必修 第一册3.2 指数函数的图像和性质同步训练题

【名师】3.2 指数函数的图象和性质-2同步练习

一．填空题

1．若2x＝16，则x＝________.

2．已知实数满足，则__________．

3．若的图象过点，则______.

4．设函数f（x）=ax+bx-cx，其中c＞a＞0，c＞b＞0.若a，b，c是△ABC的三条边长，则下列结论正确的是______（写出所有正确结论的序号）

①对任意的x∈（-∞，1），都有f（x）＞0；

②存在x∈R，使ax，bx，cx不能构成一个三角形的三条边长；

③若△ABC是顶角为120°的等腰三角形，则存在x∈（1，2），使f（x）=0.

5．已知函数 ，且 那么其图象经过的定点坐标是___.

6．      。

7．函数f（x）=ax-1-2（a＞0且a≠1）恒过定点______，f（x）的值域为______．

8．x,y的取值如下表:

则x,y之间的关系可选用函数___进行拟合.

9．若不等式(m2－m)2x－()x<1对一切x∈(－∞，－1]恒成立，则实数m的取值范围是____．

10．已知函数（且）恒过定点，则__________．

11．若2x+1＜22-x，则实数x的取值范围是______．

12．比较大小_____.

13．函数的值域是_________.

14．已知函数经过定点，则函数的反函数是______．

15．定义新运算？：当m≥n时，m？n＝m；当m＜n时，m？n＝n．设函数f（x）＝[（2x？2）﹣（1？log2x）]？2x，则f（x）在（0，2）上值域为______．

参考答案与试题解析

1．【答案】

【解析】函数在R上单调递增，结合，可以得出的值。

【详解】

函数在R上单调递增，又因为，所以.

【点睛】

本题考查了指数幂的运算，属于基础题。

2．【答案】

【解析】由，得，即，解得，即，故答案为.

3．【答案】2

【解析】把已知点代入函数，即可解得a值.

【详解】

解：函数f（x）的图象过点（2，4），可得4＝a2，又a＞0，解得a＝2.

故答案为：2

【点睛】

本题考查了指数函数的图象和性质，属于基础题．

4．【答案】①②③

【解析】在①中，利用不等式的性质分析即可，在②中，举例a=2，b=3，c=4进行说明,在③中，利用零点存在性定理分析即可.

【详解】

在①中，∵a，b，c是△ABC的三条边长，∴a+b＞c，∵c＞a＞0，c＞b＞0，∴0＜＜1，0＜＜1，当x∈（-∞，1）时，f（x）=ax+bx-cx=cx[（）x+（）x-1]＞cx（+-1）=cx？＞0，故①正确；

在②中，令a=2，b=3，c=4，则a，b，c可以构成三角形，但a2=4，b2=9，c2=16不能构成三角形，故②正确；

在③中，∵c＞a＞0，c＞b＞0，若△ABC顶角为120°的等腰三角形，∴a2+b2-c2＜0，∵f（1）=a+b-c＞0，f（2）=a2+b2-c2＜0，根据函数零点存在性定理可知在区间（1，2）上存在零点，

即？x∈（1，2），使f（x）=0，故③正确．

故答案为：①②③．

【点睛】

本题考查命题真假的判断，考查指数函数单调性．零点存在性定理和不等式性质的运用．

5．【答案】

【解析】借助过定点，令，可得的图象恒过定点的坐标.

【详解】

令，求得，且，

即时，总有，

所以的图象恒过定点坐标为，故答案为.

【点睛】

本题主要考查指数函数的几何性质，属于简单题. 函数图象过定点问题主要有两种类型：（1）指数型，主要借助过定点解答；(2)对数型：主要借助过定点解答.

6．【答案】

【解析】,所以应填.

考点：分数指数幂与根式.

7．【答案】(1,-1)    （-2，+∞） 

【解析】根据指数函数的图象与性质，令，即可得到答案.

【详解】

由题意，可得x-1=0，解得x=1，此时f（1）=a0-2=1-2=-1，即函数过定点（1，-1），

∵ax-1＞0， ∴ax-1-2＞2， ∴f（x）的值域为（-2，+∞）

故答案为：（1，-1），（-2，+∞）

【点睛】

本题主要考查了指数函数的图象过定点问题，其中解答中熟记指数函数的图象与性质，利用指数幂等于0求解是解答的关键，着重考查了推理与论证能力，属于基础题.

