北师大版 (2019)必修 第一册3.2 对数函数y=log2 x的图像和性质课时练习

【精选】3.2 对数函数y=log2x的图象和性质-1课堂练习

一．填空题

1．函数 (a>0且a≠1)恒过定点____________

2．已知函数，若，则实数_____；若存在最小值，则实数的取值范围为_____.

3．函数的单调递增区间是________．

4．已知函数y＝f（x）与y＝g（x）的图象关于直线y＝x对称，若f（x）＝x+log2（2x+2），则满足f（x）＞log23＞g（x）的x的取值范围是_____.

5．函数的单调递增区间是________

6．函数的定义域是           ．

7．函数y=log3（x2﹣2x）的单调减区间是     ．

8．已知函数的图象过定点，且点在幂函数的图象上，则=______

9．若函数（且）恒过定点，则的值为__________.

10．若函数为奇函数，则= ____________．

11．若是函数的反函数，且，则＝________．

12．函数的值域为________.

13．若点在函数的图象上，点在的反函数图象上，则________．

14．函数的定义域为                 ．

15．化简：__________．

参考答案与试题解析

1．【答案】

【解析】根据求定点坐标.

详解：因为当时，，

所以恒过定点

故答案为：

【点睛】

本题考查对数型函数过定点问题，考查基本分析求解能力，属基础题.

2．【答案】

【解析】试题分析：将-1和1分别代入原函数，由，解方程可得a值；由题知，时，，要使函数存在最小值，只需解出a的取值范围即可.

详解：，

，

，

.

易知时，；

又时，递增，故，

要使函数存在最小值，只需，

解得：.

故答案为：；.

【点睛】

本题主要考查指数函数和对数函数的单调性和值域，属于基础题.

3．【答案】或

【解析】由题意，令，求得函数的定义域为，根据二次函数的图象与性质，得到二次函数的单调性，利用复合函数，即可求解.

详解：由题意，令，由，

解得，

即函数的定义域为

又根据二次函数的图象与性质可知，函数在区间上单调递增，

在区间上单调递减，

又由函数为单调递减函数，

根据复合函数同增异减可得，函数的单调递增区间为.

故答案为：或

【点睛】

本题主要考查了与对数函数相关的复合函数的单调区间的求解，其中解答中合理利用复合函数的单调性的判定方法求解是解答的关键，同时忽视函数的定义域是解答此类问题的易错点，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.

4．【答案】（0，log215）.

【解析】化简，然后求解不等式，可以转化求解.

【详解】

因为，

所以由得，解得，即；

易知函数为增函数，

因为，所以可得；

综上可得x的取值范围是.

【点睛】

本题主要考查函数与反函数间的关系，互为反函数的两个函数图象关于直线对称，侧重考查转化化归的数学思想.

5．【答案】

【解析】先求函数定义域，再根据复合函数单调性确定单调增区间.

详解：

当时，单调递减，而也单调递减，所以单调递增，

故答案为：

【点睛】

本题考查复合函数单调性．对数函数定义域，考查基本分析求解能力，属基础题.

6．【答案】

【解析】要使函数有意义，则，解得，且.

所以函数的定义域是.

答案为;.

点睛：常见基本初等函数定义域的基本要求

(1)分式函数中分母不等于零．

(2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0.

(3)一次函数．二次函数的定义域均为R.

(4)y＝x0的定义域是{x|x≠0}．

(5)y＝ax(a>0且a≠1)，y＝sin x，y＝cos x的定义域均为R.

(6)y＝logax(a>0且a≠1)的定义域为(0，＋∞)．

7．【答案】（﹣∞，0）

【解析】详解：先求函数的定义域设u（x）=x2﹣2x则f（x）=lnu（x），因为对数函数的底数3＞1，则对数函数为单调递增函数，要求f（x）函数的减区间只需求二次函数的减区间即可．

解：由题意可得函数f（x）的定义域是x＞2或x＜0，

令u（x）=x2﹣2x的减区间为（﹣∞，0）

∵3＞1，

∴函数f（x）的单调减区间为（﹣∞，0）

故答案：（﹣∞，0）

考点：对数函数的单调性与特殊点；对数函数的定义域．

8．【答案】3

【解析】由对数函数性质求出定点的坐标，设出幂函数解析式，由点坐标求出幂函数解析式后可求函数值．

详解：令，则，此时，∴，

设，则，，即．

∴．

故答案为：3.

【点睛】

本题考查对数函数的性质，考查幂函数的解析式．掌握对数函数性质和幂函数的定义是解题关键．

9．【答案】

【解析】根据对数函数的图象恒过定点可得出关于．的方程组，可得出这两个未知数的值，进而可求得的值.

详解：由于对数函数的图象恒过定点，由题意可得，解得，

因此，.

故答案为：.

【点睛】

本题考查对数型函数过定点问题，考查计算能力，属于基础题.

10．【答案】

【解析】由函数是奇函数,将函数的这一特征转化为对数方程解出的值.

详解：函数为奇函数

即

，即

解得：

又对数式的底数，则

故填

【点睛】

考查奇函数的定义及利用对数的去处法则解对数方程,主要训练对定义与法则的理解与掌握.

11．【答案】

【解析】由是函数的反函数，可得解

详解：，则点 在的函数图像上，

又互为反函数的图像

关于直线 对称，

所以关于直线的对称点在函数上，所以 ，

所以=

【点睛】

利用互为反函数的图形关于直线对称性解决问题．

12．【答案】

【解析】函数的定义域为R，结合指数函数性质可知8x>0恒成立，则真数8x+1>1恒成立，再结合对数函数性质即可求得本题值域．

【详解】

根据对数函数的定义可知,真数8x +1>0恒成立，解得x∈R.

因此，该函数的定义域为R，

原函数是由对数函数y=log2t和t=8x+1复合的复合函数.

由复合函数的单调性定义(同増异减)知道，原函数在定义域R上是单调递增的.

根据指数函数的性质可知, 8x>0,所以, 8x+1>1，

所以，

故答案为：.

【点睛】

本题考查复合函数的值域，先求中间函数的值域，再求目标函数的值域，属于基础题.

13．【答案】16

【解析】根据反函数的与原函数的关系，原函数的定义域是反函数的值域，结合对数的运算，即可得出答案．

详解：解：函数的图象经过点，

可得：，

解得：，

，

由于点在的反函数图象上，即在的图象上，

则有：.

故答案为：16.

【点睛】

本题考查根据反函数与原函数的关系求参数值，还涉及对数的运算，原函数的定义域是反函数的值域是解题的关键．

14．【答案】

【解析】被开方数大于等于零，对数真数大于零，所以.

考点：定义域.

【思路点晴】定义域是函数的灵魂，高考中考查的定义域多以选择．填空形式出现，难度不大；有时也在解答题的某一小问当中进行考查；值域是定义域与对应法则的必然产物，值域的考查往往与最值联系在一起.求函数定义域的主要依据是：①分式的分母不能为零；②偶次方根的被开方式其值非负；③对数式中真数大于零，底数大于零且不等于；④含，则；⑤含，则.

15．【答案】1

【解析】.

答案为：1.