高中数学北师大版 (2019)必修 第一册3.2 对数函数y=log2 x的图像和性质课后作业题

【精品】3.2 对数函数y=log2x的图象和性质-2优选练习

一．填空题

1．方程所有解的和为________

2．已知，，设，则的大小关系为___________.

3．已知函数在上的最大值与最小值分别为和，则______.

4．已知函数，若，则________．

5．对于函数，，设，，若存在m，n使得，则称与互为“近邻函数”.已知函数与互为“近邻函数”，则实数a的取值范围是______.（e是自然对数的底数）

6．函数的单调递增区间为__________.

7．计算：＝________.

8．已知常数，函数，，若与有相同的值域，则的取值范围为__________.

9．若，则______．

10．计算：______.

11．若，则________.

12．已知函数在上是减函数，则实数的取值范围是________

13．若函数为奇函数，则__________．

14．设则____________.

15．设函数，则时x的取值范围是________．

参考答案与试题解析

1．【答案】4

【解析】分析：先令，，求出的周期和对称轴，的对称轴，画出图像，观察交点个数，利用对称性即可得解.

详解：令，则其周期为，其中一个对称轴为，

令，则其对称轴为，画出的图像如下：

观察图像可得：函数和函数有个交点，

并且都关于对称分布，所以原方程所有跟的和为.

故答案为：.

【点睛】

本题主要考查了函数的零点和图形结合思想.属于中档题.

2．【答案】

【解析】分析：将，取自然对数，结合换底公式可得，利用作差法，结合换底公式与基本不等式可得，从而可得答案.

详解：，

，

，

，

同理可知，

，

，

，

综上，，

故答案为：.

【点睛】

本题主要考查对数的运算．换底公式，以及作差法与基本不等式的应用，属于综合题.

3．【答案】2

【解析】由函数变形，构造函数，判断为奇函数，设出最大值和最小值，即可求出结论’

详解：

，

令，

，

为奇函数，设的最大值为，则最小值为，

则的最大值为，最小值为，

所以.

故答案为:2.

【点睛】

本题考查函数的最值的求法，注意运用构造函数．判断奇偶性，考查运算求解能力，属于中档题.

4．【答案】-7

【解析】分析：首先利用题的条件，将其代入解析式，得到，从而得到，从而求得，得到答案.

详解：根据题意有，可得，所以，故答案是.

点睛：该题考查的是有关已知某个自变量对应函数值的大小，来确定有关参数值的问题，在求解的过程中，需要将自变量代入函数解析式，求解即可得结果，属于基础题目.

5．【答案】.

【解析】先求出的根，利用等价转换的思想，得到在有解，并且使用分离参数方法，可得结果

详解：由，令

所以，又已知函数

与互为“近邻函数”

据题意可知：在有解，则

在有解

即在有解，

令，

又令，，

所以

当时

当时

所以

所以，则

故答案为：

【点睛】

本题考查对新定义的理解，以及分离参数方法的应用，属中档题.

6．【答案】或

【解析】先求出函数的定义域，由，然后换元，令，则，再利用复合函数求单调区间的方法求解即可

详解：解：由题意得，解得，

，（），

令（），则，

因为在上递增，在上递减，

因为在上递减，

所以在上递减，在上递增，

故答案为：或

【点睛】

此题考查求对数型复合函数的单调区间，利用了换元法，属于基础题

7．【答案】1

【解析】分析：利用对数的运算规则可得计算结果.

详解：因为，故填.

【点睛】

对数有如下的运算规则：

（1），

；

（2）；

（3）；

（4） .

8．【答案】

【解析】分别求出的值域，对分类讨论，即可求解.

详解：，

的值域为，

，

当，

函数值域为，

此时的值域相同；

当时，，

，

当时，

当，

，

所以当时，函数的值域不同，

故的取值范围为.

故答案为:.

【点睛】

本题考查对数型函数的值域，要注意二次函数的值域，考查分类讨论思想，属于中档题.

9．【答案】

【解析】分析：令，求出后可得的值.

详解：令，则，故，

故答案为：.

【点睛】

本题考查函数值的计算，若已知，要求的值，我们无需求出的解析式，可令，求出的值后再求的值即可，本题属于基础题.

10．【答案】7

【解析】分析：根据对数的运算法则和分数指数幂的运算法则可得正确的结果.

详解：原式.

【点睛】

本题考查对数的运算和分数指数幂的运算，注意分数指数幂的运算规则和整数指数幂的运算规则类似，而对数的运算规则可分成三大类：

①；

；

②；

③．

11．【答案】

【解析】分析：根据对数的换底公式和对数的运算性质，准确运算，即可求解.

详解：由对数的换底公式，可得，

所以，所以.

故答案为：.

【点睛】

本题主要考查了对数的运算性质，以及对数的换底公式的应用，其中解答中熟记对数的运算性质，以及对数的换底公式，准确运算是解答的关键，着重考查运算与求解能力，属于基础题.

12．【答案】

【解析】是有 和复合而成，且在上是减函数，因为是减函数，所以在上单调递增，结合对于恒成立，即可求得实数的取值范围.

详解：令，

是有 和复合而成，

因为是减函数，

且在上是减函数，

所以在上单调递增，

的对称轴，开口向上，

所以，解得，

对于恒成立，

所以，

即 ，解得 ，

综上所述：.

故答案为：

【点睛】

本题主要考查了已知对数复合型函数的单调性求参数的值，属于中档题.

13．【答案】1

【解析】分析：利用定义，代入化简即可求解.

详解：由题可知，

则，

得，

即，得．

故答案为：1

【点睛】

本题考查了利用函数的奇偶性求参数值，考查了基本运算能力，属于基础题.

14．【答案】

【解析】分析：由已知，得，进而.

详解：

【点睛】

本题考查了分段函数求值和对数恒等式，考查了计算能力，属于基础题.

15．【答案】

【解析】详解：时，；

时，.综上得，的取值范围为：.