必修 第一册第四章 对数运算和对数函数3 对数函数3.2 对数函数y=log2 x的图像和性质课堂检测

【特供】3.2 对数函数y=log2x的图象和性质-1课时练习

一．填空题

1．函数的定义域是           ．

2．若是函数的反函数，且，则＝________．

3．若函数（且）恒过定点，则的值为__________.

4．已知函数与函数（，）的图像交于点，若，则的取值范围是________

5．函数的定义域是__________．

6．函数（，且）的图象必过定点          ．

7．下列说法中正确的有______.

①.

②已知，则.

③函数的图象与函数的图象关于原点对称.

④函数的递增区间为.

8．若函数在区间有最小值，则实数=_______.

9．若函数为奇函数，则= ____________．

10．已知函数的图象过定点A，若点A也在函数的图象上，则________.

11．函数的图象恒过定点，（其中且），则的坐标为__________.

12．已知函数，若，则______.

13．已知函数，则不等式的解集为__________．

14．函数的单调递增区间是________．

15．若10x=3,10y=4,则10x-y=__________．

参考答案与试题解析

1．【答案】

【解析】要使函数有意义，则，解得，且.

所以函数的定义域是.

答案为;.

点睛：常见基本初等函数定义域的基本要求

(1)分式函数中分母不等于零．

(2)偶次根式函数的被开方式大于或等于0.

(3)一次函数．二次函数的定义域均为R.

(4)y＝x0的定义域是{x|x≠0}．

(5)y＝ax(a>0且a≠1)，y＝sin x，y＝cos x的定义域均为R.

(6)y＝logax(a>0且a≠1)的定义域为(0，＋∞)．

2．【答案】

【解析】由是函数的反函数，可得解

详解：，则点 在的函数图像上，

又互为反函数的图像

关于直线 对称，

所以关于直线的对称点在函数上，所以 ，

所以=

【点睛】

利用互为反函数的图形关于直线对称性解决问题．

3．【答案】

【解析】根据对数函数的图象恒过定点可得出关于．的方程组，可得出这两个未知数的值，进而可求得的值.

详解：由于对数函数的图象恒过定点，由题意可得，解得，

因此，.

故答案为：.

【点睛】

本题考查对数型函数过定点问题，考查计算能力，属于基础题.

4．【答案】

【解析】先讨论不合题意，再结合图象讨论时，函数交点横坐标列不等式组求解.

【详解】

由题：若，时，，，两个函数图象不可能有交点；

所以必有，

结合图象，若函数交点横坐标，

则，解得：.

故答案为：

【点睛】

此题考查根据函数交点横坐标取值范围，求解参数的取值范围，涉及分类讨论数形结合思想.

5．【答案】

【解析】本题考查函数定义域的求法．

解答：要使函数有意义，只需

即，即

故定义域为．

6．【答案】

【解析】由对数的性质知，当真数为1时，对数值一定为0，由此性质求函数图象所过的定点即可.

【详解】

令x-2=1,得x=3，此时y=1，

故函数的图象恒过点，

故答案为：.

【点睛】

本题考查有关对数型函数图象所过的定点问题，涉及到的知识点是1的对数等于零，从而求得结果，属于简单题.

7．【答案】③

【解析】根据指数函数和对数函数基础知识,逐项判断,即可求得答案.

【详解】

对于①,因为,故①错误;

对于②,,即

令

则当时,根据是单调递增函数,可得,此时可得

当时,根据是单调递减函数,可得,此时

综上可得,故②错误;

对于③,函数关于原点对称的函数，故③正确;

对于④,根据对数函数单调性可知:单调递增

,解得:

令

根据二次函数知识可知其对称轴为:,图像开口向下

根据二次函数图像可知:

当,单调递减;

当,单调递增;

根据复合函数单调性同增异减可知:

要保证函数的递增,

需满足: 解得:,即,故④错误.

综上所述,正确的为③.

故答案为:③.

【点睛】

本题的解题关键是掌握指数函数和对数函数基础知识,和复合函数单调性的判断方法,考查了分析能力和计算能力,属于中档题.

8．【答案】或2

【解析】根据复合函数的单调性及对数的性质即可求出的值.

详解：当时, 在为增函数,,求得,即;

当时, 在为减函数,,求得,即.

故答案为:或.

【点睛】

本题考查复合函数单调性,对数方程的解法,难度一般.

9．【答案】

【解析】由函数是奇函数,将函数的这一特征转化为对数方程解出的值.

详解：函数为奇函数

即

，即

解得：

又对数式的底数，则

故填

【点睛】

考查奇函数的定义及利用对数的去处法则解对数方程,主要训练对定义与法则的理解与掌握.

10．【答案】2

【解析】先利用函数的解析式得出其图象必过哪一个定点，再将该定点的坐标代入函数中求出，最后即可求出相应的函数值，得到结果.

详解：因为函数的图象恒过定点，

将代入，得，所以，

所以，

则，

故答案为：.

【点睛】

该题考查的是有关函数值的求解问题，涉及到的知识点有对数型函数图象过定点问题，点在函数图象上的条件，已知函数解析式求函数值，属于简单题目.

11．【答案】

【解析】利用对数函数过定点求解.

详解：令，解得 ，

所以 ，

所以 的坐标为，

故答案为：

【点睛】

本题主要考查对数型函数过定点问题，属于基础题.

12．【答案】1

【解析】将代入函数的解析式，解方程即可求出的值.

详解：由题意可得，解得.

【点睛】

本题主要考查解对数方程，考查运算求解能力，属于基础题.

13．【答案】

【解析】先求的解集，再结合对数函数的单调性求解.

详解：解：，所以解得，所以，解得

【点睛】

本题主要考查对数函数图像及不等式的解法，考查数形结合的思想，运算求解能力.

14．【答案】或

【解析】由题意，令，求得函数的定义域为，根据二次函数的图象与性质，得到二次函数的单调性，利用复合函数，即可求解.

详解：由题意，令，由，

解得，

即函数的定义域为

又根据二次函数的图象与性质可知，函数在区间上单调递增，

在区间上单调递减，

又由函数为单调递减函数，

根据复合函数同增异减可得，函数的单调递增区间为.

故答案为：或

【点睛】

本题主要考查了与对数函数相关的复合函数的单调区间的求解，其中解答中合理利用复合函数的单调性的判定方法求解是解答的关键，同时忽视函数的定义域是解答此类问题的易错点，着重考查了推理与运算能力，属于中档试题.

15．【答案】

【解析】因为，所以，应填答案．