大于第三边”是真命题. [来%^源:中教网#~*]

(3)存在量词命题.2是整数,2也是偶数.

故存在量词命题“有些整数是偶数”是真命题.

6.已知命题p:“∃m∈R,使关于x的方程x2+mx+1=0有两个不等负实根”是真命题,求实数m的取值范围.

解：由题意得，

解得.[来源&#%:中^*教网]

所以实数m的取值范围是.

课堂总结

1.全称量词命题的含义[来~#源:中国教育出版&%网^]

2.存在量词命题的含义

课后作业

课本第20页练习1，2题

板书设计[来%源:@z~&z#step.com]

                           全称量词命题与存在量词命题[来源:z^zste%p.co~m@#]

1.全称量词命题[www.z#zste&*p~.co@m]

2.存在量词命题