8．【答案】

【解析】根据表格中的数据，即可估测之间的关系可选用函数进行拟合，得到答案.

【详解】

根据表格中的数据，可知当时，；当时，；

当时，；当时，；当时，，

可估测之间的关系可选用函数进行拟合.

【点睛】

本题主要考查了函数的表示方法和指数函数的性质的应用，其中熟记函数的表示方法和指数函数的性质，合理应用是解答的关键，着重考查了分析问题和解答问题的能力，属于基础题.

9．【答案】－2<m<3

【解析】根据指数函数的性质，将不等式恒成立问题转化为函数最值问题即可．

【详解】

解：（m2﹣m）2x1对一切x∈（﹣∞，﹣1]恒成立等价为

（m2﹣m）2x1，

即（m2﹣m）（）2，

∵x∈（﹣∞，﹣1]，

∴

即（）2 6，

即（m2﹣m）＜6，

则m2﹣m﹣6＜0，

解得﹣2＜m＜3，

故答案为：﹣2＜m＜3

【点睛】

本题主要考查不等式恒成立问题，利用指数函数的性质将参变分离是解决本题的关键．

10．【答案】12

【解析】由指数的性质 ,且 可得结论．

【详解】

由指数的性质，

故当x-9=0即x=9时，y=3，

∴函数的图象恒过定点A（9，3），则

故答案为12.

【点睛】

本题考查指数函数图象恒过定点问题，属基础题．

11．【答案】（-∞，）

【解析】根据指数函数的定义和性质，把不等式化为x-1＜2-x，求出解集即可．

【详解】

2x+1＜22-x，

即x-1＜2-x，

解得x＜，

所以实数x的取值范围是（-∞，）．

故答案为：（-∞，）．

【点睛】

本题考查了指数函数不等式的解法与应用问题，是基础题目．

12．【答案】

【解析】借助于函数为增函数，即可比较大小.

【详解】

由函数为增函数，且，

所以.

故答案为：<

【点睛】

本题主要考查了指数函数的单调性的应用，属于基础题.

13．【答案】

【解析】设

当 时，有最大值是9；当 时，有最小值是-9， ，由函数 在定义域上是减函数，

∴原函数的值域是 故答案为

【点睛】本题考查了指数型的复合函数的值域求法，一般是根据定义域先求出指数的范围，再根据指数函数的单调性求出原函数的值域，考查了整体思想．解题时注意“同增异减”.

14．【答案】

【解析】先由函数经过定点求得m=2，将其代入指数函数中可得指数函数解析式，然后由指数函数的反函数是对数函数即可求得.

【详解】

已知函数经过定点

则 ，m=2

则函数的反函数是

【点睛】

本题考查指数函数的性质和指数函数的反函数是对数函数，属于基础题，意在考查指数函数．对数函数的性质应用，需要熟练掌握.

15．【答案】

【解析】根据题意即可得出，x≥1时，2x？2＝2x；x＜1时，2x？2＝2；0＜x≤2时，1？log2x＝1；x＞2时，1？log2x＝log2x，从而得出0＜x＜1时，f（x）＝2x，从而求出1＜f（x）＜2；1≤x＜2时，f（x）＝22x﹣2x，配方即可求出2≤f（x）＜12，这样即可得出f（x）在（0，2）上的值域．

【详解】

根据题意，2x≥2，即x≥1时，2x？2＝2x；2x＜2，即x＜1时，2x？2＝2；1≥log2x，即0＜x≤2时，1？log2x＝1；1＜log2x，即x＞2时，1？log2x＝log2x；

∴；

∴①0＜x＜1时，f（x）＝2x是增函数；

∴1＜f（x）＜2；

②1≤x＜2时，；

∵1≤x＜2；

∴2≤2x＜4；

∴；

∴2≤f（x）＜12；

综上得，f（x）在（0，2）上的值域为（1，12）．

故答案为：（1，12）．

【点睛】

本题考查对新运算？的理解，指数函数的单调性，配方求二次函数值域的方法，以及增函数的定义．